14. Стереометрическая задача: #195683

Прямая призма $ABCA_1B_1C_1$ с параметрами:
Основание $ABC$ — равнобедренный треугольник с основанием $AB = 12.$
$AA_1 = 5.$
Точка $P \in AB$: $AP : PB = 3 : 1.$
Точка $Q$ — середина $B_1C_1.$
Точка $M$ — середина $BC.$
$\cos \angle ABC = \dfrac{3}{5}.$

$а)$ Доказательство параллельности $AB \parallel \alpha.$

$1.$ Проведем высоту $CH$ в $\triangle ABC$ $($ $H$ — середина $AB).$
$2.$ По теореме Фалеса перпендикуляр из $M$ на $AB$ проходит через $P.$

$3.$ Отрезок $QM$ перпендикулярен $BC$ и плоскости $ABC.$
$4.$ По теореме о трех перпендикулярах $AB \perp PQ.$
$5.$ Следовательно, $AB \parallel \alpha$ $($так как $\alpha \perp PQ).$

$б)$ Нахождение отношения $PX : XQ.$

$1.$ Найдём элементы треугольника:
$BH = \dfrac{AB}{2} = 6.$
$BC = \dfrac{BH}{\cos \angle ABC} = \dfrac{6}{\frac{3}{5}} = 10.$
$CH = \sqrt{BC^2-BH^2} = \sqrt{100-36} = 8.$

$2.$ Вычислим длины:
$MP = \dfrac{CH}{2} = 4$ (средняя линия).
$QM = BB_1 = 5.$

$3.$ В $\triangle PQM$ $(\angle PMQ = 90^\circ){:}$
$PQ = \sqrt{PM^2 + QM^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}.$
Высота $MX$ делит $PQ$ в отношении:
$$PX : XQ = PM^2 : QM^2 = 16 : 25.$$

Ответ:
$а)$ Прямая $AB$ параллельна плоскости $\alpha.$
$б)$ Отношение деления отрезка $PQ$ равно $16 : 25.$