ЕГЭ
КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
ОБРАЧАТ
Главная
Занятия
Куратор
Подписка
14. Стереометрическая задача: #195667
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $AB$ равна $8,$ а боковое ребро $SA$ равно $7.$ На ребрах $AB$ и $SB$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно, причем $AM = 2, SK = 1.$ Плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости $ABC$ и содержит точки $M$ и $K.$
$а)$ Докажите, что плоскость $\alpha$ содержит точку $C.$
$б)$ Найдите площадь сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha.$
Правильная четырехугольная пирамида $SABCD{:}$
Сторона основания $AB = 8.$
Боковое ребро $SA = 7.$
Точка $M \in AB$: $AM = 2 \Rightarrow MB = 6.$
Точка $K \in SB$: $SK = 1 \Rightarrow KB = 6.$
$а)$ Доказательство, что $C \in \alpha$.
$1.$ Построим:
$KL \perp (ABC).$
$ML \cap BC = N.$
$2.$ Из подобия треугольников:
$\triangle SOB \sim \triangle KLB$ $\Rightarrow$ $\dfrac{BL}{LD} = \dfrac{3}{4};$
$\triangle MBL \sim \triangle LHD$ $\Rightarrow$ $DH = 8 = DC.$
$3.$ Следовательно, точки $H$ и $C$ совпадают, значит $C \in \alpha$.
$б)$ Нахождение площади сечения.
$1.$ Вычислим: $$AC = 8\sqrt{2} \Rightarrow CO = 4\sqrt{2}$$ $$SO = \sqrt{SA^2-AO^2} = \sqrt{49-32} = \sqrt{17}$$ $2.$ Из подобия: $$\frac{KL}{SO} = \frac{KB}{SB} = \frac{6}{7} \Rightarrow KL = \frac{6\sqrt{17}}{7}$$
$3.$ Длина $MC$: $$MC = \sqrt{MB^2 + BC^2} = \sqrt{36 + 64} = 10$$
$4.$ Площадь сечения: $$S_{MKC} = \frac{1}{2} \cdot MC \cdot KL = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot \frac{6\sqrt{17}}{7} = \frac{30\sqrt{17}}{7}$$
Ответ:
$а)$ Точка $C$ принадлежит плоскости $\alpha$ — $\text{доказано.}$
$б)$ Площадь сечения равна $\dfrac{30\sqrt{17}}{7}.$
20