15. Стереометрическая задача: #195666

Пирамида $DABC$ с основанием — прямоугольным треугольником $ABC$:

Катеты $AC = 15$, $BC = 9.$
Точка $M$ — середина $AD.$
Точка $E \in BC$: $CE = 3.$
Точка $F \in AC$: $CF = 5.$
Расстояние $d(M, EF) = \sqrt{34.}$

$а)$ Доказательство, что $N$ — середина $BD.$
$1.$ Рассмотрим подобие треугольников:

$\triangle FEC \sim \triangle ABC$ по двум сторонам и углу
$\dfrac{CF}{CA} = \dfrac{CE}{CB} = \dfrac{1}{3}.$
Следовательно, $EF \parallel AB.$

$2.$ Пересечение плоскостей:
Плоскость $MEF$ пересекает $(ABD)$ по прямой $MN.$
Так как $EF \parallel AB$, то $MN \parallel AB.$

$3.$ В треугольнике $ABD{:}$
$M$ — середина $AD.$
$MN \parallel AB$ $\Rightarrow$ $N$ — середина $BD.$

$б)$ Нахождение площади сечения $MNF.$
$1.$ Вычислим длины: $$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{225 + 81} = \sqrt{306} = 3\sqrt{34}.$$ $$EF = \frac{1}{3}AB = \sqrt{34}.$$ $$MN = \frac{1}{2}AB = \frac{3}{2}\sqrt{34}.$$ $2.$ Сечение $MNEF$ — трапеция:

Высота $h = \sqrt{34}.$
Площадь:
$$S = \dfrac{MN + EF}{2} \cdot h = \dfrac{\frac{3}{2}\sqrt{34} + \sqrt{34}}{2} \cdot \sqrt{34}$$ $$S = \dfrac{\frac{5}{2}\sqrt{34}}{2} \cdot \sqrt{34} = \dfrac{5}{4} \cdot 34 = 42.5$$

Ответ:
$а)$ Точка $N$ — середина $BD$ — $\text{доказано}.$
$б)$ Площадь сечения равна $42.5.$