14. Стереометрическая задача: #195665

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD{:}$
Точка $Q$ на ребре $AB$: $AQ : QB = 1 : 2.$
Точка $P$ — середина ребра $AS.$
Площадь сечения $DSB$ равна $6.$

$а)$ Доказательство перпендикулярности плоскостей

$1.$ Обозначим:
$O$ — центр основания.
$M$ — середина $AD.$
$K = AO \cap DQ.$
$N = MO \cap DQ.$

$2.$ Из свойств средней линии:

$MO \parallel AB$ и $MO = \dfrac{AB}{2};$
$NO = \dfrac{QB}{2} = AQ.$

$3.$ Треугольники $AKQ$ и $OKN$ равны по катету и острому углу $\Rightarrow K$ — середина $AO.$

$4.$ $PK$ — средняя линия $\triangle ASO \Rightarrow PK \perp (ABCD).$

$5.$ Так как $PK \subset (DPQ)$, то $(DPQ) \perp (ABCD).$

$б)$ Нахождение площади сечения $DPQ.$

$1.$ Примем $AB = 3a,$ тогда:
$AQ = a$, $QB = 2a;$
$BD = 3a\sqrt{2}.$

$2.$ Из площади сечения $DSB{:}$
$$\frac{BD \cdot SO}{2} = 6 \Rightarrow \frac{3a\sqrt{2} \cdot h}{2} = 6 \Rightarrow ah\sqrt{2} = 4$$ $3.$ Вычислим элементы сечения:

$DQ = \sqrt{AD^2 + AQ^2} = \sqrt{(3a)^2 + a^2} = \sqrt{10}a;$
$PK = \dfrac{SO}{2} = \dfrac{h}{2}.$

$4.$ Площадь сечения:
$$S_{DPQ} = \frac{DQ \cdot PK}{2} = \frac{\sqrt{10}a \cdot \frac{h}{2}}{2} = \frac{\sqrt{10}ah}{4}$$ $5.$ Подставим $ah = \dfrac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ : $$S_{DPQ} = \frac{\sqrt{10} \cdot 2\sqrt{2}}{4} = \frac{2\sqrt{20}}{4} = \frac{4\sqrt{5}}{4} = \sqrt{5}$$

Ответ:
$а)$ Доказано, что Плоскость $DPQ$ перпендикулярна основанию.
$б)$ Площадь сечения $DPQ$ равна $\sqrt{5}.$