14. Уравнения: #194656

а) Преобразуем уравнение:

1. Используем свойства тригонометрических функций:
   $$\sin(-x) = -\sin x$$ $$\cos(-x) = \cos x$$ $$\sin2x = 2\sin x\cos x$$
2. Подставляем в уравнение:
   $$2\sin x\cos x -2\sin x + \cos x- 1 = 0$$
3. Разложим на множители:
   $$(\cos x -1)(2\sin x + 1) = 0$$
4. Решаем полученные уравнения:

• $\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}$
• $\sin x = -\dfrac{1}{2} \Rightarrow x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n$ или $x = \dfrac{7\pi}{6} + 2\pi m,\ n,m \in \mathbb{Z}$

Ответ (а):
$$x = 2\pi k$$ $$x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n$$ $$x = \dfrac{7\pi}{6} + 2\pi m$$
где $k,n,m \in \mathbb{Z}$

б) Найдем корни на отрезке $\left[2\pi; \dfrac{7\pi}{2}\right]$:

1. Для $x = 2\pi k$:

• $k = 1 \Rightarrow x = 2\pi$

2. Для $x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n$:

• $n = 2 \Rightarrow x = -\dfrac{\pi}{6} + 4\pi = \dfrac{23\pi}{6} \notin \left[2\pi; \dfrac{7\pi}{2}\right]$
• $n = 1 \Rightarrow x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi = \dfrac{11\pi}{6} \notin \left[2\pi; \dfrac{7\pi}{2}\right]$

3. Для $x = \dfrac{7\pi}{6} + 2\pi m$:

• $m = 0 \Rightarrow x = \dfrac{7\pi}{6} \notin \left[2\pi; \dfrac{7\pi}{2}\right]$
• $m = 1 \Rightarrow x = \dfrac{7\pi}{6} + 2\pi = \dfrac{19\pi}{6}$

Ответ (б):
$$2\pi, \dfrac{19\pi}{6}$$

Итоговые ответы:
а) $2\pi k;\ -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n;\ \dfrac{7\pi}{6} + 2\pi m,\ k,n,m \in \mathbb{Z}$

б) $2\pi,\ \dfrac{19\pi}{6}$