14. Уравнения: #194653

а) Преобразуем уравнение:

1. Вынесем общий множитель $\sin x$:
   $$\sin x (\cos 2x + 1) -\sqrt{2} \cos^2 x = 0$$
2. Используем тождество $\cos 2x = 2\cos^2 x- 1$:
   $$\sin x (2\cos^2 x) -\sqrt{2} \cos^2 x = 0$$
   $$2\sin x \cos^2 x -\sqrt{2} \cos^2 x = 0$$
3. Разложим на множители:
   $$\cos^2 x (2\sin x -\sqrt{2}) = 0$$
4. Решаем полученные уравнения:

• $\cos x = 0 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}$
• $\sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k$ или $x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}$

Ответ (а):
$$x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k$$
$$x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k$$
$$x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k$$
где $k \in \mathbb{Z}$

б) Найдем корни на отрезке $\left[\dfrac{3\pi}{2}, 3\pi\right]$:

1. Для $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k$:

• $k = 1 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + \pi = \dfrac{3\pi}{2}$
• $k = 2 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi = \dfrac{5\pi}{2}$

2. Для $x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k$:

• $k = 1 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi = \dfrac{9\pi}{4}$

3. Для $x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k$:

• $k = 1 \Rightarrow x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi = \dfrac{11\pi}{4}$

Ответ (б):
$$\dfrac{3\pi}{2}, \dfrac{5\pi}{2}, \dfrac{9\pi}{4}, \dfrac{11\pi}{4}$$

Итоговые ответы:
а) $\dfrac{\pi}{2} + \pi k;\ \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k;\ \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}$

б) $\dfrac{3\pi}{2},\ \dfrac{5\pi}{2},\ \dfrac{9\pi}{4},\ \dfrac{11\pi}{4}$