14. Уравнения: #194647

а) Преобразуем уравнение:

1. Вынесем общий множитель $\sin x$:
   $$\sin x (\cos 2x + 1) = \sqrt{3} \cos^2 x$$
2. Используем тождество $\cos 2x = 2\cos^2 x- 1$:
   $$\sin x (2\cos^2 x) = \sqrt{3} \cos^2 x$$
3. Перенесем все члены в одну сторону:
   $$2\sin x \cos^2 x -\sqrt{3} \cos^2 x = 0$$
   $$\cos^2 x (2\sin x -\sqrt{3}) = 0$$
4. Решаем полученные уравнения:

• $\cos x = 0 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
• $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k$ или $x = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ (а):
$$x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k$$
$$x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k$$
$$x = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k$$
где $k \in \mathbb{Z}$

б) Найдем корни на отрезке $\left[-3\pi; -\dfrac{3\pi}{2}\right]$:

1. Для $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k$:

• $k = -2 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} -2\pi = -\dfrac{3\pi}{2}$
• $k = -3 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} -3\pi = -\dfrac{5\pi}{2}$

2. Для $x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k$:

• $k = -1 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{3} -2\pi = -\dfrac{5\pi}{3}$

3. Для $x = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k$:

• Нет решений на заданном отрезке

Ответ (б):
$$-\dfrac{5\pi}{2}, -\dfrac{5\pi}{3}, -\dfrac{3\pi}{2}$$

Итоговые ответы:
а) $\dfrac{\pi}{2} + \pi k;\ \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k;\ \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}$

б) $-\dfrac{5\pi}{2},\ -\dfrac{5\pi}{3},\ -\dfrac{3\pi}{2}$