14. Уравнения: #194646

а) Преобразуем уравнение:

1. Используем тригонометрические тождества:
   $$\sin2x = 2\sin x\cos x$$
   $$\sin\left(\dfrac{\pi}{2} -x\right) = \cos x$$
2. Подставляем в уравнение:
   $$2\sin x\cos x + \sqrt{2}\sin x = 2\cos x + \sqrt{2}$$
3. Переносим все члены в одну сторону:
   $$2\sin x\cos x -2\cos x + \sqrt{2}\sin x -\sqrt{2} = 0$$
4. Разложим на множители:
   $$2\cos x(\sin x -1) + \sqrt{2}(\sin x -1) = 0$$
   $$(\sin x -1)(2\cos x + \sqrt{2}) = 0$$
5. Решаем полученные уравнения:

• $\sin x = 1 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
• $2\cos x + \sqrt{2} = 0 \Rightarrow \cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x = \pm\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ (а):
$$x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k$$
$$x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k$$
$$x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k$$
где $k \in \mathbb{Z}$

б) Найдем корни на отрезке $\left[\pi; \dfrac{5\pi}{2}\right]$:

1. Для $x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k$:

• $k = 1 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi = \dfrac{5\pi}{2}$

2. Для $x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k$:

• $k = 0 \Rightarrow x = \dfrac{3\pi}{4} \notin \left[\pi; \dfrac{5\pi}{2}\right]$
• $k = 1 \Rightarrow x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi = \dfrac{11\pi}{4} \notin \left[\pi; \dfrac{5\pi}{2}\right]$

3. Для $x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k$:

• $k = 1 \Rightarrow x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi = \dfrac{5\pi}{4}$

Ответ (б):
$$\dfrac{5\pi}{4}, \dfrac{5\pi}{2}$$

Итоговые ответы:
а) $\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k;\ \pm\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}$

б) $\dfrac{5\pi}{4},\ \dfrac{5\pi}{2}$