14. Уравнения: #194645

а) Сделаем замену переменной:

1. Пусть $t = \dfrac{1}{\sin x}$, тогда уравнение примет вид:
   $$t^2 -3t + 2 = 0$$
2. Решаем квадратное уравнение:
   $$t_1 = 1, \quad t_2 = 2$$
3. Возвращаемся к исходной переменной:

• При $t = 1$: $\sin x = 1 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
• При $t = 2$: $\sin x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ (а):
$$x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k$$
$$x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k$$
$$x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k$$
где $k \in \mathbb{Z}$

б) Найдем корни на отрезке $\left[-\dfrac{5\pi}{2}, -\pi\right]$:

1. Для $x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k$:

• $k = -1 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} — 2\pi = -\dfrac{3\pi}{2}$

2. Для $x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k$:

• $k = -1 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{6} — 2\pi = -\dfrac{11\pi}{6}$

3. Для $x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k$:

• $k = -1 \Rightarrow x = \dfrac{5\pi}{6} — 2\pi = -\dfrac{7\pi}{6}$

Ответ (б):
$$-\dfrac{11\pi}{6}, -\dfrac{3\pi}{2}, -\dfrac{7\pi}{6}$$

Итоговые ответы:
а) $\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k; \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k; \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}$

б) $-\dfrac{11\pi}{6}, -\dfrac{3\pi}{2}, -\dfrac{7\pi}{6}$