14. Уравнения: #194615

а) Преобразуем уравнение:

1. Используем формулу приведения:
   $$\sin\left(x -\dfrac{\pi}{2}\right) = -\cos x$$
   $$\sin^2\left(x -\dfrac{\pi}{2}\right) = \cos^2x$$
2. Подставляем в уравнение:
   $$4\cos^2x = \dfrac{\cos x}{\sin x}$$
3. Рассмотрим два случая:

• $\cos x = 0 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
• $4\cos x\sin x = 1 \Rightarrow 2\sin2x = 1 \Rightarrow \sin2x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = (-1)^k\dfrac{\pi}{12} + \dfrac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$

Ответ (а):
$$x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k$$
$$x = (-1)^k\dfrac{\pi}{12} + \dfrac{\pi k}{2}$$
где $k \in \mathbb{Z}$

б) Найдем корни на отрезке $[-5\pi; -4\pi]$:

1. Для $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k$:
   $$k = -5 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} -5\pi = -\dfrac{9\pi}{2}$$
2. Для $x = (-1)^k\dfrac{\pi}{12} + \dfrac{\pi k}{2}$:

• $k = -11 \Rightarrow x = -\dfrac{\pi}{12} — \dfrac{11\pi}{2} = -\dfrac{67\pi}{12} \notin [-5\pi; -4\pi]$

• $k = -10 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{12} — 5\pi = -\dfrac{59\pi}{12}$

• $k = -9 \Rightarrow x = -\dfrac{\pi}{12} — \dfrac{9\pi}{2} = -\dfrac{55\pi}{12}$

Ответ (б):
$$-\dfrac{9\pi}{2}, -\dfrac{59\pi}{12}, -\dfrac{55\pi}{12}$$

Итоговые ответы:
а) $\dfrac{\pi}{2} + \pi k; (-1)^k\dfrac{\pi}{12} + \dfrac{\pi k}{2} \mid k \in \mathbb{Z}$

б) $-\dfrac{9\pi}{2}, -\dfrac{59\pi}{12}, -\dfrac{55\pi}{12}$