14. Уравнения: #194612

а) Преобразуем уравнение:

1. Используем свойства тригонометрических функций:
   $$\sin(-x) = -\sin x$$
   $$\cos(-x) = \cos x$$
   $$\sin2x = 2\sin x\cos x$$
2. Подставляем в уравнение:
   $$4\sin x\cos x -2\sin x -2\cos x + 1 = 0$$
3. Разложим на множители:
   $$(2\cos x -1)(2\sin x -1) = 0$$
4. Решаем полученные уравнения:

• $\cos x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

• $\sin x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ (а):
$$x = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k$$
$$x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k$$
$$x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k$$
$$x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k$$
где $k \in \mathbb{Z}$

б) Найдем корни на отрезке $\left[\dfrac{5\pi}{2}, 4\pi\right]$:

1. Для $x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k$:

• $k = 2 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{3} + 4\pi = \dfrac{13\pi}{3} \notin \left[\dfrac{5\pi}{2}, 4\pi\right]$
• $k = 1 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{7\pi}{3} \notin \left[\dfrac{5\pi}{2}, 4\pi\right]$

2. Для $x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k$:

• $k = 1 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi = \dfrac{13\pi}{6} \notin \left[\dfrac{5\pi}{2}, 4\pi\right]$
• $k = 2 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{6} + 4\pi = \dfrac{25\pi}{6} \notin \left[\dfrac{5\pi}{2}, 4\pi\right]$

3. Для $x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k$:

• $k = 1 \Rightarrow x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi = \dfrac{17\pi}{6} \in \left[\dfrac{5\pi}{2}, 4\pi\right]$

4. Для $x = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k$:

• $k = 2 \Rightarrow x = -\dfrac{\pi}{3} + 4\pi = \dfrac{11\pi}{3} \in \left[\dfrac{5\pi}{2}, 4\pi\right]$

Ответ (б):
$$\dfrac{17\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{3}$$

Итоговые ответы:
а) $-\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k; \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k; \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k; \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}$

б) $\dfrac{17\pi}{6},\ \dfrac{11\pi}{3}$