14. Уравнения: #194611

а) Преобразуем уравнение:

1. Используем основное тригонометрическое тождество:
   $$\sin^2x = 1-\cos^2x$$
2. Подставим в уравнение:
   $$2\cos^2x + 1-\cos^2x = 2\cos^3x$$
   $$\cos^2x + 1 = 2\cos^3x$$
   $$2\cos^3x -\cos^2x- 1 = 0$$
3. Разложим на множители:
   $$(\cos x- 1)(2\cos^2x + \cos x + 1) = 0$$
4. Решаем полученные уравнения:

• $\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
• $2\cos^2x + \cos x + 1 = 0$ — дискриминант отрицательный, решений нет

Ответ (а):
$$x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдем корни на отрезке $\left[-\dfrac{7\pi}{2}; -2\pi\right]$:

1. Для $x = 2\pi k$:
   $$-\dfrac{7\pi}{2} \leq 2\pi k \leq -2\pi$$
   $$-\dfrac{7}{4} \leq k \leq -1$$
   Целое $k = -1 \Rightarrow x = -2\pi$

Ответ (б):
$$-2\pi$$

Итоговые ответы:
а) ${2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}}$
б) $-2\pi$