14. Уравнения: #194609

а) Преобразуем уравнение:

1. Применим тригонометрические формулы:
   $$\sin(x-\pi) = -\sin x$$
   $$\sin2x = 2\sin x\cos x$$
2. Подставим в уравнение:
   $$2\sin x\cos x + \sin x = 0$$
   $$\sin x(2\cos x + 1) = 0$$
3. Решаем полученные уравнения:

• $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$
• $2\cos x + 1 = 0 \Rightarrow \cos x = -\dfrac{1}{2} \Rightarrow x = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k$ или $x = \dfrac{4\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ (а):
$$x = \pi k$$
$$x = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k$$
$$x = \dfrac{4\pi}{3} + 2\pi k$$
где $k \in \mathbb{Z}$

б) Найдем корни на отрезке $\left[\dfrac{7\pi}{2}, 5\pi\right]$:

1. Для $x = \pi k$:

• $k = 4 \Rightarrow x = 4\pi$
• $k = 5 \Rightarrow x = 5\pi$

2. Для $x = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k$:

• $k = 2 \Rightarrow x = \dfrac{2\pi}{3} + 4\pi = \dfrac{14\pi}{3}$

3. Для $x = \dfrac{4\pi}{3} + 2\pi k$:

• Нет решений на заданном отрезке

Ответ (б):
$$4\pi, \dfrac{14\pi}{3}, 5\pi$$

Итоговые ответы:
а) $\pi k; \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k; \dfrac{4\pi}{3} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}$

б) $4\pi,\ \dfrac{14\pi}{3},\ 5\pi$