14. Уравнения: #194608

а) Преобразуем уравнение:

1. Используем формулу приведения:
   $$\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + 2x\right) = -\sin 2x$$
2. Применяем формулу двойного угла:
   $$-\sin 2x = -2\sin x \cos x$$
3. Подставляем в исходное уравнение:
   $$-2\sin x \cos x = \sqrt{2}\sin x$$
   $$\sin x(2\cos x + \sqrt{2}) = 0$$
4. Решаем полученные уравнения:

• $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$
• $2\cos x + \sqrt{2} = 0 \Rightarrow \cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x = \pm\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ (а):
$$x = \pi k$$
$$x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k$$
$$x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k$$
где $k \in \mathbb{Z}$

б) Найдем корни на отрезке $\left[-3\pi, -\dfrac{3\pi}{2}\right]$:

1. Для $x = \pi k$:

• $k = -3 \Rightarrow x = -3\pi$
• $k = -2 \Rightarrow x = -2\pi$

2. Для $x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k$:

• $k = -1 \Rightarrow x = -\dfrac{3\pi}{4}-2\pi = -\dfrac{11\pi}{4}$

3. Для $x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k$:

• Нет решений на заданном отрезке

Ответ (б):
$$-3\pi, -2\pi, -\dfrac{11\pi}{4}$$

Итоговые ответы:
а) $\pi k; \pm\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}$

б) $-3\pi,\ -2\pi,\ -\dfrac{11\pi}{4}$