14. Уравнения: #194605

а) Преобразуем уравнение:

1. Упростим тригонометрические выражения:
   $$\sin(2\pi-x) = -\sin x$$
   $$\sin2x = 2\sin x\cos x$$
2. Подставим в уравнение:
   $$2\sin^2x-\sqrt{2}\sin x + 2\sqrt{3}\sin x\cos x-\sqrt{6}\cos x = 0$$
3. Разложим на множители:
   $$(2\sin x-\sqrt{2})\sin x + \sqrt{3}\cos x(2\sin x-\sqrt{2}) = 0$$
   $$(2\sin x-\sqrt{2})(\sin x + \sqrt{3}\cos x) = 0$$
4. Решаем полученные уравнения:

• $2\sin x-\sqrt{2} = 0 \Rightarrow \sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k$ или $x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k, k\in\mathbb{Z}$
• $\sin x + \sqrt{3}\cos x = 0 \Rightarrow \tan x = -\sqrt{3} \Rightarrow x = -\dfrac{\pi}{3} + \pi k, k\in\mathbb{Z}$

Ответ (а):
$$x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k$$
$$x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k$$
$$x = -\dfrac{\pi}{3} + \pi k$$
где $k\in\mathbb{Z}$

б) Найдем корни на отрезке $\left[-\pi; \dfrac{\pi}{2}\right]$:

1. Для $x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k$:

• $k=0 \Rightarrow x=\dfrac{\pi}{4}\in\left[-\pi; \dfrac{\pi}{2}\right]$

2. Для $x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k$:

• $k=0 \Rightarrow x=\dfrac{3\pi}{4}\notin\left[-\pi; \dfrac{\pi}{2}\right]$

3. Для $x = -\dfrac{\pi}{3} + \pi k$:

• $k=0 \Rightarrow x=-\dfrac{\pi}{3}\in\left[-\pi; \dfrac{\pi}{2}\right]$
• $k=1 \Rightarrow x=\dfrac{2\pi}{3}\notin\left[-\pi; \dfrac{\pi}{2}\right]$

Ответ (б):
$$\dfrac{\pi}{4}, -\dfrac{\pi}{3}$$

Итоговые ответы:
а) $\dfrac{\pi}{4}+2\pi k; \dfrac{3\pi}{4}+2\pi k; -\dfrac{\pi}{3}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$

б) $\dfrac{\pi}{4}, -\dfrac{\pi}{3}$