14. Уравнения: #194604

а) Преобразуем уравнение:

1. Используем тригонометрические тождества:
   $$\cos2x = 2\cos^2x-1$$
   $$\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + x\right) = \cos x$$
2. Подставляем в уравнение:
   $$2\cos^2x-1-\cos x + 1 = 0$$
   $$2\cos^2x-\cos x = 0$$
   $$\cos x(2\cos x-1) = 0$$
3. Решения:

• $\cos x = 0 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
• $2\cos x-1 = 0 \Rightarrow \cos x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ (а):
$$x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k$$
$$x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k$$
$$x = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k$$
где $k \in \mathbb{Z}$

б) Найдем корни на отрезке $\left[\dfrac{5\pi}{2}; 4\pi\right]$:

1. Для $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k$:

• $k = 2 \Rightarrow x = \dfrac{5\pi}{2}$

• $k = 3 \Rightarrow x = \dfrac{7\pi}{2}$

2. Для $x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k$:

• $k = 1 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{7\pi}{3}$

• $k = 2 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{3} + 4\pi = \dfrac{13\pi}{3} \notin \left[\dfrac{5\pi}{2}; 4\pi\right]$

3. Для $x = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k$:

• $k = 2 \Rightarrow x = -\dfrac{\pi}{3} + 4\pi = \dfrac{11\pi}{3}$

Ответ (б):
$$\dfrac{5\pi}{2}, \dfrac{7\pi}{2}, \dfrac{11\pi}{3}$$

Итоговые ответы:

а) $\dfrac{\pi}{2} + \pi k; \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}$

б) $\dfrac{5\pi}{2}, \dfrac{7\pi}{2}, \dfrac{11\pi}{3}$