14. Уравнения: #194603

а) Сделаем замену $t=\dfrac{1}{\cos x}$:
$$t^2-3t+2=0$$
Корни уравнения:
$$t_1=1,\quad t_2=2$$

1. При $t=1$:
   $$\cos x=1\Rightarrow x=2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$$
2. При $t=2$:
   $$\cos x=\dfrac{1}{2}\Rightarrow x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$$

Ответ (а):
$$x=2\pi k$$
$$x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi k$$
$$x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi k$$
где $k\in\mathbb{Z}$

б) Найдем корни на отрезке $\left[-3\pi;-\dfrac{3\pi}{2}\right]$:

1. Для $x=2\pi k$:
   $$-3\pi\leq2\pi k\leq-\dfrac{3\pi}{2}$$
   $$k=-1\Rightarrow x=-2\pi$$
2. Для $x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi k$:
   $$k=-1\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{3}-2\pi=-\dfrac{5\pi}{3}$$
   $$k=-2\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{3}-4\pi=-\dfrac{11\pi}{3}\notin\left[-3\pi;-\dfrac{3\pi}{2}\right]$$
3. Для $x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi k$:
   $$k=-1\Rightarrow x=-\dfrac{\pi}{3}-2\pi=-\dfrac{7\pi}{3}$$
   $$k=-2\Rightarrow x=-\dfrac{\pi}{3}-4\pi=-\dfrac{13\pi}{3}\notin\left[-3\pi;-\dfrac{3\pi}{2}\right]$$

Ответ (б):
$$-2\pi,\ -\dfrac{5\pi}{3},\ -\dfrac{7\pi}{3}$$

Итоговые ответы:
а) $-\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\ \dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$

б) $-2\pi,\ -\dfrac{5\pi}{3},\ -\dfrac{7\pi}{3}$