14. Уравнения: #194599

а) Преобразуем уравнение:

1. Используем свойства тригонометрических функций:
   $$\cos^2x=1-\sin^2x$$
   $$\sin(-x)=-\sin x$$
2. Подставляем в уравнение:
   $$2(1-\sin^2x)-3(-\sin x)-3=0$$
   $$2-2\sin^2x+3\sin x-3=0$$
   $$-2\sin^2x+3\sin x-1=0$$
   $$2\sin^2x-3\sin x+1=0$$
3. Решаем квадратное уравнение относительно $\sin x$:
   $$D=9-8=1$$
   $$\sin x=\frac{3\pm1}{4}$$
   $$\sin x=1 \quad \text{или} \quad \sin x=\frac{1}{2}$$
4. Находим решения:

• $\sin x=1\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,k\in\mathbb{Z}$

• $\sin x=\dfrac{1}{2}\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi k$ или $x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,k\in\mathbb{Z}$

Ответ (а):
$$x=\frac{\pi}{6}+2\pi k$$
$$x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k$$
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi k$$
где $k\in\mathbb{Z}$

б) Найдем корни на отрезке $\left[\dfrac{5\pi}{2};4\pi\right]$:

1. Для $x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k$:
   $$\frac{5\pi}{2}\leq\frac{\pi}{2}+2\pi k\leq4\pi$$
   $$2\pi k\geq2\pi$$
   $$2\pi k\leq\frac{7\pi}{2}$$
   $$k=1\Rightarrow x=\frac{5\pi}{2}$$
2. Для $x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi k$:
   $$k=1\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi=\dfrac{13\pi}{6}\in\left[\dfrac{5\pi}{2};4\pi\right]$$
3. Для $x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k$:
   $$k=1\Rightarrow x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi=\dfrac{17\pi}{6}\in\left[\dfrac{5\pi}{2};4\pi\right]$$

Ответ (б):
$$\frac{5\pi}{2},\frac{13\pi}{6},\frac{17\pi}{6}$$

Итоговые ответы:
а) $ \dfrac{\pi}{6}+2\pi k;\ \dfrac{5\pi}{6}+2\pi k;\ \dfrac{\pi}{2}+2\pi k; \ k \in \mathbb{Z}$

б) $\dfrac{5\pi}{2},\ \dfrac{13\pi}{6},\ \dfrac{17\pi}{6}$