14. Уравнения: #194598

а) Преобразуем уравнение:

1. Используем тождество $\cos^2x=1-\sin^2x$:
   $$2\sin^3x+\sqrt{3}(1-\sin^2x)=\sqrt{3}$$
2. Упрощаем:
   $$2\sin^3x+\sqrt{3}-\sqrt{3}\sin^2x=\sqrt{3}$$ $$2\sin^3x-\sqrt{3}\sin^2x=0$$ $$\sin^2x(2\sin x-\sqrt{3})=0$$
3. Решения:

• $\sin x=0\Rightarrow x=\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$
• $2\sin x-\sqrt{3}=0\Rightarrow\sin x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi k$ или $x=\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$

Ответ (а):
$$x=\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$$ $$x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$$ $$x=\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$$

б) Найдем корни на отрезке $\left[-\dfrac{7\pi}{2};-2\pi\right]$:

1. Для $x=\pi k$:
   $$-\dfrac{7\pi}{2}\leq\pi k\leq-2\pi$$ $$-3.5\leq k\leq-2$$
   Целые $k=-3,-2$ $$x=-3\pi,-2\pi$$
2. Для $x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi k$:
   $$k=-2\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{3}-4\pi=-\dfrac{11\pi}{3}\notin\left[-\dfrac{7\pi}{2};-2\pi\right]$$ $$k=-1\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{3}-2\pi=-\dfrac{5\pi}{3}\notin\left[-\dfrac{7\pi}{2};-2\pi\right]$$
3. Для $x=\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k$:
   $$k=-2\Rightarrow x=\dfrac{2\pi}{3}-4\pi=-\frac{10\pi}{3}\in\left[-\frac{7\pi}{2};-2\pi\right]$$ $$k=-1\Rightarrow x=\dfrac{2\pi}{3}-2\pi=-\frac{4\pi}{3}\notin\left[-\frac{7\pi}{2};-2\pi\right]$$

Ответ (б):
$$-\dfrac{10\pi}{3},\ -3\pi,\ -2\pi$$

Итоговые ответы:
а) $x=\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$; $x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi k$; $x=\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$

б) $-\dfrac{10\pi}{3}$, $-3\pi$, $-2\pi$