14. Уравнения: #194597

а) Преобразуем уравнение:

1. Используем тождества:
   $$\cos2x=1-2\sin^2x$$ $$\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x$$
2. Подставляем:
   $$1-2\sin^2x=1-\sin x$$
3. Упрощаем:
   $$-2\sin^2x=-\sin x$$ $$2\sin^2x-\sin x=0$$ $$\sin x(2\sin x-1)=0$$
4. Решения:

• $\sin x=0\Rightarrow x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$
• $2\sin x-1=0\Rightarrow\sin x=\dfrac{1}{2}\Rightarrow x=(-1)^k\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$

Ответ (а):
$$x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$ $$x=(-1)^k\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$$

б) Найдем корни на $\left[-\dfrac{5\pi}{2};-\pi\right)$:

1. Для $x=\pi n$:
   $$-\dfrac{5\pi}{2}\leq\pi n<-\pi$$ $$-2.5\leq n<-1$$
   Целое $n=-2$ $$x=-2\pi$$
2. Для $x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k$:

• $k=-2$:
  $$x=\dfrac{\pi}{6}-2\pi=-\dfrac{11\pi}{6}$$
• $k=-1$:
  $$x=-\dfrac{\pi}{6}-\pi=-\dfrac{7\pi}{6}$$

Проверка:
$$-\dfrac{15\pi}{6}\leq-\dfrac{11\pi}{6}<-\dfrac{6\pi}{6}$$ $$-\dfrac{15\pi}{6}\leq-\dfrac{7\pi}{6}<-\dfrac{6\pi}{6}$$

Ответ (б):
$$-2\pi,-\dfrac{11\pi}{6},\ -\dfrac{7\pi}{6}$$

Итоговые ответы:
а) $x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$ и $x=(-1)^k\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$;

б) $-2\pi$, $-\dfrac{11\pi}{6}$, $-\dfrac{7\pi}{6}$.