14. Уравнения: #194658

а) Преобразуем уравнение:

1. Упростим выражение:
   $$4\sin^3x- 4\sqrt{3}\sin^2x + 3\sin x = 0$$
2. Разложим на множители:
   $$\sin x(4\sin^2x- 4\sqrt{3}\sin x + 3) = 0$$
3. Решаем полученные уравнения:

• $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi k,\ k \in \mathbb{Z}$
• $4\sin^2x -4\sqrt{3}\sin x + 3 = 0$:
  $$D = (4\sqrt{3})^2 — 4\cdot4\cdot3 = 48- 48 = 0$$
  $$\sin x = \dfrac{4\sqrt{3}}{8} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \text{ или } x = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}$$

Ответ (а):
$$x = \pi k$$ $$x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k$$ $$x = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k$$
где $k \in \mathbb{Z}$

б) Найдем корни на отрезке $[0; 2\pi]$:

1. Для $x = \pi k$:

• $k = 0 \Rightarrow x = 0$
• $k = 1 \Rightarrow x = \pi$
• $k = 2 \Rightarrow x = 2\pi$

2. Для $x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k$:

• $k = 0 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{3}$

3. Для $x = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k$:

• $k = 0 \Rightarrow x = \dfrac{2\pi}{3}$
• $k = 1 \Rightarrow x = \dfrac{8\pi}{3} \notin [0; 2\pi]$

Ответ (б):
$$0,\ \pi,\ 2\pi,\ \dfrac{\pi}{3},\ \dfrac{2\pi}{3}$$

Итоговые ответы:
а) $\pi k;\ \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k;\ \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}$

б) $0,\ \pi,\ 2\pi,\ \dfrac{\pi}{3},\ \dfrac{2\pi}{3}$