Параметр
Буква, которая считается постоянной величиной, но её значение заранее неизвестно. В уравнении $x^2-2ax+1=0$ параметр — $a$.
Переменная
Буква, относительно которой решается уравнение, неравенство или система. В уравнении $x^2-2ax+1=0$ переменная — это $x$, а параметр — $a$.
Уравнение с параметром
Уравнение, содержащее переменную и параметр. Например: $x^2-ax+a-1=0$.
Неравенство с параметром
Неравенство, в котором кроме переменной есть параметр. Нужно определить, при каких значениях параметра множество решений неравенства обладает нужным свойством.
Система с параметром
Система уравнений или неравенств, содержащая параметр: $$\begin{cases}x^2+y^2&=1, \\y=ax.\end{cases}$$
Корень уравнения
Значение переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство.
Решение системы
Набор значений всех переменных, который одновременно удовлетворяет всем уравнениям и неравенствам системы.
Количество корней
Число различных значений переменной, удовлетворяющих уравнению.
Различные корни
Корни, которые имеют разные значения. Если два выражения дают один и тот же корень, его считают один раз.
Область допустимых значений
Область допустимых значений, или ОДЗ, — это множество значений переменной и параметра, при которых все выражения имеют смысл.
Ограничения на параметр
Условия, при которых выражения с параметром имеют смысл или преобразования остаются допустимыми.
Равносильное преобразование
Преобразование, при котором множество решений не меняется.
Уравнение-следствие
Уравнение, множество корней которого может содержать лишние корни. Например, при возведении обеих частей уравнения в квадрат могут появиться посторонние корни.
Посторонний корень
Значение переменной, которое получилось в процессе решения, но не удовлетворяет исходному уравнению.
Проверка корней
Подстановка найденных значений в исходное уравнение или систему. Проверка особенно важна, если применялись возведение в квадрат, сокращение дробей или переходы от модулей к случаям.
Двойной корень
Двойной корень — это корень квадратного уравнения при $D=0$. В этом случае два корня совпадают: $x_1=x_2$.
Кратный корень
Корень, который появляется в разложении многочлена несколько раз.
Критическое значение параметра
Значение, при котором меняется количество решений или вид решения. Оно появляется, когда корни совпадают, графики касаются, знаменатель обращается в ноль, корень попадает на границу промежутка или меняется знак выражения.
Граничное значение параметра
Значение, при котором решение находится на границе заданного промежутка или области.
Разбиение на случаи
Метод, при котором задача решается отдельно для разных диапазонов параметра или переменной.
Иррациональное уравнение с параметром
Уравнение с корнями, содержащее параметр. При решении нужно учитывать неотрицательность подкоренных выражений.
Дробно-рациональное уравнение с параметром
Уравнение, содержащее дробь с переменной или параметром в знаменателе.
Метод исключения запрещённых значений
Используется в дробно-рациональных уравнениях. Сначала находят корни числителя, затем исключают те из них, при которых знаменатель равен нулю.
Касание графиков
Ситуация, когда два графика имеют одну общую точку и одинаковое направление в этой точке.
Графический метод
Способ решения, при котором уравнение или система рассматривается как задача о пересечении графиков.
Функциональный метод
Способ, при котором выражение рассматривают как функцию и исследуют её значения, монотонность, экстремумы или область значений.
Геометрическая интерпретация
Перевод алгебраической задачи на язык геометрии.
Семейство графиков
Набор графиков, зависящих от параметра. Например, уравнение $y=ax$ задаёт семейство прямых, проходящих через начало координат.
Отбор корней на промежутке
Проверка, какие найденные корни принадлежат заданному промежутку.
Равносильность при равенстве корней
Если $\sqrt{A}=\sqrt{B}$, то нужно требовать $A=B$ и $A\geq0$. Так как $A=B$, условие $B\geq0$ тогда выполняется автоматически.
Условие нулевой дроби
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Окружность
Окружность с центром $(x_0;y_0)$ и радиусом $R$ задаётся уравнением $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2$. В задачах с параметром окружность часто пересекают с прямой или семейством прямых.
Прямая с параметром
Прямая с параметром может задаваться уравнением $y=ax+b$. Параметр $a$ отвечает за наклон прямой, а параметр $b$ — за сдвиг по вертикали.
КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
ЧАТ С ИИ
