Практика к уроку «Задачи с параметром»»

Равенство квадратных корней равносильно равенству подкоренных выражений и условию неотрицательности: $$x^2-a^2=4x^2-(4a+2)x+2a,$$ $$x^2-a^2\geq0.$$

Перенесём всё в одну сторону: $$3x^2-(4a+2)x+a^2+2a=0.$$

Разложим квадратный трёхчлен на множители: $$3x^2-(4a+2)x+a^2+2a=(x-a)(3x-a-2).$$

Получаем: $(x-a)(3x-a-2)=0$.

Отсюда возможные корни: $x=a$ или $x=\frac{a+2}{3}$.

Рассмотрим первый корень: $x=a$. Он лежит на отрезке $[0;1]$, если $0\leq a\leq1$.

При этом условие $x^2-a^2\geq0$ выполняется, так как $a^2-a^2=0$. Значит, корень $x=a$ подходит при $a\in[0;1]$.

Рассмотрим второй корень: $x=\frac{a+2}{3}$. Он лежит на отрезке $[0;1]$, если $0\leq\frac{a+2}{3}\leq1$.

Отсюда: $-2\leq a\leq1$.

Теперь проверим условие неотрицательности подкоренного выражения: $$\left(\frac{a+2}{3}\right)^2-a^2\geq0.$$

Приведём к общему знаменателю: $$\frac{(a+2)^2-9a^2}{9}\geq0.$$

Разложим числитель:

$$\frac{(a+2-3a)(a+2+3a)}{9}\geq0$$ $$\frac{(2-2a)(4a+2)}{9}\geq0$$ $$\frac{4(1-a)(2a+1)}{9}\geq0.$$

Так как $\frac49>0$, получаем: $(1-a)(2a+1)\geq0$. Отсюда: $-\frac12\leq a\leq1$.

С учётом условия $-2\leq a\leq1$ получаем, что второй корень подходит при $a\in\left[-\frac12;1\right]$.

Теперь посчитаем количество различных корней.

• Корень $x=a$ существует при $a\in[0;1]$.
• Корень $x=\frac{a+2}{3}$ существует при $a\in\left[-\frac12;1\right]$.

Корни совпадают, если $a=\frac{a+2}{3}$. Тогда:

$3a=a+2$,
$2a=2$,
$a=1$.

Рассмотрим промежутки:

• при $a\in\left[-\frac12;0\right)$ существует только корень $x=\frac{a+2}{3}$, значит, корень ровно один;
• при $a=0$ существуют два различных корня: $x=0$ и $x=\frac23$;
• при $0<a<1$ существуют два различных корня;
• при $a=1$ оба корня совпадают: $x=1$, значит, корень ровно один.

Ответ: $a\in\left[-\frac12;0\right)\cup{1}$.

Равенство квадратных корней равносильно равенству подкоренных выражений и условию неотрицательности: $$x^2-a^2=5x^2-(5a+3)x+3a,$$ $$x^2-a^2\geq0.$$

Перенесём всё в одну сторону: $$4x^2-(5a+3)x+a^2+3a=0.$$

Разложим квадратный трёхчлен на множители: $$4x^2-(5a+3)x+a^2+3a=(x-a)(4x-a-3).$$

Получаем: $(x-a)(4x-a-3)=0$. Отсюда возможные корни: $x=a$ или $x=\frac{a+3}{4}$.

Рассмотрим первый корень: $x=a$. Он лежит на отрезке $[0;1]$, если $0\leq a\leq1$.

При этом условие $x^2-a^2\geq0$ выполняется, так как $a^2-a^2=0$.

Значит, корень $x=a$ подходит при $a\in[0;1]$.

Рассмотрим второй корень: $x=\frac{a+3}{4}$. Он лежит на отрезке $[0;1]$, если $0\leq\frac{a+3}{4}\leq1$.

Отсюда: $-3\leq a\leq1$.

Теперь проверим условие неотрицательности подкоренного выражения: $$\left(\frac{a+3}{4}\right)^2-a^2\geq0.$$

Приведём к общему знаменателю: $$\frac{(a+3)^2-16a^2}{16}\geq0.$$

Разложим числитель: $$\frac{(a+3-4a)(a+3+4a)}{16}\geq0$$ $$\frac{(3-3a)(5a+3)}{16}\geq0$$ $$\frac{3(1-a)(5a+3)}{16}\geq0.$$

Так как $\frac{3}{16}>0$, получаем: $(1-a)(5a+3)\geq0$. Отсюда: $-\frac35\leq a\leq1$.

С учётом условия $-3\leq a\leq1$ получаем, что второй корень подходит при $a\in\left[-\frac35;1\right]$.

Теперь посчитаем количество различных корней.

• Корень $x=a$ существует при $a\in[0;1]$.
• Корень $x=\frac{a+3}{4}$ существует при $a\in\left[-\frac35;1\right]$.
• Корни совпадают, если $a=\frac{a+3}{4}$.

Тогда:

$4a=a+3$,
$3a=3$,
$a=1$.

Рассмотрим случаи.

• При $a\in\left[-\frac35;0\right)$ существует только корень $x=\frac{a+3}{4}$, значит, корень ровно один.
• При $a=0$ существуют два различных корня: $x=0$ и $x=\frac34$.
• При $0<a<1$ существуют два различных корня.
• При $a=1$ оба корня совпадают: $x=1$, значит, корень ровно один.

Ответ: $a\in\left[-\frac35;0\right)\cup{1}$.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Решим уравнение числителя: $$4x^2-a^2=0.$$

Разложим числитель на множители: $$(2x-a)(2x+a)=0.$$

Отсюда: $x=\frac a2$ или $x=-\frac a2$.

Эти корни различны, если $\frac a2\neq-\frac a2$. Тогда: $a\neq0$.

Теперь нужно исключить значения параметра, при которых знаменатель обращается в ноль хотя бы в одном из найденных корней.

Знаменатель: $$x^2+6x+9-a^2=(x+3)^2-a^2.$$

Проверим корень $x=\frac a2$. Подставим его в знаменатель: $$\left(\frac a2+3\right)^2-a^2=0.$$

Получаем: $\frac a2+3=a$ или $\frac a2+3=-a$.

Решим первое уравнение: $$\frac a2+3=a$$ $$3=\frac a2$$ $$a=6.$$

Решим второе уравнение: $$\frac a2+3=-a$$ $$3=-\frac{3a}{2}$ $$a=-2.$$

Значит, корень $x=\frac a2$ запрещён при $a=6$ или $a=-2$. Проверим корень $x=-\frac a2$. Подставим его в знаменатель: $$\left(-\frac a2+3\right)^2-a^2=0.$$

Получаем: $-\frac a2+3=a$ или $-\frac a2+3=-a$.

Решим первое уравнение: $$-\frac a2+3=a$$ $$3=\frac{3a}{2}$$ $$a=2.$$

Решим второе уравнение: $$-\frac a2+3=-a$$ $$3=-\frac a2$$ $$a=-6.$$

Значит, корень $x=-\frac a2$ запрещён при $a=2$ или $a=-6$.

Чтобы уравнение имело ровно два различных корня, нужно, чтобы:

• $a\neq0$,
• $a\neq6$,
• $a\neq-2$,
• $a\neq2$,
• $a\neq-6$.

Ответ: $a\in\mathbb R\setminus{-6;-2;0;2;6}$.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Решим уравнение числителя: $$-6a-x^2-7x=0.$$

Умножим обе части на $-1$: $$x^2+7x+6a=0.$$

Чтобы это квадратное уравнение имело два различных корня, нужно: $D>0$.

Найдём дискриминант:

$D=7^2-4\cdot1\cdot6a$,
$D=49-24a$.

Получаем условие:

$49-24a>0$,
$24a<49$,
$a<\frac{49}{24}$.

Теперь нужно исключить значения параметра, при которых один из корней числителя обращает знаменатель в ноль.

Знаменатель равен нулю, если $x+a^2=0$. Отсюда: $x=-a^2$.

Проверим, при каких $a$ число $x=-a^2$ является корнем числителя: $$-6a-(-a^2)^2-7(-a^2)=0.$$

Получаем: $$-6a-a^4+7a^2=0.$$

Вынесем $a$: $$a(-6-a^3+7a)=0.$$

Отсюда: $a=0$ или $-a^3+7a-6=0$.

Умножим второе уравнение на $-1$: $$a^3-7a+6=0.$$

Разложим на множители: $$a^3-7a+6=(a-1)(a-2)(a+3).$$

Тогда: $(a-1)(a-2)(a+3)=0$.

Получаем: $a=1$, $a=2$, $a=-3$.

Значит, при $a=0$, $a=1$, $a=2$, $a=-3$ один из корней числителя запрещён, потому что обращает знаменатель в ноль.

Чтобы уравнение имело ровно два различных корня, должны выполняться условия:

• $a<\frac{49}{24}$,
• $a\neq-3$,
• $a\neq0$,
• $a\neq1$,
• $a\neq2$.

Ответ: $a\in\left(-\infty;-3\right)\cup\left(-3;0\right)\cup\left(0;1\right)\cup\left(1;2\right)\cup\left(2;\frac{49}{24}\right)$.

Обозначим $t=|x-a-1|+|x-a+1|$. Тогда уравнение принимает вид $$t^2-(a+5)t+4a+4=0.$$

Разложим левую часть на множители: $$t^2-(a+5)t+4a+4=(t-4)(t-a-1).$$

Значит, $(t-4)(t-a-1)=0$. Отсюда: $t=4$ или $t=a+1$.

Теперь исследуем выражение $$t=|x-a-1|+|x-a+1|.$$

Пусть $u=x-a$. Тогда $$t=|u-1|+|u+1|.$$

Если $-1\leq u\leq1$, то $t=2$.

Если $u>1$ или $u<-1$, то $t=2|u|$.

Значит, всегда $t\geq2$.

Рассмотрим первое уравнение: $t=4$. Тогда $$|u-1|+|u+1|=4.$$

Так как $4>2$, получаем: $2|u|=4$. Отсюда: $|u|=2$, $u=\pm2$.

Так как $u=x-a$, получаем два корня: $x=a-2$ и $x=a+2$. Эти два корня существуют при любом $a$.

Рассмотрим второе уравнение: $t=a+1$. Так как $t\geq2$, необходимо: $a+1\geq2$. Отсюда: $a\geq1$.

Если $a<1$, то уравнение $t=a+1$ решений не даёт. Тогда остаются только два корня из уравнения $t=4$, значит, $a<1$ подходит.

Если $a=1$, то $t=a+1=2$.

Уравнение $|u-1|+|u+1|=2$ имеет бесконечно много решений при $-1\leq u\leq1$, то есть при $a-1\leq x\leq a+1$.

Значит, при $a=1$ у исходного уравнения не ровно два корня.

Если $a>1$, то $a+1>2$, поэтому уравнение $t=a+1$ даёт два корня: $$2|u|=a+1$$ $$|u|=\frac{a+1}{2}$$ $$u=\pm\frac{a+1}{2}.$$

Тогда $x=a-\frac{a+1}{2}$ и $x=a+\frac{a+1}{2}$.

Чтобы общее количество различных корней осталось равным двум, эти корни должны совпасть с корнями, полученными из уравнения $t=4$. Для этого нужно: $\frac{a+1}{2}=2$. Отсюда: $a+1=4$, $a=3$.

При $a=3$ оба уравнения $t=4$ и $t=a+1$ дают одни и те же два корня.

При $a>1$, $a\neq3$, появляются ещё два корня, поэтому всего получается $4$ различных корня.

Ответ: $a\in(-\infty;1)\cup{3}$.

Обозначим $y=1-(x+3a-2)^2$ и $z=2^{|x-a|}$. Тогда уравнение принимает вид $$y^3-y^2=z^3-z^2.$$

Вынесем общие множители: $$y^2(y-1)=z^2(z-1).$$

Заметим, что $y=1-(x+3a-2)^2\leq1$, поэтому $y-1\leq0$, значит, $y^2(y-1)\leq0$.

Также $z=2^{|x-a|}\geq1$, поэтому $z-1\geq0$, значит, $z^2(z-1)\geq0$.

Левая часть не больше нуля, а правая часть не меньше нуля. Поэтому равенство возможно только тогда, когда обе части равны нулю: $y^2(y-1)=0$ и $z^2(z-1)=0$.

Из условия $z^2(z-1)=0$ получаем: $z=1$. Тогда $2^{|x-a|}=1$.

Так как $2^0=1$, получаем: $|x-a|=0$, $x=a$.

Теперь рассмотрим условие $y^2(y-1)=0$. Отсюда: $y=0$ или $y=1$.

Так как $y=1-(x+3a-2)^2$, получаем: $1-(x+3a-2)^2=0$ или $1-(x+3a-2)^2=1$.

В первом случае: $$(x+3a-2)^2=1$$ $$x+3a-2=\pm1.$$

Во втором случае: $$(x+3a-2)^2=0$$ $$x+3a-2=0.$$

Значит, нужно, чтобы выполнялось одно из условий:

• $x+3a-2=-1$,
• $x+3a-2=0$,
• $x+3a-2=1$.

Но из правой части мы уже получили $x=a$. Подставим:

• $a+3a-2=-1$,
• $a+3a-2=0$,
• $a+3a-2=1$.

Получаем:

• $4a-2=-1$,
• $4a-2=0$,
• $4a-2=1$.

Решим эти уравнения:

$4a=1$,
$a=\frac14$.

$4a=2$,
$a=\frac12$.

$4a=3$,
$a=\frac34$.

При каждом из этих значений параметра существует корень $x=a$.

Ответ: $a\in\left\{\frac14,\frac12,\frac34\right\}$.

Разложим второе уравнение на множители: $$x^2-xy+3x-3y=0.$$

Сгруппируем слагаемые: $$x(x-y)+3(x-y)=0.$$

Вынесем общий множитель: $$(x+3)(x-y)=0.$$

Значит, второе уравнение задаёт совокупность двух прямых: $x=-3$ или $y=x$.

Теперь найдём точки пересечения каждой прямой с первым уравнением.

Рассмотрим прямую $x=-3$. Подставим $x=-3$ в первое уравнение: $$|-3|+|3y|=3a.$$

Так как $|-3|=3$, а $|3y|=3|y|$, получаем: $$3+3|y|=3a.$$

Разделим на $3$: $1+|y|=a$. Отсюда: $|y|=a-1$.

Так как $|y|\geq0$, нужно условие: $a-1\geq0$, $a\geq1$.

Если $a=1$, то $|y|=0$, поэтому получаем одно решение на прямой $x=-3$: $y=0$.

Если $a>1$, то получаем два решения: $y=a-1$ и $y=1-a$.

Значит, прямая $x=-3$ даёт:

• при $0<a<1$ — $0$ решений;
• при $a=1$ — $1$ решение;
• при $a>1$ — $2$ решения.

Теперь рассмотрим прямую $y=x$. Подставим $y=x$ в первое уравнение: $$|x|+|3x|=3a.$$

Так как $|3x|=3|x|$, получаем: $$|x|+3|x|=3a$$ $$4|x|=3a.$$

Так как $a>0$, имеем: $|x|=\frac{3a}{4}$.

Отсюда получаем два решения: $x=\frac{3a}{4}$ или $x=-\frac{3a}{4}$.

Так как $y=x$, соответствующие точки: $\left(\frac{3a}{4};\frac{3a}{4}\right)$ и $\left(-\frac{3a}{4};-\frac{3a}{4}\right)$.

Значит, прямая $y=x$ при любом $a>0$ даёт $2$ решения.

Теперь посчитаем общее количество различных решений.

• При $0<a<1$ прямая $x=-3$ не даёт решений, а прямая $y=x$ даёт $2$ решения. Значит, всего $2$ решения.
• При $a=1$ прямая $x=-3$ даёт $1$ решение, а прямая $y=x$ даёт $2$ решения. Всего $3$ решения.
• При $a>1$ каждая из двух прямых даёт по $2$ решения, то есть всего может быть $4$ решения.

Но нужно проверить, когда решения совпадают.

Прямые $x=-3$ и $y=x$ пересекаются в точке: $(-3;-3)$. Эта точка будет решением системы, если она лежит на первом уравнении: $$|-3|+|3\cdot(-3)|=3a$$ $$3+9=3a$$ $$12=3a$$ $$a=4.$$

Значит, при $a=4$ одна точка считается дважды, поэтому различных решений будет не $4$, а $3$.

Следовательно, ровно $4$ различных решения система имеет при $a>1$, $a\neq4$.

Ответ: $a\in(1;4)\cup(4;+\infty)$.

Так как в знаменателе стоит выражение $\sqrt{x}+2$, нужно учитывать условие $x\geq0$. При этом $\sqrt{x}+2>0$ при всех $x\geq0$, поэтому дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю: $$x^2-xy-4y+4=0.$$

Из второго уравнения системы имеем: $y=ax$. Подставим это в первое уравнение: $$x^2-x\cdot ax-4ax+4=0.$$

Получаем: $$x^2-ax^2-4ax+4=0$$ $$(1-a)x^2-4ax+4=0.$$

Теперь нужно найти, при каких $a$ это уравнение имеет ровно два различных корня $x$, принадлежащих области $x\geq0$.

Рассмотрим случай $a=1$. Тогда уравнение принимает вид $-4x+4=0$. Отсюда: $x=1$. Получается только один корень, поэтому $a=1$ не подходит.

Пусть $a\neq1$. Тогда уравнение является квадратным. Чтобы оно имело два различных действительных корня, нужно: $D>0$. Найдём дискриминант:

$D=(-4a)^2-4(1-a)\cdot4$
$D=16a^2-16(1-a)$
$D=16(a^2+a-1)$.

Получаем условие: $a^2+a-1>0$. Решим неравенство: $$a^2+a-1=0$$ $$a=\frac{-1\pm\sqrt5}{2}.$$

Так как парабола $a^2+a-1$ направлена ветвями вверх, то $a^2+a-1>0$ при $a<\frac{-1-\sqrt5}{2}$ или $a>\frac{-1+\sqrt5}{2}$.

Теперь нужно, чтобы оба корня квадратного уравнения были неотрицательными.

Для уравнения $(1-a)x^2-4ax+4=0$ сумма корней равна $x_1+x_2=\frac{4a}{1-a}$, а произведение корней равно $x_1x_2=\frac{4}{1-a}$.

Чтобы оба корня были неотрицательными и различными, нужно: $x_1+x_2>0$ и $x_1x_2>0$. Из условия $x_1x_2=\frac{4}{1-a}>0$ получаем:

$1-a>0$,
$a<1$.

При $a<1$ условие $x_1+x_2=\frac{4a}{1-a}>0$ равносильно $a>0$. Значит, оба корня будут положительными при $0<a<1$.

Теперь объединим это с условием $D>0$: $a>\frac{-1+\sqrt5}{2}$ и $a<1$. Получаем: $\frac{\sqrt5-1}{2}<a<1$.

При таких значениях $a$ квадратное уравнение имеет два различных положительных корня $x$, а каждому корню $x$ соответствует единственное значение $y=ax$.

Значит, система имеет ровно два различных решения.

Ответ: $a\in\left(\frac{\sqrt5-1}{2};1\right)$.