Практика к уроку «Тригонометрические уравнения»

Используем формулу приведения: $$\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos x.$$

Тогда уравнение принимает вид: $$\cos 2x=\cos x.$$

Используем формулу: $\cos 2x=2\cos^2x-1$. Получаем: $2\cos^2x-1=\cos x$.

Перенесём всё в левую часть: $$2\cos^2x-\cos x-1=0.$$

Сделаем замену: $t=\cos x$. Тогда: $2t^2-t-1=0$. Разложим: $(2t+1)(t-1)=0$.

Отсюда: $t=-\frac12$ или $t=1$. Возвращаемся к замене.

• Если $\cos x=1$, то $x=2\pi n$, где $n\in\mathbb{Z}$.
• Если $\cos x=-\frac12$, то $x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n$, где $n\in\mathbb{Z}$.

Теперь выберем корни из промежутка $[-2\pi;-\pi]$.

• Из серии $x=2\pi n$ подходит: $x=-2\pi$.
• Из серии $x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n$ подходит: $x=-\frac{4\pi}{3}$.

Ответ:

а) $x=2\pi n$ или $x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.
б) $-2\pi;\ -\frac{4\pi}{3}$.

Используем формулу приведения: $$\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=\sin x.$$

Тогда уравнение принимает вид: $$\sin 2x=\sin x.$$

Используем формулу двойного угла: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Получаем: $2\sin x\cos x=\sin x$.

Перенесём всё в левую часть: $2\sin x\cos x-\sin x=0$.

Вынесем $\sin x$ за скобки: $\sin x(2\cos x-1)=0$.

Произведение равно нулю, значит: $\sin x=0$ или $2\cos x-1=0$.

Решим первое уравнение:

$\sin x=0$
$x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$.

Решим второе уравнение:

$2\cos x-1=0$
$\cos x=\frac12$
$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$.

Теперь выберем корни, принадлежащие отрезку $[-\pi;0]$.

• Из серии $x=\pi n$ подходят: $x=-\pi$, $x=0$.
• Из серии $x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n$ подходит: $x=-\frac{\pi}{3}$.

Ответ:

а) $x=\pi n$ или $x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$.
б) $-\pi;\ -\frac{\pi}{3};\ 0$.

Используем формулу приведения: $$\sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=-\cos x.$$

Тогда уравнение принимает вид: $$6\sin^2x-15\cos x-12=0.$$

Выразим $\sin^2x$ через $\cos x$: $\sin^2x=1-\cos^2x$.

Получаем:

$6(1-\cos^2x)-15\cos x-12=0$
$6-6\cos^2x-15\cos x-12=0$
$-6\cos^2x-15\cos x-6=0$.

Умножим на $-1$: $$6\cos^2x+15\cos x+6=0.$$

Разделим на $3$: $$2\cos^2x+5\cos x+2=0.$$

Сделаем замену: $t=\cos x$. Тогда: $2t^2+5t+2=0$.

Разложим: $(2t+1)(t+2)=0$. Отсюда: $t=-\frac12$ или $t=-2$.

Но $\cos x$ не может быть равен $-2$, поэтому остаётся: $\cos x=-\frac12$.

Тогда: $x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$.

Теперь выберем корни, принадлежащие отрезку $[-5\pi;-\frac{7\pi}{2}]$.

• Из серии $x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n$ корней на этом отрезке нет.
• Из серии $x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n$ при $n=-2$ получаем: $x=-\frac{2\pi}{3}-4\pi=-\frac{14\pi}{3}$.

Проверим:

$-5\pi=-\frac{15\pi}{3}$
$-\frac{7\pi}{2}=-\frac{21\pi}{6}$.

А $-\frac{14\pi}{3}=-\frac{28\pi}{6}$. Значит, $-5\pi<-\frac{14\pi}{3}<-\frac{7\pi}{2}$.

Ответ:

а) $x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$.
б) $-\frac{14\pi}{3}$.

Используем формулу приведения: $$\sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=-\cos x.$$

Тогда уравнение принимает вид: $$2\sin^2x+3\cos x-3=0.$$

Выразим $\sin^2x$ через $\cos x$: $\sin^2x=1-\cos^2x$. Получаем:

$2(1-\cos^2x)+3\cos x-3=0$
$2-2\cos^2x+3\cos x-3=0$
$-2\cos^2x+3\cos x-1=0$.

Умножим на $-1$: $2\cos^2x-3\cos x+1=0$.

Сделаем замену: $t=\cos x$. Тогда: $2t^2-3t+1=0$.

Разложим: $(2t-1)(t-1)=0$. Отсюда: $t=\frac12$ или $t=1$.

Возвращаемся к замене: $\cos x=\frac12$ или $\cos x=1$.

Решим первое уравнение:

$\cos x=\frac12$
$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$.

Решим второе уравнение:

$\cos x=1$
$x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z$.

Теперь выберем корни, принадлежащие отрезку $[-2\pi;-\frac{\pi}{2}]$.

• Из серии $x=2\pi n$ подходит: $x=-2\pi$.
• Из серии $x=\frac{\pi}{3}+2\pi n$ при $n=-1$ получаем: $x=\frac{\pi}{3}-2\pi=-\frac{5\pi}{3}$.
• Из серии $x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n$ корней на данном отрезке нет.

Ответ:

а) $x=2\pi n$ или $x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$.
б) $-2\pi;\ -\frac{5\pi}{3}$.

Заметим, что левая часть является квадратом: $$4\cos^4x-4\cos^2x+1=(2\cos^2x-1)^2.$$

Тогда уравнение принимает вид: $$(2\cos^2x-1)^2=0.$$

Значит:

$2\cos^2x-1=0$
$2\cos^2x=1$
$\cos^2x=\frac12$.

Отсюда: $\cos x=\pm\frac{\sqrt2}{2}$.

Это выполняется при $x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$.

Теперь выберем корни, принадлежащие отрезку $[-2\pi;-\pi]$. Подставим подходящие значения $n$:

• при $n=-4$:
  $x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi\cdot(-4)}{2}$
  $x=\frac{\pi}{4}-2\pi$
  $x=-\frac{7\pi}{4}$,
• при $n=-3$:
  $x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi\cdot(-3)}{2}$
  $x=\frac{\pi}{4}-\frac{3\pi}{2}$
  $x=-\frac{5\pi}{4}$.

Оба значения лежат на отрезке $[-2\pi;-\pi]$.

Ответ:

а) $x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$.
б) $-\frac{7\pi}{4};\ -\frac{5\pi}{4}$.

Заметим, что левая часть является квадратом: $$16\cos^4x-24\cos^2x+9=(4\cos^2x-3)^2.$$

Тогда уравнение принимает вид: $$(4\cos^2x-3)^2=0.$$

Значит:

$4\cos^2x-3=0$
$4\cos^2x=3$
$\cos^2x=\frac34$.

Отсюда: $\cos x=\pm\frac{\sqrt3}{2}$. Значит, $x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$.

Теперь выберем корни, принадлежащие отрезку $[-2\pi;-\pi]$.

• Из серии $x=\frac{\pi}{6}+\pi n$ при $n=-2$ получаем $x=\frac{\pi}{6}-2\pi=-\frac{11\pi}{6}$.
• Из серии $x=-\frac{\pi}{6}+\pi n$ при $n=-1$ получаем: $x=-\frac{\pi}{6}-\pi=-\frac{7\pi}{6}$.

Оба корня лежат на отрезке $[-2\pi;-\pi]$.

Ответ:

а) $x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$.
б) $-\frac{11\pi}{6};\ -\frac{7\pi}{6}$.

Используем формулу приведения: $$\cos\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)=-\sin x.$$

Тогда уравнение принимает вид: $$2\cos^2x+1=-2\sqrt2\sin x.$$

Выразим $\cos^2x$ через $\sin x$: $\cos^2x=1-\sin^2x$.

Получаем:

$2(1-\sin^2x)+1=-2\sqrt2\sin x$
$2-2\sin^2x+1=-2\sqrt2\sin x$
$3-2\sin^2x=-2\sqrt2\sin x$.

Перенесём всё в одну сторону: $$2\sin^2x-2\sqrt2\sin x-3=0.$$

Сделаем замену: $t=\sin x$. Тогда: $2t^2-2\sqrt2t-3=0$

Найдём дискриминант:

$D=(-2\sqrt2)^2-4\cdot2\cdot(-3)$
$D=8+24=32$
$\sqrt D=4\sqrt2$.

Тогда:

$t_1=\frac{2\sqrt2+4\sqrt2}{4}=\frac{3\sqrt2}{2}$
$t_2=\frac{2\sqrt2-4\sqrt2}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}$.

Так как $\frac{3\sqrt2}{2}>1$, это значение не подходит для синуса.

Остаётся: $\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}$.

Отсюда: $x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n$ или $x=\frac{5\pi}{4}+2\pi n$, $n\in\mathbb Z$.

Теперь выберем корни на отрезке $[\frac{3\pi}{2};3\pi]$.

• Из серии $x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n$ при $n=1$ получаем: $x=-\frac{\pi}{4}+2\pi=\frac{7\pi}{4}$.
• Из серии $x=\frac{5\pi}{4}+2\pi n$ при $n=1$ получаем: $x=\frac{5\pi}{4}+2\pi=\frac{13\pi}{4}$. Но $\frac{13\pi}{4}>3\pi$, значит этот корень не подходит.

Ответ:

а) $x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n$ или $x=\frac{5\pi}{4}+2\pi n$, $n\in\mathbb Z$.
б) $\frac{7\pi}{4}$.

Используем формулу приведения: $$\sin(\pi+x)=-\sin x.$$

Тогда уравнение принимает вид: $$2\sin^2x+1=-2\sqrt2\sin x.$$

Перенесём всё в левую часть: $$2\sin^2x+2\sqrt2\sin x+1=0.$$

Сделаем замену: $t=\sin x$. Получаем квадратное уравнение: $$2t^2+2\sqrt2t+1=0.$$

Найдём дискриминант: $D=(2\sqrt2)^2-4\cdot2\cdot1=8-8=0$.

Значит, уравнение имеет один корень: $t=\frac{-2\sqrt2}{2\cdot2}=-\frac{\sqrt2}{2}$.

Возвращаемся к замене: $\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}$. Отсюда: $x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$ или $x=\frac{5\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$.

Теперь выберем корни, принадлежащие отрезку $[-\pi;0]$.

• Из серии $x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n$ при $n=0$ получаем: $x=-\frac{\pi}{4}$.
• Из серии $x=\frac{5\pi}{4}+2\pi n$ при $n=-1$ получаем: $x=\frac{5\pi}{4}-2\pi=-\frac{3\pi}{4}$.

Оба корня принадлежат отрезку $[-\pi;0]$.

Ответ:

а) $x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n$ или $x=\frac{5\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$.
б) $-\frac{3\pi}{4};\ -\frac{\pi}{4}$.

Используем формулы: $$\sin 2x=\frac{2\operatorname{tg}x}{1+\operatorname{tg}^2x}$$ $$\cos 2x=\frac{1-\operatorname{tg}^2x}{1+\operatorname{tg}^2x}$$ $$\cos^2x=\frac{1}{1+\operatorname{tg}^2x}$$

Пусть $t=\operatorname{tg}x$. Тогда уравнение принимает вид: $$\frac{2t}{1+t^2}+2\cdot\frac{1}{1+t^2}+\frac{1-t^2}{1+t^2}=0.$$

Объединим дроби:

$\frac{2t+2+1-t^2}{1+t^2}=0$
$\frac{-t^2+2t+3}{1+t^2}=0$.

Так как $1+t^2\ne0$, получаем: $-t^2+2t+3=0$. Умножим на $-1$: $t^2-2t-3=0$.

Разложим: $(t-3)(t+1)=0$. Отсюда: $t=3$ или $t=-1$.

Возвращаемся к замене: $\operatorname{tg}x=3$ или $\operatorname{tg}x=-1$.

Получаем решения: $x=\operatorname{arctg}3+\pi n,\ n\in\mathbb Z$ или $x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$.

Теперь выберем корни, принадлежащие отрезку $[-\frac{9\pi}{2};-3\pi]$.

• Из серии $x=-\frac{\pi}{4}+\pi n$ подходят:
  • при $n=-4$: $x=-\frac{\pi}{4}-4\pi=-\frac{17\pi}{4}$
  • при $n=-3$: $x=-\frac{\pi}{4}-3\pi=-\frac{13\pi}{4}$.
• Из серии $x=\operatorname{arctg}3+\pi n$ подходит значение при $n=-4$: $x=\operatorname{arctg}3-4\pi$.

Ответ:

а) $x=\operatorname{arctg}3+\pi n$ или $x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$.
б) $-\frac{17\pi}{4};\ \operatorname{arctg}3-4\pi;\ -\frac{13\pi}{4}$.

Сначала заметим, что при $\cos x=0$ уравнение не обращается в верное равенство: $$\sin 2x+2\cos^2x-3\cos 2x=0+0-3\cdot(-1)=3\ne0.$$

Значит, можно делить на выражения, содержащие $\cos x$, и использовать тангенс. Используем формулы:

$\sin 2x=\frac{2\operatorname{tg}x}{1+\operatorname{tg}^2x}$
$\cos^2x=\frac{1}{1+\operatorname{tg}^2x}$
$\cos 2x=\frac{1-\operatorname{tg}^2x}{1+\operatorname{tg}^2x}$.

Пусть $t=\operatorname{tg}x$. Тогда уравнение принимает вид: $$\frac{2t}{1+t^2}+2\cdot\frac{1}{1+t^2}-3\cdot\frac{1-t^2}{1+t^2}=0.$$

Объединим дроби:

$\frac{2t+2-3+3t^2}{1+t^2}=0$
$\frac{3t^2+2t-1}{1+t^2}=0$.

Так как $1+t^2\ne0$, получаем: $3t^2+2t-1=0$.

Разложим квадратный трёхчлен: $(3t-1)(t+1)=0$. Отсюда: $t=\frac13$ или $t=-1$.

Возвращаемся к замене: $\operatorname{tg}x=\frac13$ или $\operatorname{tg}x=-1$.

Получаем решения: $x=\operatorname{arctg}\frac13+\pi n,\ n\in\mathbb Z$ или $x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$.

Теперь выберем корни, принадлежащие отрезку $[-\frac{5\pi}{2};-\pi]$.

• Из серии $x=-\frac{\pi}{4}+\pi n$ подходят:
  • при $n=-2$: $x=-\frac{\pi}{4}-2\pi=-\frac{9\pi}{4}$,
  • при $n=-1$: $x=-\frac{\pi}{4}-\pi=-\frac{5\pi}{4}$.
• Из серии $x=\operatorname{arctg}\frac13+\pi n$ подходит значение при $n=-2$ $x=\operatorname{arctg}\frac13-2\pi$.

Ответ:

а) $x=\operatorname{arctg}\frac13+\pi n$ или $x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$.
б) $-\frac{9\pi}{4};\ \operatorname{arctg}\frac13-2\pi;\ -\frac{5\pi}{4}$.

Используем формулу разности квадратов: $$(a-b)(a+b)=a^2-b^2.$$

Тогда: $$\left(\cos\frac{x}{2}-\sin\frac{x}{2}\right)\left(\cos\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}\right)=\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}.$$

По формуле двойного угла: $$\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}=\cos x.$$

Значит, уравнение принимает вид: $\sin x+\cos x=0$. Перенесём: $\sin x=-\cos x$.

Если $\cos x=0$, то исходное уравнение не выполняется, поэтому можно разделить на $\cos x$:

$\frac{\sin x}{\cos x}=-1$
$\operatorname{tg}x=-1$.

Отсюда: $x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$.

Теперь выберем корни, принадлежащие промежутку $[\pi;\frac{5\pi}{2}]$.

• При $n=2$: $x=-\frac{\pi}{4}+2\pi=\frac{7\pi}{4}$.
• При $n=3$: $x=-\frac{\pi}{4}+3\pi=\frac{11\pi}{4}$.

Но $\frac{11\pi}{4}>\frac{5\pi}{2}$, значит этот корень не подходит.

Ответ:

а) $x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$.
б) $\frac{7\pi}{4}$.

Используем формулу: $$\sin 2x=2\sin x\cos x.$$

Тогда: $\frac12\sin 2x=\sin x\cos x$. Подставим в уравнение: $$\sin^2x-\sin x\cos x+\sin x=\cos x.$$

Перенесём всё в левую часть: $$\sin^2x-\sin x\cos x+\sin x-\cos x=0.$$

Сгруппируем слагаемые: $$\sin x(\sin x-\cos x)+(\sin x-\cos x)=0.$$

Вынесем общий множитель: $$(\sin x-\cos x)(\sin x+1)=0.$$

Получаем два уравнения: $\sin x-\cos x=0$ или $\sin x+1=0$.

Решим первое уравнение:

$\sin x=\cos x$
$\operatorname{tg}x=1$
$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$.

Решим второе уравнение:

$\sin x=-1$
$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$.

Теперь выберем корни на промежутке $[0;\frac{3\pi}{2}]$.

• Из серии $x=\frac{\pi}{4}+\pi n$ подходят: $x=\frac{\pi}{4}$, $x=\frac{5\pi}{4}$.
• Из серии $x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n$ подходит: $x=\frac{3\pi}{2}$.

Ответ:

а) $x=\frac{\pi}{4}+\pi n$ или $x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$.
б) $\frac{\pi}{4};\frac{5\pi}{4};\frac{3\pi}{2}$.

Используем формулу: $$\cos A=\cos B.$$

Тогда: $A=\pm B+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$. В нашем случае: $A=\pi+2x$, $B=x$. Получаем два случая.

Первый случай:

$\pi+2x=x+2\pi n$
$x=-\pi+2\pi n$.

Второй случай:

$\pi+2x=-x+2\pi n$
$3x=-\pi+2\pi n$
$x=-\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3}$.

Теперь выберем корни, принадлежащие отрезку $[0;2\pi]$.

• Из серии $x=-\pi+2\pi n$ при $n=1$ получаем: $x=\pi$.
• Из серии $x=-\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3}$ подходят:
  • при $n=1$: $x=-\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi}{3}=\frac{\pi}{3}$,
  • при $n=2$: $x=-\frac{\pi}{3}+\frac{4\pi}{3}=\pi$,
  • при $n=3$: $x=-\frac{\pi}{3}+2\pi=\frac{5\pi}{3}$,

Значит, на отрезке $[0;2\pi]$ лежат корни: $\frac{\pi}{3};\ \pi;\ \frac{5\pi}{3}$.

Ответ:

а) $x=-\pi+2\pi n$ или $x=-\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3}$, $n\in\mathbb Z$.
б) $\frac{\pi}{3};\ \pi;\ \frac{5\pi}{3}$.

Используем формулы приведения:

$\sin(\pi+x)=-\sin x$
$\cos(2\pi+x)=\cos x$
$\cos(2\pi-x)=\cos x$.

Тогда уравнение принимает вид:

$2\cdot(-\sin x)\cdot\cos x=\cos x$
$-2\sin x\cos x=\cos x$.

Перенесём всё в левую часть: $-2\sin x\cos x-\cos x=0$. Вынесем $\cos x$ за скобки: $$\cos x(-2\sin x-1)=0.$$

Произведение равно нулю, значит: $\cos x=0$ или $-2\sin x-1=0$.

Решим первое уравнение:

$\cos x=0$
$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$.

Решим второе уравнение:

$-2\sin x-1=0$
$-2\sin x=1$
$\sin x=-\frac12$.

Отсюда: $x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n$ или $x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$.

Теперь выберем корни, принадлежащие отрезку $[-\pi;0]$.

• Из серии $x=\frac{\pi}{2}+\pi n$ подходит: $x=-\frac{\pi}{2}$

• Из серии $x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n$ подходит: $x=-\frac{\pi}{6}$.
• Из серии $x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n$ подходит: $x=-\frac{5\pi}{6}$.

Ответ:

а) $x=\frac{\pi}{2}+\pi n$ или $x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n$ или $x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$.
б) $-\frac{5\pi}{6};\ -\frac{\pi}{2};\ -\frac{\pi}{6}$.

Используем формулу: $$\cos\left(a-\frac{\pi}{4}\right)=\cos a\cos\frac{\pi}{4}+\sin a\sin\frac{\pi}{4}.$$

Так как $\cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}$, то $$\sqrt2\cos\left(a-\frac{\pi}{4}\right)=\cos a+\sin a.$$

В нашем уравнении $a=4\pi x$, поэтому: $$\sqrt2\cos\left(4\pi x-\frac{\pi}{4}\right)=\cos(4\pi x)+\sin(4\pi x).$$

Тогда правая часть равна:

$\cos(4\pi x)+\cos(4\pi x)+\sin(4\pi x)$
$2\cos(4\pi x)+\sin(4\pi x)$.

Получаем уравнение: $$2\cos^2(4\pi x)+\sin(4\pi x)=2\cos(4\pi x)+\sin(4\pi x).$$

Сократим $\sin(4\pi x)$: $2\cos^2(4\pi x)=2\cos(4\pi x)$.

Разделим на $2$: $\cos^2(4\pi x)=\cos(4\pi x)$. Перенесём всё в одну сторону: $$\cos^2(4\pi x)-\cos(4\pi x)=0.$$

Вынесем общий множитель: $$\cos(4\pi x)(\cos(4\pi x)-1)=0.$$

Получаем два уравнения: $\cos(4\pi x)=0$ или $\cos(4\pi x)=1$.

Решим первое уравнение:

$\cos(4\pi x)=0$
$4\pi x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$
$x=\frac18+\frac{n}{4},\ n\in\mathbb Z$.

Решим второе уравнение:

$\cos(4\pi x)=1$
$4\pi x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z$
$x=\frac{n}{2},\ n\in\mathbb Z$.

Теперь выберем корни, принадлежащие отрезку $[\frac14;\frac34]$.

• Из серии $x=\frac18+\frac{n}{4}$ подходят:
  • при $n=1$: $x=\frac18+\frac14=\frac38$,
  • при $n=2$: $x=\frac18+\frac24=\frac58$.
• Из серии $x=\frac{n}{2}$ подходит: при $n=1$ $x=\frac12$.

Ответ:

а) $x=\frac18+\frac{n}{4}$ или $x=\frac{n}{2}$, $n\in\mathbb Z$.
б) $\frac38;\frac12;\frac58$.