Практика к уроку «Корни и логарифмы»

Перенесём $-3$ в правую часть: $$\sqrt{x^3+4x^2+9}=x+3.$$

Так как левая часть неотрицательна, должно выполняться условие: $x+3\ge0$, $x\ge -3$.

Теперь возведём обе части уравнения в квадрат:

$x^3+4x^2+9=(x+3)^2$
$x^3+4x^2+9=x^2+6x+9$.

Перенесём всё в левую часть:

$x^3+4x^2+9-x^2-6x-9=0$
$x^3+3x^2-6x=0$.

Вынесем $x$ за скобки: $x(x^2+3x-6)=0$. Отсюда: $x=0$ или $x^2+3x-6=0$.

Решим квадратное уравнение:

$D=3^2-4\cdot1\cdot(-6)=9+24=33$
$x=\frac{-3\pm\sqrt{33}}{2}$.

Получаем три возможных корня:

• $x=0$
• $x=\frac{-3+\sqrt{33}}{2}$
• $x=\frac{-3-\sqrt{33}}{2}$.

Проверим условие $x\ge -3$.

• $x=0$ подходит.
• $\frac{-3+\sqrt{33}}{2}$ подходит, так как это положительное число.
• $\frac{-3-\sqrt{33}}{2}$ не подходит, так как $\frac{-3-\sqrt{33}}{2}<-3$.

Значит, корни уравнения: $0;\ \frac{-3+\sqrt{33}}{2}$.

Теперь выберем корни, принадлежащие отрезку $[-\frac92;\frac75]$.

$0\in[-\frac92;\frac75]$

Проверим второй корень:

$\frac{-3+\sqrt{33}}{2}\approx \frac{-3+5{,}74}{2}\approx1{,}37$. А $\frac75=1{,}4$. Значит, $\frac{-3+\sqrt{33}}{2}\in[-\frac92;\frac75]$.

Ответ:

а) $0;\ \frac{-3+\sqrt{33}}{2}$.
б) $0;\ \frac{-3+\sqrt{33}}{2}$.

Перенесём $-2$ в правую часть: $$\sqrt{x^3+3x^2-4x+4}=x+2.$$

Так как левая часть неотрицательна, должно выполняться условие: $x+2\ge0$, $x\ge -2$.

Теперь возведём обе части уравнения в квадрат:

$x^3+3x^2-4x+4=(x+2)^2$
$x^3+3x^2-4x+4=x^2+4x+4$.

Перенесём всё в левую часть:

$x^3+3x^2-4x+4-x^2-4x-4=0$
$x^3+2x^2-8x=0$.

Вынесем $x$ за скобки: $x(x^2+2x-8)=0$.

Разложим квадратный трёхчлен: $x(x+4)(x-2)=0$.

Отсюда получаем возможные корни:

• $x=0$
• $x=-4$
• $x=2$.

Но нужно учесть условие $x\ge -2$.

• $x=-4$ не подходит, так как $-4<-2$.
• $x=0$ подходит.
• $x=2$ подходит.

Значит, корни уравнения: $0;\ 2$.

Теперь выберем корни, принадлежащие отрезку $[-3;1]$.

• $0\in[-3;1]$
• $2\notin[-3;1]$

Ответ:

а) $0;\ 2$.
б) $0$.

Так как левая часть уравнения неотрицательна, правая часть тоже должна быть неотрицательной: $3-x\ge0$, $x\le3$.

Возведём обе части уравнения в квадрат: $$x^3-4x^2-10x+29=(3-x)^2.$$

Раскроем квадрат: $$x^3-4x^2-10x+29=x^2-6x+9.$$

Перенесём всё в левую часть:

$x^3-4x^2-10x+29-x^2+6x-9=0$
$x^3-5x^2-4x+20=0$.

Разложим многочлен на множители:

$x^3-5x^2-4x+20=x^2(x-5)-4(x-5)$
$x^3-5x^2-4x+20=(x-5)(x^2-4)$
$x^3-5x^2-4x+20=(x-5)(x-2)(x+2)$.

Получаем: $(x-5)(x-2)(x+2)=0$.

Отсюда возможные корни:

• $x=5$
• $x=2$
• $x=-2$.

Но нужно учесть условие $x\le3$.

• $x=5$ не подходит, так как $5>3$.
• $x=2$ подходит.
• $x=-2$ подходит.

Значит, корни уравнения: $-2;\ 2$.

Теперь выберем корни, принадлежащие промежутку $[-\sqrt3;\sqrt{30}]$.

Так как $-\sqrt3\approx -1{,}7$, то $-2\notin[-\sqrt3;\sqrt{30}]$. А $2\in[-\sqrt3;\sqrt{30}]$.

Ответ:

а) $-2;\ 2$.
б) $2$.

Так как левая часть уравнения неотрицательна, правая часть тоже должна быть неотрицательной: $2-x\ge0$, $x\le2$.

Возведём обе части уравнения в квадрат: $$x^3-x^2-15x+16=(2-x)^2.$$

Раскроем квадрат: $$x^3-x^2-15x+16=x^2-4x+4.$$

Перенесём всё в левую часть:

$x^3-x^2-15x+16-x^2+4x-4=0$
$x^3-2x^2-11x+12=0$

Разложим многочлен на множители. Проверим корень $x=1$: $$1^3-2\cdot1^2-11\cdot1+12=1-2-11+12=0.$$

Значит, многочлен делится на $x-1$: $$x^3-2x^2-11x+12=(x-1)(x^2-x-12).$$

Разложим квадратный трёхчлен: $$x^2-x-12=(x-4)(x+3).$$

Получаем: $$(x-1)(x-4)(x+3)=0.$$

Отсюда возможные корни:

• $x=1$
• $x=4$
• $x=-3$.

Теперь учитываем условие $x\le2$.

• $x=4$ не подходит, так как $4>2$.
• $x=1$ подходит.
• $x=-3$ подходит.

Значит, корни уравнения: $-3;\ 1$.

Теперь выберем корни, принадлежащие промежутку $[-\sqrt2;\sqrt5]$.

Так как $-\sqrt2\approx -1{,}4$, то $-3\notin[-\sqrt2;\sqrt5]$. А $1\in[-\sqrt2;\sqrt5]$.

Ответ:

а) $-3;\ 1$.
б) $1$.

Так как обе части уравнения являются арифметическими квадратными корнями, можно приравнять выражения под корнями: $$x^4+8x^3+2x^2-1=x^4+2x^2.$$

Сократим одинаковые слагаемые:

$8x^3-1=0$
$8x^3=1$
$x^3=\frac18$
$x=\frac12$.

Проверим, что подкоренные выражения определены при $x=\frac12$.

Правая часть: $x^4+2x^2\ge0$ при любом $x$, значит при $x=\frac12$ тоже определена. Так как после приравнивания подкоренные выражения равны, левая часть тоже определена.

Значит, корень уравнения: $x=\frac12$.

Теперь проверим, принадлежит ли он отрезку $[\log_3 0{,}5;\log_3 2]$.

Так как $\log_3 0{,}5<0$ а $\frac12>0$, то $\frac12>\log_3 0{,}5$.

Осталось проверить правую границу: $\frac12<\log_3 2$.

Так как основание $3>1$, можно перейти к степеням:

$3^{\frac12}<2$
$\sqrt3<2$.

Это верно. Значит, $\frac12\in[\log_3 0{,}5;\log_3 2]$.

Ответ:

а) $\frac12$.
б) $\frac12$.

Так как обе части уравнения — арифметические квадратные корни, приравняем подкоренные выражения: $$x^4+3x^3+4x^2-24=x^4+4x^2.$$

Сократим одинаковые слагаемые:

$3x^3-24=0$
$3x^3=24$
$x^3=8$
$x=2$.

Проверим, принадлежит ли корень отрезку $[\log_2 3;\log_2 5]$.

Так как основание логарифма $2>1$, сравниваем числа под логарифмами:

$\log_2 3<2$, потому что $3<2^2=4$.
$2<\log_2 5$, потому что $2^2=4<5$.

Значит, $2\in[\log_2 3;\log_2 5]$.

Ответ:

а) $2$.
б) $2$.

Так как логарифмы с одинаковым основанием равны, то равны их аргументы: $$x^3+6x^2+4x-5=x+5.$$

Перенесём всё в левую часть: $x^3+6x^2+3x-10=0$.

Разложим многочлен на множители:

$x^3+6x^2+3x-10=(x-1)(x^2+7x+10)$
$x^3+6x^2+3x-10=(x-1)(x+5)(x+2)$

Получаем: $$(x-1)(x+5)(x+2)=0.$$

Отсюда возможные корни:

• $x=1$
• $x=-5$
• $x=-2$.

Проверим область определения:

$x+5>0$
$x>-5$.

Значит, $x=-5$ не подходит.

Корни уравнения: $x=-2$ и $x=1$.

Теперь выберем корни, принадлежащие отрезку $[\log_{0{,}5}64;\log_{0{,}5}0{,}6]$.

Левая граница: $\log_{0{,}5}64=-6$, так как $(0{,}5)^{-6}=64$.

Правая граница: $0<\log_{0{,}5}0{,}6<1$, потому что $0{,}5<0{,}6<1$.

Значит, отрезок примерно такой: $[-6;0{,}7]$. Из корней $-2$ и $1$ этому отрезку принадлежит только $-2$.

Ответ:

а) $-2;\ 1$.
б) $-2$.

Так как логарифмы с одинаковым основанием равны, то равны их аргументы: $$x^3+6x^2-3x-19=x+5.$$

Перенесём всё в левую часть: $$x^3+6x^2-4x-24=0.$$

Разложим группировкой:

$x^2(x+6)-4(x+6)=0$
$(x+6)(x^2-4)=0$
$(x+6)(x-2)(x+2)=0$.

Отсюда возможные корни:

• $x=-6$
• $x=2$
• $x=-2$

Теперь учтём область определения логарифмов:

• $x+5>0$
• $x>-5$
• Корень $x=-6$ не подходит, так как $-6<-5$.

Значит, корни уравнения: $x=-2$ и $x=2$.

Теперь определим, какие из них принадлежат отрезку $[\log_{0{,}5}100;\log_{0{,}5}0{,}3]$.

Так как основание $0{,}5<1$, логарифмическая функция убывает. Оценим границы отрезка.

$\log_{0{,}5}100<-2$, потому что $(0{,}5)^{-2}=4$, а $100>4$.

Также $\log_{0{,}5}0{,}3<2$, потому что $(0{,}5)^2=0{,}25$, а $0{,}3>0{,}25$. Причём $\log_{0{,}5}0{,}3>1$, так как $0{,}5^1=0{,}5$, а $0{,}3<0{,}5$. Значит, правая граница лежит между $1$ и $2$.

Получаем, что $-2$ принадлежит отрезку, а $2$ не принадлежит, так как правая граница меньше $2$.

Ответ:

а) $-2;\ 2$.
б) $-2$.

Так как логарифмы с одинаковым основанием равны, то равны их аргументы: $$x^3+4x^2-3x-13=x+3.$$

Перенесём всё в левую часть: $$x^3+4x^2-4x-16=0.$$

Разложим многочлен группировкой:

$x^2(x+4)-4(x+4)=0$
$(x+4)(x^2-4)=0$
$(x+4)(x-2)(x+2)=0$.

Отсюда возможные корни:

• $x=-4$
• $x=2$
• $x=-2$

Теперь учтём область определения логарифмов:

• $x+3>0$
• $x>-3$
• Значит, корень $x=-4$ не подходит.

Остаются корни: $x=-2$ и $x=2$.

Теперь выберем корни, принадлежащие отрезку $[\log_{0{,}5}16;\log_{0{,}5}0{,}4]$.

Найдём левую границу: $\log_{0{,}5}16=-4$ потому что $(0{,}5)^{-4}=16$.

Оценим правую границу: $\log_{0{,}5}0{,}4<2$ так как $(0{,}5)^2=0{,}25$ и $0{,}4>0{,}25$.

При основании $0{,}5<1$ логарифмическая функция убывает, поэтому из $0{,}4>0{,}25$ следует:

$\log_{0{,}5}0{,}4<\log_{0{,}5}0{,}25$
$\log_{0{,}5}0{,}4<2$

Значит, корень $x=2$ не принадлежит отрезку.

Корень $x=-2$ принадлежит отрезку, так как $-4<-2<\log_{0{,}5}0{,}4$.

Ответ:

а) $-2;\ 2$.
б) $-2$.

Сначала запишем область определения логарифма: $x^2-14x>0$.

Теперь решим уравнение: $$\log_2(x^2-14x)=5.$$

По определению логарифма:

$x^2-14x=2^5$
$x^2-14x=32$.

Перенесём всё в левую часть: $$x^2-14x-32=0.$$

Найдём дискриминант:

$D=(-14)^2-4\cdot1\cdot(-32)$
$D=196+128=324$
$\sqrt{D}=18$.

Тогда:

$x_1=\frac{14+18}{2}=16$
$x_2=\frac{14-18}{2}=-2$.

Проверим область определения:

• При $x=16$: $16^2-14\cdot16=256-224=32>0$.
• При $x=-2$: $(-2)^2-14\cdot(-2)=4+28=32>0$.

Оба корня подходят.

Теперь выберем корни, принадлежащие отрезку $[\log_3 0{,}1;5\sqrt{10}]$.

Рассмотрим корень $x=-2$. Так как $0{,}1<\frac19=3^{-2}$, то $\log_3 0{,}1<-2$.

Значит, $-2>\log_3 0{,}1$, поэтому $-2$ принадлежит данному отрезку.

Рассмотрим корень $x=16$. Сравним $16$ и $5\sqrt{10}$:

$16^2=256$
$(5\sqrt{10})^2=250$.

Значит, $16>5\sqrt{10}$. Поэтому $16$ не принадлежит отрезку.

Ответ:

а) $-2;\ 16$.
б) $-2$.

Запишем область определения логарифма: $$x^2-9x>0.$$

Решим уравнение: $$\log_6(x^2-9x)=2.$$

По определению логарифма:

$x^2-9x=6^2$
$x^2-9x=36$.

Перенесём всё в левую часть: $$x^2-9x-36=0.$$

Разложим квадратный трёхчлен: $$(x-12)(x+3)=0.$$

Отсюда: $x=12$ или $x=-3$.

Проверим область определения:

• При $x=12$: $12^2-9\cdot12=144-108=36>0$
• При $x=-3$: $(-3)^2-9\cdot(-3)=9+27=36>0$.

Оба корня подходят.

Теперь выберем корни, принадлежащие отрезку $[\log_2 0{,}1;4\sqrt8]$.

Рассмотрим корень $x=-3$. Так как $0{,}1<\frac18=2^{-3}$, то $\log_2 0{,}1<-3$. Значит, $-3>\log_2 0{,}1$, поэтому $-3$ принадлежит данному отрезку.

Рассмотрим корень $x=12$. Сравним $12$ и $4\sqrt8$:

$12^2=144$
$(4\sqrt8)^2=16\cdot8=128$.

Значит, $12>4\sqrt8$. Поэтому $12$ не принадлежит отрезку.

Ответ:

а) $-3;\ 12$.
б) $-3$.

Сделаем замену: $t=\log_8 x$.

Тогда уравнение принимает вид: $$6t^2-5t+1=0.$$

Найдём дискриминант: $$D=(-5)^2-4\cdot6\cdot1=25-24=1.$$

Тогда:

$t_1=\frac{5+1}{12}=\frac{6}{12}=\frac12$
$t_2=\frac{5-1}{12}=\frac{4}{12}=\frac13$.

Возвращаемся к замене.

Первый случай:

$\log_8 x=\frac12$
$x=8^{\frac12}$
$x=\sqrt8=2\sqrt2$.

Второй случай:

$\log_8 x=\frac13$
$x=8^{\frac13}$
$x=2$.

Значит, корни уравнения: $2;\ 2\sqrt2$.

Теперь выберем корни, принадлежащие отрезку $[2;2{,}5]$. Корень $x=2$ принадлежит отрезку.

Проверим $x=2\sqrt2$: $2\sqrt2\approx2{,}8$. Значит, $2\sqrt2\notin[2;2{,}5]$

Ответ:

а) $2;\ 2\sqrt2$.
б) $2$.

Сделаем замену: $t=\log_9 x$.

Тогда уравнение принимает вид: $$2t^2-3t+1=0.$$

Разложим квадратный трёхчлен: $$(2t-1)(t-1)=0.$$

Отсюда: $t=\frac12$ или $t=1$. Возвращаемся к замене.

Первый случай:

$\log_9 x=\frac12$
$x=9^{\frac12}$
$x=3$.

Второй случай:

$\log_9 x=1$
$x=9^1$
$x=9$.

Значит, корни уравнения: $3;\ 9$.

Теперь выберем корни, принадлежащие отрезку $[3;4]$.

Корень $x=3$ принадлежит отрезку $[3;4]$. Корень $x=9$ не принадлежит отрезку $[3;4]$, так как $9>4$.

Ответ:

а) $3;\ 9$.
б) $3$.

Сначала запишем область определения: $2-x>0$, $x<2$. Также $x^4>0$, $x\ne0$.

Преобразуем правую часть: $\log_{25}x^4=\log_{5^2}x^4=\frac12\log_5x^4$.

Так как $x^4=(x^2)^2$, то $\frac12\log_5x^4=\log_5x^2$.

Получаем уравнение: $$\log_5(2-x)=\log_5x^2.$$

Так как основания логарифмов одинаковые, приравниваем аргументы: $2-x=x^2$.

Перенесём всё в одну сторону: $$x^2+x-2=0.$$

Разложим квадратный трёхчлен: $$(x+2)(x-1)=0.$$

Отсюда: $x=-2$ или $x=1$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ: $x<2$, $x\ne0$.

Теперь выберем корни, принадлежащие отрезку $[\log_9\frac{1}{82};\log_9 8]$.

Проверим корень $x=-2$. Так как $9^{-2}=\frac{1}{81}$, а $\frac{1}{82}<\frac{1}{81}$, то $\log_9\frac{1}{82}<-2$. Значит, $-2$ больше левой границы отрезка.

Правая граница положительна, так как $8>1$: $\log_9 8>0$. Следовательно, $-2\in[\log_9\frac{1}{82};\log_9 8]$.

Проверим корень $x=1$. Так как $8<9$, то $\log_9 8<1$. Значит, $1\notin[\log_9\frac{1}{82};\log_9 8]$.

Ответ:

а) $-2;\ 1$.
б) $-2$.

Запишем область определения: $6-x>0$, $x<6$. Также: $x^4>0$, $x\ne0$.

Преобразуем правую часть:

$\log_{49}x^4=\log_{7^2}x^4$
$\log_{7^2}x^4=\frac12\log_7x^4$.

Так как $x^4=(x^2)^2$, то: $$\frac12\log_7x^4=\log_7x^2.$$

Получаем уравнение: $$\log_7(6-x)=\log_7x^2.$$

Так как основания логарифмов одинаковые, приравниваем аргументы: $6-x=x^2$.

Перенесём всё в одну сторону: $$x^2+x-6=0.$$

Разложим квадратный трёхчлен: $(x+3)(x-2)=0$. Отсюда: $x=-3$ или $x=2$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ: $x<6$, $x\ne0$.

Теперь выберем корни, принадлежащие отрезку $[\log_4\frac{1}{70};\log_4 15]$.

Проверим корень $x=-3$. Так как $4^{-3}=\frac{1}{64}$, а $\frac{1}{70}<\frac{1}{64}$, то $\log_4\frac{1}{70}<-3$. Значит, $-3$ больше левой границы.

Правая граница положительна, так как $15>1$: $\log_4 15>0$. Следовательно, $-3\in[\log_4\frac{1}{70};\log_4 15]$.

Проверим корень $x=2$. Так как $15<16=4^2$, то $\log_4 15<2$. Значит, $2\notin[\log_4\frac{1}{70};\log_4 15]$.

Ответ:

а) $-3;\ 2$.
б) $-3$.

Преобразуем левую часть. Так как $1=\log_2 2$, то:

$1+\log_2(5x^2+1)=\log_2 2+\log_2(5x^2+1)$
$1+\log_2(5x^2+1)=\log_2(10x^2+2)$.

Теперь преобразуем правую часть: $$\log_{\sqrt2}\sqrt{2x^4+10}.$$

Так как $\sqrt2=2^{\frac12}$ и $\sqrt{2x^4+10}=(2x^4+10)^{\frac12}$, получаем: $$\log_{\sqrt2}\sqrt{2x^4+10}=\log_{2^{\frac12}}(2x^4+10)^{\frac12}.$$

Это равно: $\log_2(2x^4+10)$. Значит, уравнение принимает вид: $$\log_2(10x^2+2)=\log_2(2x^4+10).$$

Так как основания логарифмов одинаковые, приравниваем аргументы: $10x^2+2=2x^4+10$.

Перенесём всё в одну сторону: $$2x^4-10x^2+8=0.$$

Разделим на $2$: $x^4-5x^2+4=0$. Сделаем замену: $t=x^2$. Тогда: $$t^2-5t+4=0.$$

Разложим: $(t-1)(t-4)=0$. Отсюда: $t=1$ или $t=4$. Возвращаемся к замене.

• Если $x^2=1$, то $x=\pm1$.
• Если $x^2=4$, то $x=\pm2$.

Все корни уравнения: $-2;\ -1;\ 1;\ 2$.

Теперь выберем корни, принадлежащие отрезку $[-1;\frac32]$.

• $-2\notin[-1;\frac32]$
• $-1\in[-1;\frac32]$
• $1\in[-1;\frac32]$
• $2\notin[-1;\frac32]$

Ответ:

а) $-2;\ -1;\ 1;\ 2$.
б) $-1;\ 1$.

Заметим, что $$(1-x)(x+20)=x+20-x^2-20x=-x^2-19x+20.$$

Поэтому уравнение можно записать так: $$\log_{-x^2-19x+20}(x^2+64)=\frac{1}{\log_{-20x}(-x^2-19x+20)}.$$

Используем свойство логарифмов: $\frac{1}{\log_a b}=\log_b a$.

Тогда правая часть равна: $$\frac{1}{\log_{-20x}(-x^2-19x+20)}=\log_{-x^2-19x+20}(-20x).$$

Получаем уравнение: $$\log_{-x^2-19x+20}(x^2+64)=\log_{-x^2-19x+20}(-20x).$$

Так как логарифмы с одинаковым основанием равны, то равны их аргументы: $x^2+64=-20x$.

Перенесём всё в левую часть: $x^2+20x+64=0$.

Разложим квадратный трёхчлен: $(x+4)(x+16)=0$. Отсюда: $x=-4$ или $x=-16$.

Проверим, что найденные корни подходят по ОДЗ.

• При $x=-4$: $-20x=80>0$, $-x^2-19x+20=-16+76+20=80>0$.
• При $x=-16$: $-20x=320>0$, $-x^2-19x+20=-256+304+20=68>0$.

Оба корня подходят.

Теперь выберем корни, принадлежащие отрезку $[-\sqrt{300};-\sqrt{10}]$.

Так как $\sqrt{300}\approx17{,}3$, то $-\sqrt{300}\approx-17{,}3$. Также $\sqrt{10}\approx3{,}2$, поэтому $-\sqrt{10}\approx-3{,}2$. Значит, отрезок примерно равен $[-17{,}3;-3{,}2]$.

Оба корня $-16$ и $-4$ принадлежат этому отрезку.

Ответ:

а) $-16;\ -4$.
б) $-16;\ -4$.