Корень $n$-й степени. Свойства арифметического корня $n$-й степени

Вы уже умеете работать с квадратными корнями. Например, вы легко ответите, чему равен $\sqrt{49}$. Квадратный корень помогает нам решать геометрические задачи: зная площадь квадрата ($S$), мы можем найти длину его стороны ($a$) по формуле $a = \sqrt{S}$. Это действие «обратно» возведению в квадрат.

Но что делать, если пространство становится трехмерным? Представьте, что перед вами куб, объем которого $V = 8\text{ см}^3$. Как найти длину его ребра $x$? Нам нужно решить уравнение $x^3 = 8$.

Какое число при умножении само на себя три раза даст $8$? Чтобы записать это действие математически, стандартного квадратного корня уже недостаточно. Здесь нам нужен корень третьей степени: $x = \sqrt[3]{8} = 2$.

В физике, астрономии и инженерии постоянно встречаются более высокие степени: четвертая, пятая и выше. Поэтому математики ввели универсальное понятие — корень $n$-й степени.

Определение

Корнем $n$-й степени из числа $a$ (где $n \in \mathbb{N}, n \ge 2$) называется такое число $b$, $n$-я степень которого равна $a$: $$b^n = a$$

Число $n$ называют показателем корня. Если $n = 2$ (квадратный корень), то цифру $2$ над знаком корня принято не писать. Если $n = 3$, корень называют кубическим.

Давайте посмотрим, сколько корней может иметь число в зависимости от того, четный показатель $n$ или нечетный.

Арифметический корень n-й степени

Чтобы в математических вычислениях не возникало путаницы с двумя знаками (как в случае с $3$ и $-3$), ученые договорились использовать строго фиксированное, неотрицательное значение. Его назвали арифметическим корнем.

Арифметическим корнем $n$-й степени из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число $b$, $n$-я степень которого равна $a$: $\sqrt[n]{a} = b$.

При этом должны выполняться два условия:

1. $b \ge 0$ (сам результат вычисления не может быть отрицательным);
2. $b^n = a$ (проверка возведением в степень).

{"questions":[{"content":"Найдите $\\sqrt[4]{81}$.[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$","$-3$","$9$","$-9$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Это арифметический корень, так как $3 \\ge 0$ и $3^4 = 81$.","Запись $\\sqrt[4]{81} = -3$ является неверной, несмотря на то, что $(-3)^4 = 81$."]}]}

Свойства арифметического корня n-й степени

1. Корень из произведения равен произведению корней из каждого множителя: $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$
2. Корень из дроби равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя (при условии $b > 0$):$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$
3. Возведение корня в степень. Чтобы возвести корень в степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение: $(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$
4. Извлечение корня из корня. при извлечении корня из корня показатели степеней радикалов перемножаются: $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a}$
5. Основное свойство корня. Показатели корня и подкоренного выражения можно умножить или разделить на одно и то же натуральное число $k$: $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$

Важное тождество: извлечение корня из степени

Когда мы пытаемся извлечь корень степени $n$ из числа, которое само возведено в степень $n$, нужно быть очень внимательными со знаками. Действие этого правила полностью зависит от четности показателя.

1. Если $n$ — нечетное число: корень и степень просто «уничтожают» друг друга. Знак сохраняется.$$\sqrt[n]{a^n} = a$$
   • Пример: $\sqrt[3]{7^3} = 7$
   • Пример: $\sqrt[5]{(-4)^5} = -4$
2. Если $n$ — четное число: результат обязан быть неотрицательным (по определению арифметического корня). Поэтому мы обязаны поставить знак модуля.$$\sqrt[n]{a^n} = |a|$$
   • Пример: $\sqrt[4]{5^4} = |5| = 5$
   • Пример: $\sqrt[6]{(-3)^6} = |-3| = 3$

Практика

Показать решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"Вычислите $\\sqrt[4]{3} \\cdot \\sqrt[4]{48}$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$2\\sqrt{3}$","$\\sqrt[4]{144}$","$\\sqrt[4]{16}$","$\\sqrt[4]{3}$"],"answer":[0]}},"hints":["Используем свойство: $\\sqrt[4]{a}\\cdot\\sqrt[4]{b}=\\sqrt[4]{ab}$.","Перемножим подкоренные выражения: $\\sqrt[4]{3}\\cdot\\sqrt[4]{48}=\\sqrt[4]{3\\cdot48}=\\sqrt[4]{144}$.","Разложим $144=2^4\\cdot3^2$, тогда $\\sqrt[4]{144}=\\sqrt[4]{2^4\\cdot3^2}=2\\sqrt[4]{3^2}=2\\sqrt{3}$."]}]}

Показать решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"Вычислите $\\frac{\\sqrt[3]{512}}{\\sqrt[3]{8}}$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$4$","$8$","$\\sqrt[3]{8}$","$\\sqrt[3]{64}$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Используем свойство: $\\frac{\\sqrt[3]{a}}{\\sqrt[3]{b}}=\\sqrt[3]{\\frac{a}{b}}$ (при $b\\ne 0$).","$\\frac{\\sqrt[3]{512}}{\\sqrt[3]{8}}=\\sqrt[3]{\\frac{512}{8}}=\\sqrt[3]{64}$.","Так как $64=4^3$, то $\\sqrt[3]{64}=4$."]}]}

Показать решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"Упростите выражение $\\sqrt[4]{a^4 b^8}$, если известно, что $a < 0$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$-ab^2$","$ab^2$","$|a|b^2$","$|ab^2|$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Разложим $\\sqrt[4]{a^4 b^8}=\\sqrt[4]{a^4}\\cdot\\sqrt[4]{b^8}$.","Далее $\\sqrt[4]{a^4}=|a|$, потому что корень четной степени всегда неотрицателен. <br />Также $\\sqrt[4]{b^8}=\\sqrt[4]{(b^2)^4}=|b^2|=b^2$.","Тогда получаем $|a|b^2$. Учитывая, что $a<0$, имеем $|a|=-a$, значит итог: $-ab^2$."]}]}

Часто задаваемые вопросы