Свойства функции $y=x^n$

В прошлом уроке мы подробно изучили поведение степенной функции $y = x^n$ с натуральным показателем $n$. Сегодня мы сделаем следующий шаг. Мы расширим область действия степенной функции.

Что произойдет, если показатель степени перестанет быть целым положительным числом? В рамках урока мы снимем это ограничение. Мы рассмотрим функцию $y = x^n$, где $n$ — любое рациональное число. Показатель может быть целым отрицательным (например, $-2$ или $-3$). Также мы изучим дробные показатели (например, $\frac{1}{3}$ или $-\frac{2}{3}$).

Вместе с изменением показателя параболы трансформируются в совершенно новые геометрические формы. Мы увидим гиперболы и ветви корней. Появление дробей и минусов в степени заставит нас действовать иначе. Мы подробно разберем, почему теперь необходимо пересмотреть привычную область определения функции.

Степенная функция с целым отрицательным показателем

Если показатель степенной функции является целым отрицательным числом, то функция принимает вид $y = x^{-n}$, где $n$ — натуральное число ($n = 1, 2, 3, \dots$).

По свойству степени с отрицательным показателем это выражение можно переписать в виде дроби:

$$y = \frac{1}{x^n}$$

Графики таких функций называются гиперболами высших порядков. Их форма и ключевые свойства кардинально отличаются от изученных ранее парабол и напрямую зависят от того, является ли число $n$ четным или нечетным.

Нечетный отрицательный показатель

Примеры функций: $y = x^{-1} = \frac{1}{x}$, $y = x^{-3} = \frac{1}{x^3}$, $y = x^{-5} = \frac{1}{x^5}$.

Свойства функции при нечетном показателе:

1. Область определения ($D(f)$). $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ или $x \neq 0$.
2. Область значений ($E(f)$). $y \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ или $y \neq 0$.
3. Четность и симметрия. Функция является нечетной. График строго симметричен относительно начала координат — точки $(0;0)$. Он целиком расположен в I и III координатных четвертях.
4. Монотонность (промежутки возрастания и убывания). Функция убывает на промежутке $(-\infty; 0)$.
5. Опорные (характерные) точки. Графики всех нечетных отрицательных степеней всегда проходят через две фиксированные точки: $(1; 1)$ и $(-1; -1)$.

Четный отрицательный показатель

Свойства функции при четном показателе:

1. Область определения ($D(f)$). $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ или $x \neq 0$.
2. Область значений ($E(f)$). $y \in (0; +\infty)$ или $y > 0$.
3. Четность и симметрия. Функция является четной. График абсолютно симметричен относительно оси ординат ($Oy$). Он целиком находится в I и II координатных четвертях.
4. Монотонность (промежутки возрастания и убывания). Функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0)$ и убывает на промежутке $(0; +\infty)$.
5. Опорные (характерные) точки. Графики всех четных отрицательных степеней гарантированно пересекают точки с координатами: $(1; 1)$ и $(-1; 1)$.

Понятие асимптоты для данных графиков

Для всех функций вида $y = \frac{1}{x^n}$ оси координат работают как асимптоты (прямые, к которым график подходит максимально близко, но никогда их не касается):

1. Горизонтальная асимптота (ось $Ox$). При бесконечном увеличении числового значения $x$ (в положительную или отрицательную сторону) дробь $\frac{1}{x^n}$ становится ничтожно малой, то есть график почти вплотную ложится на ось абсцисс, но никогда ее не пересечет, так как $y \neq 0$.
2. Вертикальная асимптота (ось $Oy$). При приближении аргумента $x$ близко к нулю (например, $x = 0.001$), знаменатель становится микроскопическим, а значение всей дроби резко возрастает до огромных величин. График устремляется вверх (или вниз) вдоль оси ординат, но никогда не коснется ее, так как $x \neq 0$.

{"questions":[{"content":"Степенная функция с отрицательным показателем — это функция вида $y=x^{-n}$ (где $n$ — положительное целое число); можно подставлять любые $x$, кроме $0$.[[fill_choice_big-5398]]","widgets":{"fill_choice_big-5398":{"type":"fill_choice_big","options":["Верно","Неверно"],"placeholder":0,"answer":0}},"explanation":"По определению $x^{-n}=\\frac{1}{x^n}$, а делить на ноль нельзя, значит $x=0$ не подходит."},{"content":"Степенная функция с отрицательным показателем — это функция вида $y=x^{n}$ (где $n$ — положительное целое число); можно подставлять любые $x$, кроме $0$.[[fill_choice_big-5420]]","widgets":{"fill_choice_big-5420":{"type":"fill_choice_big","options":["Неверно","Верно"],"placeholder":0,"answer":0}},"explanation":"Это пример степени с положительным показателем, а ограничение $x\\ne 0$ для $y=x^n$ не нужно."},{"content":"Степенная функция с отрицательным показателем — это функция вида $y=x^{-n}$ (где $n$ — положительное целое число); можно подставлять любые $x$, включая $0$.[[fill_choice_big-5449]]","widgets":{"fill_choice_big-5449":{"type":"fill_choice_big","options":["Неверно","Верно"],"placeholder":0,"answer":0}},"explanation":"Если подставить $x=0$, получится $\\frac{1}{0}$, а это не имеет смысла."}]}

Степенная функция с дробным показателем

Показатель — положительная правильная дробь

По определению степени с дробным показателем, такие функции представляют собой корни различных степеней:

$y = x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x}$

График такой функции представляет собой ветвь, которая выходит из начала координат и плавно уходит вправо-вверх, замедляя свой рост.

Свойства функции

1. Область определения ($D(f)$). $x \in [0; +\infty)$. График существует только в правой полуплоскости.
2. Область значений ($E(f)$). $y \in [0; +\infty)$. Функция не может выдавать отрицательные результаты.
3. Четность. Функция является ни четной, ни нечетной (функцией общего вида). Так как область определения несимметрична относительно нуля (в ней нет отрицательных чисел), проверять равенства $f(-x) = f(x)$ или $f(-x) = -f(x)$ математически некорректно.
4. Нули функции. $y = 0$ строго при $x = 0$. График берет свое начало в точке $(0;0)$.
5. Монотонность. Функция возрастает на всей области определения $[0; +\infty)$. Чем больше аргумент $x$, тем больше значение функции $y$. Однако, в отличие от парабол, этот рост с каждым шагом становится всё более пологим.
6. Опорные точки. Графики абсолютно всех функций такого вида проходят через две главные точки: $(0; 0)$ и $(1; 1)$.

Показатель — отрицательная дробь

Этот случай объединяет в себе два правила: знак «минус» отправляет выражение в знаменатель дроби, а дробный показатель превращает его в корень.

$y = x^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{x^{\frac{m}{n}}} = \frac{1}{\sqrt[n]{x^m}}$

Примером такой функции служит $y = x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$. График этой функции по форме похож на ветвь гиперболы, расположенную в первой координатной четверти.

Свойства функции

1. Область определения ($D(f)$). $x \in (0; +\infty)$ или $x > 0$.
2. Область значений ($E(f)$). $y \in (0; +\infty)$ или $y > 0$. Числитель дроби равен единице, а знаменатель при $x > 0$ всегда положителен. Дробь никогда не примет нулевое или отрицательное значение. Ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой.
3. Четность. Функция является ни четной, ни нечетной. Причина та же — область определения $x > 0$ не содержит противоположных значений аргумента для проверки. График находится исключительно в I координатной четверти.
4. Монотонность. Функция убывает на промежутке $(0; +\infty)$. При увеличении аргумента $x$ знаменатель дроби увеличивается, а значит, сама дробь становится меньше, стремительно приближаясь к оси $Ox$.
5. Опорная точка. График гарантированно проходит через фиксированную точку $(1; 1)$, так как единица в любой степени остается единицей. Ноль и минус единица для данной функции недоступны.

{"questions":[{"content":"Когда выражение $x^{\\frac{m}{n}}$ (где $m$ и $n$ — целые числа, $n>0$, дробь сокращена) имеет смысл на вещественных числах?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Если $n$ четное, то нужно $x\\ge 0$; если $n$ нечетное, то можно любое $x$.","Всегда можно любое $x$, потому что дробная степень определена для всех чисел.","Если $n$ четное, то можно любое $x$; если $n$ нечетное, то нужно $x\\ge 0$."],"explanations":["При четном $n$ берется четный корень $\\sqrt[n]{x}$, он существует (в вещественных числах) только при $x\\ge 0$. При нечетном $n$ корень существует при любых $x$.","Для отрицательных $x$ выражение $\\sqrt[n]{x}$ не всегда существует: например, $\\sqrt[2]{-1}$ не является вещественным числом.","Наоборот: ограничение $x\\ge 0$ появляется именно при четном $n$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Дробная степень на вещественных числах обычно понимается так: $x^{\\frac{m}{n}}=\\left(\\sqrt[n]{x}\\right)^m$, где дробь $\\frac{m}{n}$ сокращена и $n>0$.","Если $n$ четное, то корень $\\sqrt[n]{x}$ существует только при $x\\ge 0$, поэтому нужны неотрицательные $x$.","Если $n$ нечетное, то $\\sqrt[n]{x}$ существует при любых вещественных $x$, значит ограничений на знак $x$ нет."]}]}

Практика

Показать решение

Скрыть

Показать решение

Скрыть

Показать решение

Скрыть

Часто задаваемые вопросы