Степень с дробным показателем и ее свойства

Как возвести число в степень, если ее показатель — не целое число, а обыкновенная или десятичная дробь? Записи вида $9^{\frac{1}{2}}$, $8^{\frac{2}{3}}$ или $16^{-0.25}$ невозможно вычислить через привычное повторное умножение: нельзя умножить число само на себя «полраза» или «две трети раза».

Для работы с такими выражениями в алгебре вводится понятие степени с рациональным показателем. Этот инструмент связывает возведение в степень с операцией извлечения арифметического корня. На этом уроке мы разберем базовое определение дробной степени, границы его применимости, а также правила преобразования выражений, в которых показатели являются дробями.

Введение

Начнем с того, что мы уже хорошо знаем и умеем использовать. До сих пор мы работали только с целыми показателями степени. Вспомним эти правила.

• Натуральная степень ($n = 1, 2, 3…$). Это просто повторное умножение числа на само себя.$$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ раз}}$$Пример: $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$.
• Нулевая степень. Любое число (кроме нуля) в нулевой степени дает единицу.$$a^0 = 1 \quad (a \neq 0)$$Пример: $5^0 = 1$, $(-12)^0 = 1$.
• Целая отрицательная степень. Показывает, что число нужно «перевернуть» (отправить в знаменатель).$$a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad (a \neq 0)$$Пример: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.

Математика всегда стремится к расширению своих инструментов. Возникает логичный вопрос: а что делать, если показатель степени — не целое число, а дробь?

Как понять выражения вроде $4^{0.5}$ или $8^{\frac{1}{3}}$? Сколько раз нужно умножить число само на себя, если показатель равен $\frac{1}{3}$? Умножить «треть раза» невозможно. Значит, нам нужно принципиально новое определение, которое свяжет дробную степень с уже известной нам операцией — извлечением корня.

Степень с дробным показателем

Чтобы возвести число в дробную степень, мы превращаем ее в корень. Числитель дроби остается степенью, а знаменатель уходит в индекс корня.

Если $a > 0$ и $\frac{m}{n}$ — обыкновенная дробь ($m$ — целое число, $n$ — натуральное число, причем $n > 1$), то $$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$$

Расшифруем эту формулу:

• $a$ — основание степени.
• $n$ (знаменатель) указывает на степень корня.
• $m$ (числитель) указывает на степень подкоренного числа.

Благодаря свойствам корней, эту формулу можно записывать двумя эквивалентными способами:

$$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$$

То есть вы можете сначала возвести число в степень, а потом извлечь корень, либо сначала извлечь корень, а затем результат возвести в степень.

Современное ограничение на положительное основание возникло именно потому, что математикам потребовалось зафиксировать правила игры. Когда дробные показатели только зарождались, ученые сталкивались с парадоксами и долго искали компромисс между удобством записи и математической строгостью.

Давайте посмотрим, как развивалась эта идея и кто избавил мир от бесконечного нагромождения знаков корня.

Исторический факт

Современная запись дробной степени в виде $a^{\frac{m}{n}}$ появилась далеко не сразу — математики шли к ней несколько веков, пытаясь найти баланс между краткостью и логикой.

В XIV веке французский философ и математик Николай Орем впервые вплотную подошел к этой идее. В своем труде Algorismus proportionum он заметил, что если при умножении степеней их показатели складываются ($a^2 \cdot a^2 = a^4$), то обратное действие — деление показателя пополам — должно быть эквивалентно извлечению квадратного корня.

Орем использовал текстовые обозначения и специальные символы, например, записывал «половинную степень» числа $4$ для обозначения двойки, но удобного математического языка для этого еще не существовало.

Прорыв произошел в XVII веке благодаря двум ученым:

• Джон Валлис в $1656$ году в работе Arithmetica Infinitorum систематизировал использование отрицательных и дробных показателей. Он прямо указал, что последовательность степеней $a^3, a^2, a^1$ логически продолжается в дробные значения, которые соответствуют корням.
• Исаак Ньютон окончательно узаконил и популяризировал эту форму записи. В $1676$ году в знаменитом письме к Генри Ольденбургу (секретарю Лондонского королевского общества) Ньютон объяснил, что вместо постоянного написания знаков корня вроде $\sqrt{}$ или $\sqrt[3]{}$ гораздо удобнее использовать дробные индексы:

«Подобно тому, как ученые пишут $a^{-1}, a^{-2}, a^{-3}$ вместо $\frac{1}{a}, \frac{1}{a^2}, \frac{1}{a^3}$, точно так же можно писать $a^{\frac{1}{2}}, a^{\frac{2}{3}}, a^{\frac{1}{4}}$ вместо $\sqrt{a}, \sqrt[3]{a^2}, \sqrt[4]{a}$».

Этот шаг не просто упростил записи. Именно переход на дробные показатели позволил Ньютону открыть свой знаменитый «бином Ньютона» для дробных степеней, что легло в основу всего математического анализа и дало возможность рассчитывать траектории движения планет и физических тел.

Свойства степени с рациональным показателем

Для дробных степеней справедливы точно такие же правила (законы действий), какие мы использовали для целых степеней. Главное условие — основания степеней должны быть положительными ($a > 0, b > 0$), а показатели $p$ и $q$ — любыми дробными (рациональными) числами.

1. Умножение степеней. $a^p \cdot a^q = a^{p+q}$. Основание остается прежним, показатели складываются.
2. Деление степеней. $\frac{a^p}{a^q} = a^{p-q}$. Основание остается прежним, показатели вычитаются.
3. Возведение в степень. $(a^p)^q = a^{p \cdot q}$. Основание остается прежним, показатели перемножаются.
4. Степень произведения. $(ab)^p = a^p \cdot b^p$. Каждый множитель возводится в эту степень отдельно.
5. Степень частного. $\left(\frac{a}{b}\right)^p = \frac{a^p}{b^p}$. И числитель, и знаменатель возводятся в эту степень.

Практика

Показать решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"Вычислите $16^{-0.75}$.[[fill_choice_big-1151]]","widgets":{"fill_choice_big-1151":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{1}{8}$","$\\frac{2}{5}$","$\\frac{3}{8}$","$\\frac{7}{8}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Сначала переведем десятичную дробь в обыкновенную: $-0.75 = -\\frac{3}{4}$.","Избавимся от минуса в показателе и извлечем корень четвертой степени:<br />$16^{-\\frac{3}{4}} = \\frac{1}{16^{\\frac{3}{4}}} = \\frac{1}{(\\sqrt[4]{16})^3} = \\frac{1}{2^3} = \\frac{1}{8}$."]}]}

Показать решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"Упростите выражение: $\\frac{a^{\\frac{1}{3}} \\cdot a^{\\frac{5}{6}}}{a^{\\frac{1}{2}}}$. [[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$a^{\\frac{2}{3}}$","$a^{\\frac{3}{2}}$","$a^{\\frac{1}{6}}$","$a^{\\frac{7}{6}}$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Используем свойства степеней с одинаковым основанием: $a^m\\cdot a^n=a^{m+n}$ и $\\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$. Запишем показатель итоговой степени как сумму и разность дробей.","Сложим показатели в числителе: $\\frac{1}{3}+\\frac{5}{6}$, затем вычтем $\\frac{1}{2}$.","Приведем к общему знаменателю $6$: $\\frac{1}{3}=\\frac{2}{6}$, $\\frac{1}{2}=\\frac{3}{6}$. Тогда $\\frac{2}{6}+\\frac{5}{6}-\\frac{3}{6}=\\frac{4}{6}=\\frac{2}{3}$."]}]}

Показать решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"Упростите выражение: $\\left(16x^4\\right)^{\\frac{3}{4}}$. [[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$8x^3$","$8x^2$","$12x^3$","$4x^3$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Представим $16$ как $2^4$ и применим правило $(a^m)^n=a^{mn}$.","Сначала найдем $16^{\\frac{3}{4}}$, затем отдельно упростим $(x^4)^{\\frac{3}{4}}$.","Перемножим результаты: $(x^4)^{\\frac{3}{4}}=x^3$ (при $x\\ge 0$), значит итог $8x^3$."]}]}

Часто задаваемые вопросы