Преобразование выражений, содержащих степени с рациональным показателем

На прошлом уроке был совершен важный математический переход: мы научились заменять операцию извлечения корня возведением в степень. Мы узнали, что корень $n$-й степени из числа в степени $m$ — это не что иное, как степень с дробным (рациональным) показателем: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$.

А теперь представьте, что вам нужно перемножить $\sqrt{x}$, $\sqrt[3]{x^2}$ и $\sqrt[4]{x^3}$. Работать с корнями разных степеней неудобно — приходится приводить их к общему показателю корня, легко запутаться в индексах.

Но если мы перепишем эти корни как степени с дробным показателем: $x^{\frac{1}{2}}$, $x^{\frac{2}{3}}$ и $x^{\frac{3}{4}}$, то задача превращается в обычное сложение дробей, знакомое вам с 5 класса. Переход к рациональным показателям объединяет корни и степени в единую простую систему, где действуют одни и те же правила. Сегодня мы научимся применять эти правила для преобразования даже самых громоздких выражений.

Свойства степеней с рациональными показателями

Прежде чем переходить к практике, зафиксируем фундаментальные свойства, на которых строятся все преобразования.

Все свойства степеней с рациональным показателем работают только при $a > 0$ и $b > 0$ (основания степеней должны быть строго положительными), а $p$ и $q$ — рациональные числа.

1. Умножение степеней с одинаковыми основаниями. При умножении основания остаются прежними, а показатели складываются.$$a^p \cdot a^q = a^{p+q}$$
2. Деление степеней с одинаковыми основаниями. При делении показатели вычитаются.$$\frac{a^p}{a^q} = a^{p-q}$$
3. Возведение степени в степень. При возведении степени в степень показатели перемножаются.$$(a^p)^q = a^{p \cdot q}$$
4. Возведение произведения в степень. Каждый множитель возводится в эту степень отдельно.$$(ab)^p = a^p \cdot b^p$$
5. Возведение дроби в степень. Числитель и знаменатель возводятся в эту степень отдельно.$$\left(\frac{a}{b}\right)^p = \frac{a^p}{b^p}$$

Основные методы преобразования

Все задачи на преобразование выражений с дробными степенями делятся на три основных типа. Рассмотрим каждый из них на конкретных примерах.

Метод 1. Действия с числами (вычисления)

1. Представим числа через основание $2$: $16 = 2^4$ и $8 = 2^3$.
2. Подставим в выражение: $(2^4)^{\frac{3}{4}} \cdot (2^3)^{-\frac{2}{3}}$
3. Применим свойство возведения степени в степень (перемножим показатели):$$4 \cdot \frac{3}{4} = 3 \implies (2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^3$$$$3 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = -2 \implies (2^3)^{-\frac{2}{3}} = 2^{-2}$$
4. Перемножим полученные результаты (показатели складываются):$$2^3 \cdot 2^{-2} = 2^{3 + (-2)} = 2^1 = 2$$

Ответ: $2$.

Показать решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"Найдите значение выражения $81^{\\frac{3}{4}} \\cdot 16^{-\\frac{1}{2}}$. [[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\frac{27}{4}$","$\\frac{9}{8}$","$\\frac{3}{4}$","$\\frac{27}{8}$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Разложим основания на степени простых чисел: $81=3^4$, $16=2^4$.","Используем правило $(a^m)^n=a^{mn}$, чтобы получить целые показатели.<br />","Множители: $81^{\\frac{3}{4}}=3^{4\\cdot\\frac{3}{4}}$ и $16^{-\\frac{1}{2}}=2^{4\\cdot(-\\frac{1}{2})}$.","Перемножаем: $27\\cdot\\frac{1}{4}=\\frac{27}{4}$."]}]}

Метод 2. Алгебраические упрощения буквенных выражений

Здесь мы работаем с переменными ($a, b, x, y$). Главное — аккуратно складывать и вычитать дробные показатели, приводя их к общему знаменателю.

1. Возведем произведение в числителе в $3$-ю степень:$$(x^{\frac{2}{3}})^3 \cdot (y^{\frac{1}{4}})^3 = x^{\frac{2}{3} \cdot 3} \cdot y^{\frac{1}{4} \cdot 3} = x^2 \cdot y^{\frac{3}{4}}$$
2. Перепишем выражение с новым числителем (помним, что просто $x$ — это $x^1$):$$\frac{x^2 \cdot y^{\frac{3}{4}}}{x^1 \cdot y^{-\frac{1}{4}}}$$
3. Разделим переменные $x$ (вычитаем показатели): $2-1 = 1 \implies x^1$
4. Разделим переменные $y$ (вычитаем показатели, внимательно следя за знаками):$$\frac{3}{4}-\left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = \frac{4}{4} = 1 \implies y^1$$
5. Итоговое выражение: $x \cdot y$

Ответ: $xy$.

Показать решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"Найдите значение выражения $$\\frac{(a^{\\frac{2}{3}} \\cdot b^{\\frac{1}{4}})^6}{a^3 \\cdot b^{-\\frac{1}{2}}}.$$ [[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$a\\cdot b^2$","$a\\cdot b$","$a^2\\cdot b^2$","$\\frac{b^2}{a}$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Используем правила: $(uv)^n=u^n v^n$ и $(p^m)^n=p^{mn}$.","Сначала найдем показатели степеней в числителе: $a^{\\frac{2}{3}\\cdot 6}$ и $b^{\\frac{1}{4}\\cdot 6}$.","При делении степеней с одинаковым основанием вычтем показатели:<br />$$\\frac{a^4}{a^3}=a^{4-3}$$<br />$$\\frac{b^{\\frac{3}{2}}}{b^{-\\frac{1}{2}}}=b^{\\frac{3}{2}-(-\\frac{1}{2})}=b^2.$$"]}]}

Метод 3. Разложение на множители и сокращение дробей

Этот метод часто вызывает трудности, потому что формулы сокращенного умножения (ФСУ) «маскируются» под выражения с дробными степенями.

Шпаргалка:

• Выражение $a-b$ можно представить как разность квадратов: $(a^{\frac{1}{2}})^2-(b^{\frac{1}{2}})^2 = (a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})$
• Выражение $a + b$ можно представить как сумму кубов: $(a^{\frac{1}{3}})^3 + (b^{\frac{1}{3}})^3 = (a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}}-a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})$

1. Заметим, что первое слагаемое в числителе $a$ можно записать как $(a^{\frac{1}{2}})^2$ или как $a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}}$.
2. Значит, в числителе есть общий множитель $a^{\frac{1}{2}}$. Вынесем его:$$a-4a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}}-4)$$
3. Подставим это в исходную дробь:$$\frac{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}}-4)}{a^{\frac{1}{2}}-4}$$
4. Сократим одинаковые скобки $(a^{\frac{1}{2}}-4)$ в числителе и знаменателе. Остается $a^{\frac{1}{2}}$.

Ответ: $a^{\frac{1}{2}}$ (или $\sqrt{a}$).

Показать решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"Упростите выражение: $\\frac{a-9a^{\\frac{1}{2}}}{a^{\\frac{1}{2}}-9}$.<br><br>Выберите ответ: [[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$a$","$a^{\\frac{1}{2}}$","$a^{\\frac{1}{2}}+9$","$a^{\\frac{1}{2}}-9$"],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["Заменим $a^{\\frac{1}{2}}$ на новую переменную: $t=a^{\\frac{1}{2}}$.","Преобразуем числитель: $a-9a^{\\frac{1}{2}}=t^2-9t=t(t-9)$.<br />Знаменатель $a^{\\frac{1}{2}}-9=t-9$.","Сократим дробь: $$\\frac{t(t-9)}{t-9}=t=a^{\\frac{1}{2}},$$ при условии $t\\neq 9$ (то есть $a\\neq 81$), чтобы знаменатель не обращался в ноль."]}]}

Часто задаваемые вопросы