Выборочные характеристики: оценки среднего и дисперсии

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Масса нескольких случайно отобранных упаковок (в граммах): $18, 14, 21, 15, 17, 23$. Найдите выборочное среднее $\\bar x$ в граммах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["18","18"]}},"hints":["$\\bar x=\\frac{\\sum x_i}{n}$.","$\\bar x=\\frac{108}{6}=18$.","Ответ: 18."],"step":1},{"id":"1","content":"Масса нескольких случайно отобранных упаковок (в граммах): $27, 31, 25, 29, 33$. Найдите выборочное среднее $\\bar x$ в граммах. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["29","29"]}},"hints":["$\\bar x=\\frac{\\sum x_i}{n}$.","$\\bar x=\\frac{145}{5}=29$.","Ответ: 29."],"step":1},{"id":"2","content":"[[image-1]]Выборка: $3, 5, 10, 6, 6$, среднее $\\bar x=6$ (см. рисунок). Найдите $\\sum(x_i-\\bar x)^2$. [[input-3]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/pzfqb4oqxleg.svg"},"input-3":{"type":"input","answer":"26"}},"hints":["Отклонения: $-3, -1, 4, 0, 0$.","Возведите отклонения в квадрат и сложите.","Ответ: 26."],"step":1},{"id":"2","content":"[[image-2]]Выборка: $12, 8, 7, 9, 14$, среднее $\\bar x=10$ (см. рисунок). Найдите $\\sum(x_i-\\bar x)^2$. [[input-4]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/vabkcxcxryns.svg"},"input-4":{"type":"input","answer":"34"}},"hints":["Отклонения: $2, -2, -3, -1, 4$.","Возведите отклонения в квадрат и сложите.","Ответ: 34."],"step":1},{"id":"3","content":"По выборке измерений (в сантиметрах) получили $s^2=2{,}25\\ \\text{см}^2$. Стандартное отклонение $s$ равно [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$2{,}25$ см","$5{,}0625$ см","$1{,}5$ см","$1{,}125$ см"],"answer":2}},"instruction":"Выберите верный вариант","hints":["$s=\\sqrt{s^2}$ — в тех же единицах, что и данные.","$\\sqrt{2{,}25}=1{,}5$."],"step":1},{"id":"3","content":"По выборке измерений (в килограммах) получили $s^2=0{,}64\\ \\text{кг}^2$. Стандартное отклонение $s$ равно [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$0{,}64$ кг","$0{,}32$ кг","$0{,}4096$ кг","$0{,}8$ кг"],"answer":3}},"instruction":"Выберите верный вариант","hints":["$s=\\sqrt{s^2}$ — в тех же единицах, что и данные.","$\\sqrt{0{,}64}=0{,}8$."],"step":1},{"id":"4","content":"Выборка: $1, 3, 4, 6, 11$. Сопоставьте величину и ее значение.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$\\bar x$","$\\sum(x_i-\\bar x)^2$","$s^2$","$s$"],"items":["5","58","14,5","$\\sqrt{14{,}5}$","11,6"]}},"instruction":"Сопоставьте величину и значение","hints":["$\\bar x=\\frac{25}{5}=5$; отклонения: $-4, -2, -1, 1, 6$.","$\\sum(x_i-\\bar x)^2=58$; $s^2=\\frac{58}{4}=14,5$.","$s=\\sqrt{s^2}=\\sqrt{14{,}5}$."],"step":1},{"id":"4","content":"Выборка: $2, 6, 7, 10, 10$. Сопоставьте величину и ее значение.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$\\bar x$","$\\sum(x_i-\\bar x)^2$","$s^2$","$s$"],"items":["7","44","11","$\\sqrt{11}$","8,8"]}},"instruction":"Сопоставьте величину и значение","hints":["$\\bar x=\\frac{35}{5}=7$; отклонения: $-5, -1, 0, 3, 3$.","$\\sum(x_i-\\bar x)^2=44$; $s^2=\\frac{44}{4}=11$.","$s=\\sqrt{s^2}=\\sqrt{11}$."],"step":1},{"id":"5","content":"Число ошибок в проверочных работах 10 учеников: <table><thead><tr><th>Значение</th><th>1</th><th>2</th><th>3</th><th>4</th></tr></thead><tbody><tr><td>Частота</td><td>3</td><td>4</td><td>2</td><td>1</td></tr></tbody></table> Найдите среднее число ошибок. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":["2,1","2.1"]}},"hints":["Сумма значений: $1\\cdot3+2\\cdot4+3\\cdot2+4\\cdot1=21$.","Среднее: $\\frac{21}{10}=2,1$.","Ответ: 2,1."],"step":1},{"id":"5","content":"Число ошибок в проверочных работах 10 учеников: <table><thead><tr><th>Значение</th><th>5</th><th>6</th><th>7</th><th>8</th></tr></thead><tbody><tr><td>Частота</td><td>2</td><td>5</td><td>2</td><td>1</td></tr></tbody></table> Найдите среднее число ошибок. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":["6,2","6.2"]}},"hints":["Сумма значений: $5\\cdot2+6\\cdot5+7\\cdot2+8\\cdot1=62$.","Среднее: $\\frac{62}{10}=6,2$.","Ответ: 6,2."],"step":1},{"id":"6","content":"Решавр оценивает дисперсию генеральной совокупности по выборке $10, 13, 6, 7$ ($\\bar x=9$). Он делит $\\sum(x_i-\\bar x)^2=30$ на $4$ и получает $7{,}5$. Какова верная оценка $s^2$ и в чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$7{,}5$: ошибки нет","$6$: делить надо на $n+1$","$10$: делить надо на $n-1$","$30$: дисперсия равна сумме квадратов"],"explanations":["При делении на n оценка в среднем занижена","Делитель $n+1$ занижает оценку еще сильнее","","Сумму квадратов нужно еще разделить на n−1"],"answer":[2]}},"hints":["Оценку дисперсии по выборке делят на $n-1=3$, а не на $n=4$.","$\\frac{30}{3}=10$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Решавр оценивает дисперсию генеральной совокупности по выборке $4, 8, 12, 12, 9$ ($\\bar x=9$). Он делит $\\sum(x_i-\\bar x)^2=44$ на $5$ и получает $8{,}8$. Какова верная оценка $s^2$ и в чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$8{,}8$: ошибки нет","$44$: дисперсия равна сумме квадратов","$11$: делить надо на $n-1$","$\\frac{22}{3}$: делить надо на $n+1$"],"explanations":["При делении на n оценка в среднем занижена","Сумму квадратов нужно еще разделить на n−1","","Делитель $n+1$ занижает оценку еще сильнее"],"answer":[2]}},"hints":["Оценку дисперсии по выборке делят на $n-1=4$, а не на $n=5$.","$\\frac{44}{4}=11$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Лаборатория измерила 5 образцов из партии в 2000 штук. Что нужно, чтобы оценить дисперсию всей партии по этим измерениям?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Разделить на 5: число образцов","Разделить на 2000: объем партии","Разделить на 1999: объем партии минус один","Разделить $\\sum(x_i-\\bar x)^2$ на 4: объем выборки минус один"],"explanations":["Для набора из пяти чисел — да, но для оценки по выборке нужно $n-1$","В формуле оценки стоит объем выборки","$n-1$ относится к объему выборки, а не партии",""],"answer":[3]}},"hints":["Измерены не все объекты, а часть — значит, это оценка по выборке.","Для оценки дисперсии по выборке объем уменьшают на 1."],"step":1},{"id":"7","content":"Агроном измерил высоту 7 кустов на поле, где растут тысячи. Что нужно, чтобы оценить дисперсию высоты всех кустов?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Разделить на число всех кустов минус один","Разделить на 7: число измеренных кустов","Разделить на число всех кустов на поле","Разделить $\\sum(x_i-\\bar x)^2$ на 6: число измеренных кустов минус один"],"explanations":["$n-1$ относится к объему выборки, а не поля","Для набора из семи чисел — да, но для оценки по выборке нужно $n-1$","В формуле оценки стоит объем выборки",""],"answer":[3]}},"hints":["Измерены не все объекты, а часть — значит, это оценка по выборке.","Для оценки дисперсии по выборке объем уменьшают на 1."],"step":1},{"id":"8","content":"В выборке $12, 14, 13, 15, 11$ при вводе значение $15$ записали как $45$. Найдите среднее выборки после этой ошибки. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"19"}},"hints":["Сумма изменилась: вместо $15$ стало $45$.","Новая сумма: $65-15+45=95$.","Среднее: $\\frac{95}{5}=19$. Ответ: 19."],"step":1},{"id":"8","content":"В выборке $8, 9, 7, 10, 6$ при вводе значение $10$ записали как $40$. Найдите среднее выборки после этой ошибки. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"14"}},"hints":["Сумма изменилась: вместо $10$ стало $40$.","Новая сумма: $40-10+40=70$.","Среднее: $\\frac{70}{5}=14$. Ответ: 14."],"step":1},{"id":"9","content":"Две выборки времени сборки узла (минуты): А — $8, 9, 10, 11, 12$; Б — $2, 6, 10, 14, 18$. Средние равны 10. У какой выборки $s^2$ больше и почему?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Одинаково: средние равны","У А: числа 8–12 в целом меньше, чем в Б, значит, и разброс меньше","У Б: значения дальше от среднего","У А: значения идут подряд и ближе к своей середине"],"explanations":["Дисперсия зависит от отклонений, а не только от среднего","Разброс определяется расстоянием до среднего, а не тем, велики ли сами числа","","Идущие подряд значения расположены тесно, разброс малый"],"answer":[2]}},"hints":["Оцените отклонения значений от среднего в каждой выборке.","Дисперсия растет вместе с расстоянием до среднего."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Две выборки оценок за неделю: А — $3, 5, 7, 9, 11$; Б — $6, 6, 7, 8, 8$. Средние равны 7. У какой выборки $s^2$ больше и почему?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["У Б: в ней есть повторяющиеся значения","У Б: в ней больше разных значений","У А: значения дальше от среднего","Одинаково: средние равны"],"explanations":["Повторы около среднего разброс уменьшают","Разброс определяют расстояния до среднего, а не количество разных значений","","Дисперсия зависит от отклонений, а не только от среднего"],"answer":[2]}},"hints":["Оцените отклонения значений от среднего в каждой выборке.","Дисперсия растет вместе с расстоянием до среднего."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Совокупность состоит из чисел $1, 3$ (дисперсия совокупности $1$). Выпишите все 4 выборки по два числа с возвратом, для каждой найдите $\\frac{\\sum(x_i-\\bar x)^2}{2}$ и вычислите среднее этих четырех оценок. [[input-9]]","widgets":{"input-9":{"type":"input","answer":["0,5","0.5"]}},"hints":["Выборки: $(1; 1); (1; 3); (3; 1); (3; 3)$.","Оценки с делителем 2: $0, 1, 1, 0$.","Среднее: $0,5$ — вдвое меньше дисперсии совокупности. Ответ: 0,5."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Совокупность состоит из чисел $2, 6$ (дисперсия совокупности $4$). Выпишите все 4 выборки по два числа с возвратом, для каждой найдите $\\frac{\\sum(x_i-\\bar x)^2}{2}$ и вычислите среднее этих четырех оценок. [[input-10]]","widgets":{"input-10":{"type":"input","answer":["2","2"]}},"hints":["Выборки: $(2; 2); (2; 6); (6; 2); (6; 6)$.","Оценки с делителем 2: $0, 4, 4, 0$.","Среднее: $2$ — вдвое меньше дисперсии совокупности. Ответ: 2."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>