Итоговый тест ВиС 7: вероятность и графы

10 заданий по второй части курса «Вероятность и статистика» 7 класса: частота и вероятность, графы, равновозможные исходы. Ответ — число, выбор варианта или соответствие. Ориентир — 20 минут. После проверки откройте разбор: в каждом задании указан урок, который стоит повторить.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Орел выпал $18$ раз в серии из $40$ бросков монеты. Сопоставьте величину и ее значение.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Число выпадений орла (частота)","Относительная частота орла (доля)","Относительная частота решки (доля)"],"items":["18","0,45","0,55","22"]}},"hints":["Частота события — сколько раз оно произошло (число появлений); относительная частота — доля: частота, деленная на число всех опытов. В уроке «Вероятность и частота» эту долю называли частотой $\\frac{m}{n}$.","Частота орла $18$, относительная частота орла $18 : 40 = 0{,}45$.","Решка выпала $40-18=22$ раз, ее относительная частота $22 : 40 = 0{,}55$. Ответ: $18$; $0{,}45$; $0{,}55$."],"explanation":"Если ошиблись, повторите урок «Случайная изменчивость: частоты, группировка, гистограмма».","step":1},{"id":"1","content":"Орел выпал $12$ раз в серии из $30$ бросков монеты. Сопоставьте величину и ее значение.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["Число выпадений орла (частота)","Относительная частота орла (доля)","Относительная частота решки (доля)"],"items":["12","0,4","0,6","18"]}},"hints":["Частота события — сколько раз оно произошло (число появлений); относительная частота — доля: частота, деленная на число всех опытов. В уроке «Вероятность и частота» эту долю называли частотой $\\frac{m}{n}$.","Частота орла $12$, относительная частота орла $12 : 30 = 0{,}4$.","Решка выпала $30-12=18$ раз, ее относительная частота $18 : 30 = 0{,}6$. Ответ: $12$; $0{,}4$; $0{,}6$."],"explanation":"Если ошиблись, повторите урок «Случайная изменчивость: частоты, группировка, гистограмма».","step":1},{"id":"2","content":"Баскетболист бросал мяч в кольцо тремя сериями: в первой серии $20$ бросков и $13$ попаданий, во второй — $30$ бросков и $21$ попадание, в третьей — $50$ бросков и $36$ попаданий. Найдите относительную частоту попаданий (долю удачных бросков) по всем трем сериям вместе. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["0,7","0.7","0,70","0.70"]}},"hints":["Относительная частота — доля: число появлений события, деленное на число всех опытов (в уроке «Вероятность и частота» ее называли частотой $\\frac{m}{n}$). Серии объединяют: складывают и броски, и появления.","Всего опытов $20+30+50 = 100$, попаданий $13+21+36 = 70$.","$70 : 100 = 0{,}7$. Ответ: $0{,}7$."],"explanation":"Если ошиблись, повторите урок «Вероятность и частота: что показали тысячи бросков монеты».","step":1},{"id":"2","content":"Канцелярскую кнопку подбрасывали тремя сериями: в первой серии $40$ бросков, кнопка упала острием вверх $14$ раз, во второй — $60$ бросков и $24$ раза, в третьей — $100$ бросков и $42$ раза. Найдите относительную частоту (долю) падений острием вверх по всем трем сериям вместе. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["0,4","0.4","0,40","0.40"]}},"hints":["Относительная частота — доля: число появлений события, деленное на число всех опытов (в уроке «Вероятность и частота» ее называли частотой $\\frac{m}{n}$). Серии объединяют: складывают и броски, и появления.","Всего опытов $40+60+100 = 200$, падений острием вверх $14+24+42 = 80$.","$80 : 200 = 0{,}4$. Ответ: $0{,}4$."],"explanation":"Если ошиблись, повторите урок «Вероятность и частота: что показали тысячи бросков монеты».","step":1},{"id":"3","content":"Колесо разделено на $4$ равных сектора, один из них синий. Синий сектор не выпадал $6$ раз подряд. Решавр говорит: «Теперь синий выпадет с большей вероятностью». В чем ошибка Решавра?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: за много вращений доля синего должна подтянуться к $\\frac{1}{4}$, значит, сейчас синий вероятнее","Ошибка в другом: синий выпадет на следующем вращении наверняка","Колесо не помнит прошлого: вероятность синего по-прежнему $\\frac{1}{4}$","Ошибка в другом: после такой серии синий выпадает реже"],"explanations":["Доля приближается к вероятности только за очень много опытов, и не за счет «догоняющих» исходов: на следующий опыт прошлое не влияет","Ни один исход не гарантирован: вероятность на каждом опыте одна и та же","","«Невезения» не бывает: прошлые результаты не уменьшают вероятность"],"answer":[2]}},"hints":["Каждый новый опыт не зависит от прошлых: колесо не «возвращает долг».","Вероятность определяет симметрия (равные секторы) и не меняется от прошлых результатов.","Ответ: колесо не помнит прошлого, вероятность синего по-прежнему $\\frac{1}{4}$."],"explanation":"Если ошиблись, повторите урок «Вероятность и частота: что показали тысячи бросков монеты».","step":1},{"id":"3","content":"Игральную кость бросили $10$ раз, и единица ни разу не выпала. Решавр говорит: «Теперь единица выпадет вероятнее других граней». В чем ошибка Решавра?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Кость не помнит прошлого: вероятность единицы по-прежнему $\\frac{1}{6}$","Ошибка в другом: единица выпадет при следующем броске наверняка","Ошибка в другом: после такой серии единица выпадает реже","Ошибки нет: за много бросков доля единиц должна подтянуться к $\\frac{1}{6}$, значит, сейчас единица вероятнее"],"explanations":["","Ни один исход не гарантирован: вероятность на каждом опыте одна и та же","«Невезения» не бывает: прошлые результаты не уменьшают вероятность","Доля приближается к вероятности только за очень много опытов, и не за счет «догоняющих» исходов: на следующий опыт прошлое не влияет"],"answer":[0]}},"hints":["Каждый новый опыт не зависит от прошлых: кость не «возвращает долг».","Вероятность определяет симметрия (равные грани) и не меняется от прошлых результатов.","Ответ: кость не помнит прошлого, вероятность единицы по-прежнему $\\frac{1}{6}$."],"explanation":"Если ошиблись, повторите урок «Вероятность и частота: что показали тысячи бросков монеты».","step":1},{"id":"4","content":"Вратарь по многим матчам отражает пенальти с относительной частотой (долей) $0{,}25$. Примерно сколько пенальти из $40$ он отразит? [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"10"}},"hints":["Относительная частота (доля появлений) по многим опытам близка к вероятности: событие происходит примерно в такой доле случаев. В уроке «Вероятность и частота» эту долю называли частотой $\\frac{m}{n}$.","$40 \\cdot 0{,}25 = 10$. Ответ: примерно $10$."],"explanation":"Если ошиблись, повторите урок «Вероятность и частота: что показали тысячи бросков монеты».","step":1},{"id":"4","content":"Автобус по многим наблюдениям приходит вовремя с относительной частотой (долей) $0{,}9$. Примерно сколько раз из $60$ поездок он придет вовремя? [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"54"}},"hints":["Относительная частота (доля появлений) по многим опытам близка к вероятности: событие происходит примерно в такой доле случаев. В уроке «Вероятность и частота» эту долю называли частотой $\\frac{m}{n}$.","$60 \\cdot 0{,}9 = 54$. Ответ: примерно $54$."],"explanation":"Если ошиблись, повторите урок «Вероятность и частота: что показали тысячи бросков монеты».","step":1},{"id":"5","content":"[[image-1]]Какая последовательность вершин графа на рисунке — цикл?[[choice-3]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/9nxo4ozgzjey.svg"},"choice-3":{"type":"choice","options":["$B$–$C$–$F$–$E$–$B$","$A$–$B$–$C$–$E$–$A$","$A$–$D$–$E$–$D$–$A$","$A$–$D$–$E$–$F$–$C$"],"explanations":["","Ребра $C$–$E$ на рисунке нет: такой последовательности в графе не пройти","Ребро $D$–$E$ пройдено дважды, а в цикле каждое ребро — не больше одного раза","Это путь, но не цикл: он не вернулся в начальную вершину $A$"],"answer":[0]}},"hints":["Цикл — путь, который возвращается в начальную вершину и не проходит ни по одному ребру дважды.","Для каждого варианта проверьте: есть ли на рисунке ребро между соседними вершинами, нет ли ребра дважды, вернулся ли путь в начало.","$B$–$C$–$F$–$E$–$B$: ребра $B$–$C$, $C$–$F$, $F$–$E$, $E$–$B$ есть, все разные, путь вернулся в $B$. Ответ: $B$–$C$–$F$–$E$–$B$."],"explanation":"Если ошиблись, повторите урок «Графы: вершины, ребра, степени, обход».","step":1},{"id":"5","content":"[[image-2]]Какая последовательность вершин графа на рисунке — цикл?[[choice-4]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/ukgzbcdgnp26.svg"},"choice-4":{"type":"choice","options":["$A$–$B$–$E$–$A$–$C$","$A$–$C$–$F$–$C$–$A$","$A$–$B$–$C$–$F$–$D$–$A$","$A$–$C$–$F$–$D$–$A$"],"explanations":["Это путь, но не цикл: он не вернулся в начальную вершину $A$","Ребро $C$–$F$ пройдено дважды, а в цикле каждое ребро — не больше одного раза","Ребра $B$–$C$ на рисунке нет: такой последовательности в графе не пройти",""],"answer":[3]}},"hints":["Цикл — путь, который возвращается в начальную вершину и не проходит ни по одному ребру дважды.","Для каждого варианта проверьте: есть ли на рисунке ребро между соседними вершинами, нет ли ребра дважды, вернулся ли путь в начало.","$A$–$C$–$F$–$D$–$A$: ребра $A$–$C$, $C$–$F$, $F$–$D$, $D$–$A$ есть, все разные, путь вернулся в $A$. Ответ: $A$–$C$–$F$–$D$–$A$."],"explanation":"Если ошиблись, повторите урок «Графы: вершины, ребра, степени, обход».","step":1},{"id":"6","content":"В графе $6$ вершин и $8$ ребер. Степени пяти из них равны $3$, $2$, $4$, $2$ и $3$. Найдите степень оставшейся вершины. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["Каждое ребро соединяет две вершины, поэтому сумма степеней всех вершин в два раза больше числа ребер.","Сумма степеней: $2 \\cdot 8 = 16$. Известные степени дают $3+2+4+2+3 = 14$.","$16-14=2$. Ответ: $2$."],"explanation":"Если ошиблись, повторите урок «Графы: вершины, ребра, степени, обход».","step":1},{"id":"6","content":"В графе $5$ вершин и $6$ ребер. Степени четырех из них равны $3$, $2$, $3$ и $1$. Найдите степень оставшейся вершины. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Каждое ребро соединяет две вершины, поэтому сумма степеней всех вершин в два раза больше числа ребер.","Сумма степеней: $2 \\cdot 6 = 12$. Известные степени дают $3+2+3+1 = 9$.","$12-9=3$. Ответ: $3$."],"explanation":"Если ошиблись, повторите урок «Графы: вершины, ребра, степени, обход».","step":1},{"id":"7","content":"Связный граф имеет $5$ вершин и $7$ ребер. Степени четырех из них равны $2$, $4$, $3$ и $2$. Можно ли обойти все ребра графа, пройдя по каждому ребру ровно один раз?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Нечетных вершин две, обхода нет: нужны все четные","Нечетная вершина одна, обхода нет","Нечетных вершин четыре, обхода нет","Нечетных вершин две, обход есть"],"explanations":["Обход есть и при двух нечетных вершинах: он идет от одной к другой","Забыта пятая вершина: ее степень $2 \\cdot 7-11=3$, нечетных вершин две","Степень $3$ только у двух вершин — у одной из данных и у пятой; остальные четные",""],"answer":[3]}},"hints":["Сумма степеней в два раза больше числа ребер: $2 \\cdot 7 = 14$. Известные степени дают $2+4+3+2 = 11$, значит, степень пятой вершины $14-11=3$.","Нечетных степеней среди данных $1$, и еще одна — у пятой вершины: всего нечетных вершин $2$.","Обход связного графа есть, если нечетных вершин ноль или две. Ответ: нечетных вершин две, обход есть."],"explanation":"Если ошиблись, повторите урок «Графы: вершины, ребра, степени, обход».","level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Связный граф имеет $6$ вершин и $9$ ребер. Степени пяти из них равны $3$, $3$, $4$, $2$ и $3$. Можно ли обойти все ребра графа, пройдя по каждому ребру ровно один раз?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Нечетных вершин три, обхода нет","Нечетных вершин две, обход есть","Нечетных вершин четыре, обхода нет","Нечетных вершин четыре, обход есть: граф связный"],"explanations":["Забыта шестая вершина: ее степень $2 \\cdot 9-15=3$, нечетных вершин четыре","Степень $3$ у трех данных вершин и у шестой: нечетных вершин четыре","","Связность нужна, но недостаточна: при четырех нечетных вершинах обхода нет"],"answer":[2]}},"hints":["Сумма степеней в два раза больше числа ребер: $2 \\cdot 9 = 18$. Известные степени дают $3+3+4+2+3 = 15$, значит, степень шестой вершины $18-15=3$.","Нечетных степеней среди данных $3$, и еще одна — у шестой вершины: всего нечетных вершин $4$.","Обход связного графа есть, если нечетных вершин ноль или две. Ответ: нечетных вершин четыре, обхода нет."],"explanation":"Если ошиблись, повторите урок «Графы: вершины, ребра, степени, обход».","level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Монету бросают дважды и игральную кость один раз. Всего у этого опыта [[fill_choice-1]] равновозможных исходов.","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["24","10","12","4"],"answer":0}},"hints":["Числа исходов отдельных опытов перемножают: каждый бросок учитывают отдельно.","$2 \\cdot 2 \\cdot 6 = 24$.","Ответ: $24$."],"explanation":"Если ошиблись, повторите урок «Монета и кубик: равновозможные исходы».","step":1},{"id":"8","content":"Игральную кость бросают дважды и монету один раз. Всего у этого опыта [[fill_choice-2]] равновозможных исходов.","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["14","72","12","36"],"answer":1}},"hints":["Числа исходов отдельных опытов перемножают: каждый бросок учитывают отдельно.","$6 \\cdot 6 \\cdot 2 = 72$.","Ответ: $72$."],"explanation":"Если ошиблись, повторите урок «Монета и кубик: равновозможные исходы».","step":1},{"id":"9","content":"[[image-3]]Игральную кость бросают дважды. В таблице записаны суммы очков для всех исходов. Какова вероятность того, что сумма очков не меньше $10$?[[choice-7]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/5danpvn5xrdr.svg"},"choice-7":{"type":"choice","options":["$\\frac{1}{9}$","$\\frac{1}{12}$","$\\frac{3}{11}$","$\\frac{1}{6}$"],"explanations":["Пары посчитаны без учета порядка: $(4;6)$ и $(6;4)$ — разные исходы","Сумма $10$ тоже подходит: «не меньше $10$» включает $10$","Три подходящие суммы из $11$ возможных, но суммы не равновозможны: считают клетки, а не суммы",""],"answer":[3]}},"hints":["Всего исходов $36$. Выделите в таблице клетки, где сумма не меньше $10$: подходят суммы $10$, $11$, $12$.","Клеток с такими суммами: $3 + 2 + 1 = 6$.","Вероятность $\\frac{6}{36} = \\frac{1}{6}$. Ответ: $\\frac{1}{6}$."],"explanation":"Если ошиблись, повторите урок «Монета и кубик: равновозможные исходы».","level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"[[image-4]]Игральную кость бросают дважды. В таблице записаны суммы очков для всех исходов. Какова вероятность того, что сумма очков не больше $5$?[[choice-8]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/5danpvn5xrdr.svg"},"choice-8":{"type":"choice","options":["$\\frac{4}{11}$","$\\frac{5}{18}$","$\\frac{1}{9}$","$\\frac{1}{6}$"],"explanations":["Четыре подходящие суммы из $11$ возможных, но суммы не равновозможны: считают клетки, а не суммы","","Учтена только сумма $5$: подходят еще суммы $2$, $3$ и $4$","Сумма $5$ тоже подходит: «не больше $5$» включает $5$"],"answer":[1]}},"hints":["Всего исходов $36$. Выделите в таблице клетки, где сумма не больше $5$: подходят суммы $2$, $3$, $4$, $5$.","Клеток с такими суммами: $1 + 2 + 3 + 4 = 10$.","Вероятность $\\frac{10}{36} = \\frac{5}{18}$. Ответ: $\\frac{5}{18}$."],"explanation":"Если ошиблись, повторите урок «Монета и кубик: равновозможные исходы».","level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Игральную кость бросают дважды. Решавр говорит: «Сумма $6$ и сумма $7$ одинаково вероятны: у каждой по три пары — $1+5$, $2+4$, $3+3$ и $1+6$, $2+5$, $3+4$». Где ошибка?[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: у обеих сумм по три пары, вероятности равны","Равновероятны: если каждую пару взять дважды, у обеих по $6$","Сравнивать надо суммы: у обеих вероятность $\\frac{1}{11}$","Пары упорядочены: сумма $6$ — $5$ исходов, сумма $7$ — $6$; $7$ вероятнее"],"explanations":["Кубики различимы: $(a;b)$ и $(b;a)$ — разные исходы, поэтому пар больше, и у сумм их разное число","Пару $(3;3)$ удваивать нельзя: в обратном порядке это тот же исход","Суммы от $2$ до $12$ не равновозможны: считают исходы-клетки таблицы $6 \\times 6$, а не суммы",""],"answer":[3]}},"hints":["Исходы — упорядоченные пары: на первом кубике $a$, на втором $b$; пары $(a;b)$ и $(b;a)$ при $a \\ne b$ — разные исходы, а $(a;a)$ — один.","Сумма $6$: $(1;5)$, $(2;4)$, $(3;3)$, $(4;2)$, $(5;1)$ — $5$ исходов. Сумма $7$: $(1;6)$, $(2;5)$, $(3;4)$, $(4;3)$, $(5;2)$, $(6;1)$ — $6$.","$6 > 5$, сумма $7$ вероятнее. Ответ: пары упорядочены, сумма $6$ — $5$ исходов, сумма $7$ — $6$."],"explanation":"Если ошиблись, повторите урок «Монета и кубик: равновозможные исходы».","level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Игральную кость бросают дважды. Решавр говорит: «Сумма $9$ и сумма $10$ одинаково вероятны: у каждой по две пары — $3+6$, $4+5$ и $4+6$, $5+5$». Где ошибка?[[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["Пары упорядочены: сумма $9$ — $4$ исходов, сумма $10$ — $3$; $9$ вероятнее","Равновероятны: если каждую пару взять дважды, у обеих по $4$","Сравнивать надо суммы: у обеих вероятность $\\frac{1}{11}$","Ошибки нет: у обеих сумм по две пары, вероятности равны"],"explanations":["","Пару $(5;5)$ удваивать нельзя: в обратном порядке это тот же исход","Суммы от $2$ до $12$ не равновозможны: считают исходы-клетки таблицы $6 \\times 6$, а не суммы","Кубики различимы: $(a;b)$ и $(b;a)$ — разные исходы, поэтому пар больше, и у сумм их разное число"],"answer":[0]}},"hints":["Исходы — упорядоченные пары: на первом кубике $a$, на втором $b$; пары $(a;b)$ и $(b;a)$ при $a \\ne b$ — разные исходы, а $(a;a)$ — один.","Сумма $9$: $(3;6)$, $(4;5)$, $(5;4)$, $(6;3)$ — $4$ исходов. Сумма $10$: $(4;6)$, $(5;5)$, $(6;4)$ — $3$.","$4 > 3$, сумма $9$ вероятнее. Ответ: пары упорядочены, сумма $9$ — $4$ исходов, сумма $10$ — $3$."],"explanation":"Если ошиблись, повторите урок «Монета и кубик: равновозможные исходы».","level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>