Закон больших чисел. Неравенство Чебышева

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Опыт с величиной $X$ повторяют $n$ раз независимо и находят среднее $\\overline X_n$. Что утверждает закон больших чисел?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["При росте $n$ дисперсия среднего $\\overline X_n$ растет вместе с $n$","При росте $n$ вероятность отклонения равна $\\frac{D(X)}{\\varepsilon^2}$ при любом $n$","При достаточно большом $n$ среднее $\\overline X_n$ точно равно $E(X)$","При росте $n$ вероятность отклонения $\\overline X_n$ от $E(X)$ хотя бы на $\\varepsilon$ стремится к нулю"],"explanations":["Дисперсия среднего равна $\\frac{D(X)}{n}$ и убывает, а не растет","Это граница Чебышева для одного опыта; для среднего в знаменателе есть $n$, и это лишь оценка сверху","Закон говорит о вероятности отклонения, а не о точном равенстве: среднее остается случайным",""],"answer":[3]}},"hints":["$D(\\overline X_n)=\\frac{D(X)}{n}$ убывает с ростом $n$, по Чебышеву $P(\\lvert\\overline X_n-E(X)\\rvert\\ge\\varepsilon)\\le\\frac{D(X)}{n\\varepsilon^2}$.","Правая часть стремится к нулю: при большом $n$ среднее с вероятностью, близкой к единице, лежит близко к $E(X)$."],"step":1},{"id":"1","content":"Событие наступает в каждом испытании с одной и той же вероятностью $p$; проводят $n$ независимых испытаний и находят частоту $\\frac kn$. Что утверждает закон больших чисел?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["При достаточно большом $n$ частота $\\frac kn$ точно равна $p$","При росте $n$ вероятность отклонения частоты от $p$ хотя бы на $\\varepsilon$ стремится к нулю","При росте $n$ число успехов $k$ стремится к $np$","При росте $n$ частота $\\frac kn$ стремится к $\\frac12$ при любом $p$"],"explanations":["Частота остается случайной; закон говорит лишь о малой вероятности большого отклонения","","К $p$ приближается частота $\\frac kn$. Разность $k-np$ не обязана стремиться к нулю: малой становится лишь $\\frac{k-np}{n}$","Частота приближается к своей вероятности $p$, а не к $\\frac12$"],"answer":[1]}},"hints":["По Чебышеву $P\\left(\\left|\\frac kn-p\\right|\\ge\\varepsilon\\right)\\le\\frac{pq}{n\\varepsilon^2}$.","Правая часть стремится к нулю при росте $n$: частота с вероятностью, близкой к единице, близка к $p$."],"step":1},{"id":"2","content":"При $n=1600$ испытаниях оценка $\\frac{1}{4n\\varepsilon^2}$ не должна превосходить $0{,}01$. Найдите наименьшее $\\varepsilon$. Ответ — десятичная дробь. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["0,125","0.125"]}},"hints":["$\\frac{1}{4\\cdot1600\\cdot\\varepsilon^2}\\le0{,}01$, откуда $\\varepsilon^2\\ge\\frac{1}{64}$.","$\\varepsilon^2\\ge0{,}015625$, $\\varepsilon\\ge0{,}125$.","Ответ: 0,125."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"2","content":"При $n=500$ испытаниях оценка $\\frac{1}{4n\\varepsilon^2}$ не должна превосходить $0{,}0125$. Найдите наименьшее $\\varepsilon$. Ответ — десятичная дробь. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["0,2","0.2"]}},"hints":["$\\frac{1}{4\\cdot500\\cdot\\varepsilon^2}\\le0{,}0125$, откуда $\\varepsilon^2\\ge\\frac{1}{25}$.","$\\varepsilon^2\\ge0{,}04$, $\\varepsilon\\ge0{,}2$.","Ответ: 0,2."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"3","content":"Неравенство Чебышева для величины $X$ с дисперсией $D(X)$ и числа $\\varepsilon>0$: $P(\\lvert X-E(X)\\rvert\\ge\\varepsilon)\\le$ [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$\\frac{D(X)}{\\varepsilon}$","$\\frac{\\sigma(X)}{\\varepsilon^2}$","$\\frac{\\varepsilon^2}{D(X)}$","$\\frac{D(X)}{\\varepsilon^2}$"],"answer":3}},"instruction":"Выберите верный вариант","hints":["Справа стоит дисперсия, деленная на квадрат отклонения.","$P(\\lvert X-E(X)\\rvert\\ge\\varepsilon)\\le\\frac{D(X)}{\\varepsilon^2}$."],"step":1},{"id":"3","content":"Для частоты $\\frac kn$ в $n$ независимых испытаниях с вероятностью успеха $p$ ($q=1-p$) и числа $\\varepsilon>0$: $P\\left(\\left|\\frac kn-p\\right|\\ge\\varepsilon\\right)\\le$ [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$\\frac{pq}{n\\varepsilon}$","$\\frac{pq}{n\\varepsilon^2}$","$\\frac{npq}{\\varepsilon^2}$","$\\frac{p}{n\\varepsilon^2}$"],"answer":1}},"instruction":"Выберите верный вариант","hints":["Дисперсия частоты равна $\\frac{pq}{n}$, ее делят на $\\varepsilon^2$.","$P\\left(\\left|\\frac kn-p\\right|\\ge\\varepsilon\\right)\\le\\frac{pq}{n\\varepsilon^2}$."],"step":1},{"id":"4","content":"Дисперсия одного измерения $D(X)=48$. Сделали $n=12$ независимых измерений. Найдите дисперсию $D(\\overline X_{12})$ среднего арифметического. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":["4","4"]}},"hints":["$D(\\overline X_n)=\\frac{D(X)}{n}$.","$\\frac{48}{12}=4$.","Ответ: 4."],"step":1},{"id":"4","content":"Дисперсия одного измерения $D(X)=45$. Сделали $n=15$ независимых измерений. Найдите дисперсию $D(\\overline X_{15})$ среднего арифметического. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":["3","3"]}},"hints":["$D(\\overline X_n)=\\frac{D(X)}{n}$.","$\\frac{45}{15}=3$.","Ответ: 3."],"step":1},{"id":"5","content":"В независимых испытаниях вероятность успеха известна: $p=0{,}2$. Оценка $\\frac{pq}{n\\varepsilon^2}$ при наименьшем целом $n$ гарантирует, что с вероятностью не менее $0{,}95$ частота успеха отличается от $p$ меньше чем на $0{,}05$. На сколько испытаний это $n$ меньше, чем наименьшее $n$ по грубой оценке $\\frac{1}{4n\\varepsilon^2}$ (для неизвестной $p$) при тех же условиях? Ответ — целое число. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"720"}},"hints":["Вероятность отклонения $\\ge\\varepsilon$ должна быть не больше $1-0{,}95=0{,}05$; $pq=0{,}16$.","$\\frac{0{,}16}{n\\cdot0{,}0025}\\le0{,}05$, $n\\ge\\frac{0{,}16}{0{,}05\\cdot0{,}0025}=1280$.","Для известной $p$ нужно 1280 испытаний; грубая оценка $pq\\le\\frac14$ дает $\\frac{1}{4\\cdot0{,}05\\cdot0{,}0025}=2000$. Разность: 2000-1280=720. Ответ: 720."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"В независимых испытаниях вероятность успеха известна: $p=0{,}3$. Оценка $\\frac{pq}{n\\varepsilon^2}$ при наименьшем целом $n$ гарантирует, что с вероятностью не менее $0{,}95$ частота успеха отличается от $p$ меньше чем на $0{,}05$. На сколько испытаний это $n$ меньше, чем наименьшее $n$ по грубой оценке $\\frac{1}{4n\\varepsilon^2}$ (для неизвестной $p$) при тех же условиях? Ответ — целое число. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"320"}},"hints":["Вероятность отклонения $\\ge\\varepsilon$ должна быть не больше $1-0{,}95=0{,}05$; $pq=0{,}21$.","$\\frac{0{,}21}{n\\cdot0{,}0025}\\le0{,}05$, $n\\ge\\frac{0{,}21}{0{,}05\\cdot0{,}0025}=1680$.","Для известной $p$ нужно 1680 испытаний; грубая оценка $pq\\le\\frac14$ дает $\\frac{1}{4\\cdot0{,}05\\cdot0{,}0025}=2000$. Разность: 2000-1680=320. Ответ: 320."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Симметричную монету подбросили $2500$ раз, $X$ — число орлов. Какую наименьшую вероятность по неравенству Чебышева можно гарантировать для события «орлов от $1125$ до $1375$ не включительно», то есть $\\lvert X-1250\\rvert<125$? Ответ — десятичная дробь. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":["0,96","0.96"]}},"hints":["$E(X)=np=1250$, $D(X)=npq=2500\\cdot\\frac12\\cdot\\frac12=625$.","$P(\\lvert X-1250\\rvert\\ge125)\\le\\frac{625}{15625}=0{,}04$.","Противоположное событие: не менее $1-0{,}04=0{,}96$. Ответ: 0,96."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Симметричную монету подбросили $40000$ раз, $X$ — число орлов. Какую наименьшую вероятность по неравенству Чебышева можно гарантировать для события «орлов от $19750$ до $20250$ не включительно», то есть $\\lvert X-20000\\rvert<250$? Ответ — десятичная дробь. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":["0,84","0.84"]}},"hints":["$E(X)=np=20000$, $D(X)=npq=40000\\cdot\\frac12\\cdot\\frac12=10000$.","$P(\\lvert X-20000\\rvert\\ge250)\\le\\frac{10000}{62500}=0{,}16$.","Противоположное событие: не менее $1-0{,}16=0{,}84$. Ответ: 0,84."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"В условии дано $\\sigma(X)=3$. Решавр оценивает $P(\\lvert X-E(X)\\rvert\\ge10)$ так: «$\\frac{3}{10^2}=0{,}03$». Найдите верную границу.[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$0{,}03$","$0{,}09$","$0{,}9$","$0{,}81$"],"explanations":["Подставлено $\\sigma$ вместо $D=\\sigma^2$","","Подставлена дисперсия, но разделено на $\\varepsilon$, а не на $\\varepsilon^2$","Дисперсия возведена в квадрат второй раз: $D=\\sigma^2$, а не $\\sigma^4$"],"answer":[1]}},"hints":["В неравенстве стоит дисперсия $D(X)=\\sigma^2$, а не $\\sigma$.","$D(X)=3^2=9$.","$\\frac{9}{100}=0,09$."],"step":1},{"id":"7","content":"В условии дано $\\sigma(X)=3$. Решавр оценивает $P(\\lvert X-E(X)\\rvert\\ge20)$ так: «$\\frac{3}{20^2}=0{,}0075$». Найдите верную границу.[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$0{,}0075$","$0{,}2025$","$0{,}0225$","$0{,}45$"],"explanations":["Подставлено $\\sigma$ вместо $D=\\sigma^2$","Дисперсия возведена в квадрат второй раз: $D=\\sigma^2$, а не $\\sigma^4$","","Подставлена дисперсия, но разделено на $\\varepsilon$, а не на $\\varepsilon^2$"],"answer":[2]}},"hints":["В неравенстве стоит дисперсия $D(X)=\\sigma^2$, а не $\\sigma$.","$D(X)=3^2=9$.","$\\frac{9}{400}=0,0225$."],"step":1},{"id":"8","content":"Вероятность успеха $p$ неизвестна, $\\varepsilon=0{,}1$. Сопоставьте число испытаний $n$ и оценку $\\frac{1}{4n\\varepsilon^2}$ для вероятности того, что частота отклонится от $p$ хотя бы на $\\varepsilon$.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$n=100$","$n=250$","$n=500$"],"items":[["$0{,}25$"],["$0{,}1$"],["$0{,}05$"],["$1$"],["$0{,}4$"]]}},"instruction":"Сопоставьте","hints":["$\\varepsilon^2=0{,}01$; оценка равна $\\frac{1}{4\\cdot n\\cdot0{,}01}$.","$n=100$: $0{,}25$; $n=250$: $0{,}1$; $n=500$: $0{,}05$."],"step":1},{"id":"8","content":"Вероятность успеха $p$ неизвестна, $\\varepsilon=0{,}05$. Сопоставьте число испытаний $n$ и оценку $\\frac{1}{4n\\varepsilon^2}$ для вероятности того, что частота отклонится от $p$ хотя бы на $\\varepsilon$.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$n=400$","$n=500$","$n=2500$"],"items":[["$0{,}25$"],["$0{,}2$"],["$0{,}04$"],["$1$"],["$0{,}8$"]]}},"instruction":"Сопоставьте","hints":["$\\varepsilon^2=0{,}0025$; оценка равна $\\frac{1}{4\\cdot n\\cdot0{,}0025}$.","$n=400$: $0{,}25$; $n=500$: $0{,}2$; $n=2500$: $0{,}04$."],"step":1},{"id":"9","content":"Вероятность успеха в каждом из $n=600$ независимых испытаний одна и та же, $p=0{,}4$. Оцените сверху вероятность того, что частота успехов отклонится от $p$ не менее чем на $0{,}05$. Ответ — десятичная дробь. [[input-9]]","widgets":{"input-9":{"type":"input","answer":["0,16","0.16"]}},"hints":["$P\\left(\\left|\\frac kn-p\\right|\\ge\\varepsilon\\right)\\le\\frac{pq}{n\\varepsilon^2}$.","$pq=0{,}24$, $n\\varepsilon^2=1{,}5$.","Граница: $0{,}16$. Ответ: 0,16."],"step":1},{"id":"9","content":"Вероятность успеха в каждом из $n=500$ независимых испытаний одна и та же, $p=0{,}1$. Оцените сверху вероятность того, что частота успехов отклонится от $p$ не менее чем на $0{,}03$. Ответ — десятичная дробь. [[input-10]]","widgets":{"input-10":{"type":"input","answer":["0,2","0.2"]}},"hints":["$P\\left(\\left|\\frac kn-p\\right|\\ge\\varepsilon\\right)\\le\\frac{pq}{n\\varepsilon^2}$.","$pq=0{,}09$, $n\\varepsilon^2=0{,}45$.","Граница: $0{,}2$. Ответ: 0,2."],"step":1},{"id":"10","content":"Монету бросили $400$ раз, $X$ — число орлов, $E(X)=200$, $D(X)=100$. Решавр: «По Чебышеву $P(\\lvert X-200\\rvert\\ge20)\\le\\frac{100}{400}=0{,}25$, значит, вероятность отклонения равна $0{,}25$». Точный расчет дал около $0{,}051$. В чем ошибка Решавра?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Деление: $\\frac{100}{400}$ вычислено неверно","Граница принята за вероятность: она лишь ограничивает вероятность сверху","Неравенство Чебышева для монеты неприменимо","Точный расчет неверен: вероятность не может быть меньше границы"],"explanations":["Деление выполнено верно, ошибка в выводе","","Число орлов — случайная величина с конечной дисперсией, неравенство применимо","Граница ограничивает вероятность сверху; меньшее значение не противоречит неравенству"],"answer":[1]}},"hints":["Неравенство Чебышева дает границу, а не значение.","Точная вероятность $0{,}051$ меньше границы $0{,}25$ — это не противоречие."],"step":1},{"id":"10","content":"Монету бросили $64$ раза, $X$ — число орлов, $E(X)=32$, $D(X)=16$. Решавр: «По Чебышеву $P(\\lvert X-32\\rvert\\ge6)\\le\\frac{16}{36}\\approx0{,}444$, значит, вероятность отклонения равна $0{,}444$». Точный расчет дал около $0{,}169$. В чем ошибка Решавра?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Неравенство Чебышева для монеты неприменимо","Деление: $\\frac{16}{36}$ вычислено неверно","Точный расчет неверен: вероятность не может быть меньше границы","Граница принята за вероятность: она лишь ограничивает вероятность сверху"],"explanations":["Число орлов — случайная величина с конечной дисперсией, неравенство применимо","Деление выполнено верно, ошибка в выводе","Граница ограничивает вероятность сверху; меньшее значение не противоречит неравенству",""],"answer":[3]}},"hints":["Неравенство Чебышева дает границу, а не значение.","Точная вероятность $0{,}169$ меньше границы $0{,}444$ — это не противоречие."],"step":1}]}</textarea></pre></div>