Ожидание среднего

Математическое ожидание среднего n опытов равно $E(X)$ и не меняется с ростом n

Дисперсия среднего

Для n независимых повторений X дисперсия среднего равна D(X)/n: с ростом n она уменьшается

Неравенство Чебышева

Вероятность отклониться от ожидания не менее чем на ε не больше D(X)/ε²: граница сверху для хвоста

Оценка не равна вероятности

Неравенство Чебышева дает границу; точное значение обычно заметно меньше

Противоположное событие в Чебышеве

Если хвост не больше α, то вероятность отклонения меньше ε — не менее 1−α

Оценка для частоты

При n независимых испытаниях граница для отклонения частоты от p: $pq/(n\varepsilon^2)$

Грубая оценка для частоты

Так как pq не больше 1/4, граница не превосходит $1/(4n\varepsilon^2)$

Наибольшее значение pq

$pq=p(1-p)\le 1/4$, наибольшее значение при p, равном одной второй

Сколько испытаний нужно

Из условия «граница не больше α» получают $n\ge 1/(4\alpha\varepsilon^2)$ и округляют вверх

Когда Чебышев бесполезен

При $\varepsilon\le\sigma$ граница D/ε² не меньше единицы и ничего не дает