Вероятности для нормальной величины и приближение биномиального распределения

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"$X\\sim N(\\mu;\\ \\sigma)$. Какая из вероятностей равна $1-\\Phi(1)$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$P(X<\\mu+\\sigma)$","$P(\\mu-\\sigma<X<\\mu+\\sigma)$","$P(X>\\mu+\\sigma)$","$P(X>\\mu-\\sigma)$"],"explanations":["Это площадь слева от $z=1$, то есть $\\Phi(1)$","Это $\\Phi(1)-\\Phi(-1)=2\\Phi(1)-1$, средняя часть, а не хвост","","По симметрии это тоже $\\Phi(1)$: справа от $-1$ столько же, сколько слева от $+1$"],"answer":[2]}},"hints":["$\\Phi(1)$ — площадь слева от точки $\\mu+\\sigma$ (там $z=1$).","$1-\\Phi(1)$ — остаток справа от нее: $P(X>\\mu+\\sigma)$."],"step":1},{"id":"1","content":"$X\\sim N(\\mu;\\ \\sigma)$. Какая из вероятностей равна $\\Phi(2)$?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$P(X>\\mu+2\\sigma)$","$P(\\mu-2\\sigma<X<\\mu+2\\sigma)$","$P(X<\\mu+2\\sigma)$","$P(X<\\mu-2\\sigma)$"],"explanations":["Это площадь справа от $z=2$, то есть $1-\\Phi(2)$","Это $2\\Phi(2)-1$, средняя часть, а не вся площадь слева","","Это площадь слева от $z=-2$, то есть $\\Phi(-2)=1-\\Phi(2)$"],"answer":[2]}},"hints":["$\\Phi(2)$ — площадь слева от $z=2$, то есть от точки $\\mu+2\\sigma$.","Это $P(X<\\mu+2\\sigma)$."],"step":1},{"id":"2","content":"$X\\sim N(100;\\ 10)$. Второй параметр записи $N(\\mu;\\ \\sigma)$ — $\\sigma$. Найдите $P(X<130)$ по таблице. Ответ — десятичная дробь.<br>Значения функции $\\Phi(z)$ для неотрицательных $z$:<table><thead><tr><th>$z$</th><th>$\\Phi(z)$</th></tr></thead><tbody><tr><td>$0$</td><td>$0{,}5$</td></tr><tr><td>$0{,}5$</td><td>$0{,}6915$</td></tr><tr><td>$1$</td><td>$0{,}8413$</td></tr><tr><td>$1{,}5$</td><td>$0{,}9332$</td></tr><tr><td>$2$</td><td>$0{,}9772$</td></tr><tr><td>$2{,}5$</td><td>$0{,}9938$</td></tr><tr><td>$3$</td><td>$0{,}9987$</td></tr></tbody></table> [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["0,9987","0.9987"]}},"hints":["$z=\\frac{130-100}{10}=3$.","$P=\\Phi(3)=0{,}9987$.","Ответ: 0,9987."],"step":1},{"id":"2","content":"$X\\sim N(40;\\ 4)$. Второй параметр записи $N(\\mu;\\ \\sigma)$ — $\\sigma$. Найдите $P(X<44)$ по таблице. Ответ — десятичная дробь.<br>Значения функции $\\Phi(z)$ для неотрицательных $z$:<table><thead><tr><th>$z$</th><th>$\\Phi(z)$</th></tr></thead><tbody><tr><td>$0$</td><td>$0{,}5$</td></tr><tr><td>$0{,}5$</td><td>$0{,}6915$</td></tr><tr><td>$1$</td><td>$0{,}8413$</td></tr><tr><td>$1{,}5$</td><td>$0{,}9332$</td></tr><tr><td>$2$</td><td>$0{,}9772$</td></tr><tr><td>$2{,}5$</td><td>$0{,}9938$</td></tr><tr><td>$3$</td><td>$0{,}9987$</td></tr></tbody></table> [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["0,8413","0.8413"]}},"hints":["$z=\\frac{44-40}{4}=1$.","$P=\\Phi(1)=0{,}8413$.","Ответ: 0,8413."],"step":1},{"id":"3","content":"$X\\sim N(100;\\ 10)$. Второй параметр записи $N(\\mu;\\ \\sigma)$ — $\\sigma$. Распределите вероятности: какие больше $0{,}5$, а какие меньше.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Больше $0{,}5$","Меньше $0{,}5$"],"items":[["$P(X<108)$","$P(X>93)$","$P(X<125)$"],["$P(X>104)$","$P(X<96)$","$P(X<81)$"]]}},"instruction":"Распределите вероятности","hints":["Колокол симметричен относительно $\\mu=100$: слева и справа от центра по $0{,}5$.","$P(X<x)>0{,}5$, если $x>100$; $P(X>x)>0{,}5$, если $x<100$. Таблица не нужна."],"step":1},{"id":"3","content":"$X\\sim N(60;\\ 8)$. Второй параметр записи $N(\\mu;\\ \\sigma)$ — $\\sigma$. Распределите вероятности: какие больше $0{,}5$, а какие меньше.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Больше $0{,}5$","Меньше $0{,}5$"],"items":[["$P(X<65)$","$P(X>52)$","$P(X>41)$"],["$P(X>70)$","$P(X<57)$","$P(X<44)$"]]}},"instruction":"Распределите вероятности","hints":["Колокол симметричен относительно $\\mu=60$: слева и справа от центра по $0{,}5$.","$P(X<x)>0{,}5$, если $x>60$; $P(X>x)>0{,}5$, если $x<60$. Таблица не нужна."],"step":1},{"id":"4","content":"$X\\sim N(50;\\ 5)$. Второй параметр записи $N(\\mu;\\ \\sigma)$ — $\\sigma$. Найдите $P(X<40)$ по таблице (в таблице только неотрицательные $z$). Ответ — десятичная дробь.<br>Значения функции $\\Phi(z)$ для неотрицательных $z$:<table><thead><tr><th>$z$</th><th>$\\Phi(z)$</th></tr></thead><tbody><tr><td>$0$</td><td>$0{,}5$</td></tr><tr><td>$0{,}5$</td><td>$0{,}6915$</td></tr><tr><td>$1$</td><td>$0{,}8413$</td></tr><tr><td>$1{,}5$</td><td>$0{,}9332$</td></tr><tr><td>$2$</td><td>$0{,}9772$</td></tr><tr><td>$2{,}5$</td><td>$0{,}9938$</td></tr><tr><td>$3$</td><td>$0{,}9987$</td></tr></tbody></table> [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":["0,0228","0.0228"]}},"hints":["$z=\\frac{40-50}{5}=-2$ — отрицательное.","$\\Phi(-2)=1-\\Phi(2)=1-0{,}9772=0{,}0228$.","Ответ: 0,0228."],"step":1},{"id":"4","content":"$X\\sim N(20;\\ 2)$. Второй параметр записи $N(\\mu;\\ \\sigma)$ — $\\sigma$. Найдите $P(X<17)$ по таблице (в таблице только неотрицательные $z$). Ответ — десятичная дробь.<br>Значения функции $\\Phi(z)$ для неотрицательных $z$:<table><thead><tr><th>$z$</th><th>$\\Phi(z)$</th></tr></thead><tbody><tr><td>$0$</td><td>$0{,}5$</td></tr><tr><td>$0{,}5$</td><td>$0{,}6915$</td></tr><tr><td>$1$</td><td>$0{,}8413$</td></tr><tr><td>$1{,}5$</td><td>$0{,}9332$</td></tr><tr><td>$2$</td><td>$0{,}9772$</td></tr><tr><td>$2{,}5$</td><td>$0{,}9938$</td></tr><tr><td>$3$</td><td>$0{,}9987$</td></tr></tbody></table> [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":["0,0668","0.0668"]}},"hints":["$z=\\frac{17-20}{2}=-1{,}5$ — отрицательное.","$\\Phi(-1{,}5)=1-\\Phi(1{,}5)=1-0{,}9332=0{,}0668$.","Ответ: 0,0668."],"step":1},{"id":"5","content":"Решавр записал: «$\\Phi(-0{,}5)=-\\Phi(0{,}5)=-0{,}6915$». Чему на самом деле равно $\\Phi(-0{,}5)$ по таблице?<br>Значения функции $\\Phi(z)$ для неотрицательных $z$:<table><thead><tr><th>$z$</th><th>$\\Phi(z)$</th></tr></thead><tbody><tr><td>$0$</td><td>$0{,}5$</td></tr><tr><td>$0{,}5$</td><td>$0{,}6915$</td></tr><tr><td>$1$</td><td>$0{,}8413$</td></tr><tr><td>$1{,}5$</td><td>$0{,}9332$</td></tr><tr><td>$2$</td><td>$0{,}9772$</td></tr><tr><td>$2{,}5$</td><td>$0{,}9938$</td></tr><tr><td>$3$</td><td>$0{,}9987$</td></tr></tbody></table>[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$-0{,}6915$","$0{,}6915$","$0{,}1915$","$0{,}3085$"],"explanations":["Вероятность не бывает отрицательной; верное правило $\\Phi(-z)=1-\\Phi(z)$","Это $\\Phi(z)$, площадь слева от $+z$, а не от $-z$","Это $\\Phi(z)-0{,}5$ — площадь между центром и $z$",""],"answer":[3]}},"hints":["Вероятность не бывает отрицательной.","Симметрия колокола: $\\Phi(-z)=1-\\Phi(z)=1-0{,}6915=0{,}3085$."],"step":1},{"id":"5","content":"Решавр записал: «$\\Phi(-2{,}5)=-\\Phi(2{,}5)=-0{,}9938$». Чему на самом деле равно $\\Phi(-2{,}5)$ по таблице?<br>Значения функции $\\Phi(z)$ для неотрицательных $z$:<table><thead><tr><th>$z$</th><th>$\\Phi(z)$</th></tr></thead><tbody><tr><td>$0$</td><td>$0{,}5$</td></tr><tr><td>$0{,}5$</td><td>$0{,}6915$</td></tr><tr><td>$1$</td><td>$0{,}8413$</td></tr><tr><td>$1{,}5$</td><td>$0{,}9332$</td></tr><tr><td>$2$</td><td>$0{,}9772$</td></tr><tr><td>$2{,}5$</td><td>$0{,}9938$</td></tr><tr><td>$3$</td><td>$0{,}9987$</td></tr></tbody></table>[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$-0{,}9938$","$0{,}4938$","$0{,}0062$","$0{,}9938$"],"explanations":["Вероятность не бывает отрицательной; верное правило $\\Phi(-z)=1-\\Phi(z)$","Это $\\Phi(z)-0{,}5$ — площадь между центром и $z$","","Это $\\Phi(z)$, площадь слева от $+z$, а не от $-z$"],"answer":[2]}},"hints":["Вероятность не бывает отрицательной.","Симметрия колокола: $\\Phi(-z)=1-\\Phi(z)=1-0{,}9938=0{,}0062$."],"step":1},{"id":"6","content":"$X\\sim N(60;\\ 8)$. Второй параметр записи $N(\\mu;\\ \\sigma)$ — $\\sigma$. Найдите $P(X>76)$ по таблице. Ответ — десятичная дробь.<br>Значения функции $\\Phi(z)$ для неотрицательных $z$:<table><thead><tr><th>$z$</th><th>$\\Phi(z)$</th></tr></thead><tbody><tr><td>$0$</td><td>$0{,}5$</td></tr><tr><td>$0{,}5$</td><td>$0{,}6915$</td></tr><tr><td>$1$</td><td>$0{,}8413$</td></tr><tr><td>$1{,}5$</td><td>$0{,}9332$</td></tr><tr><td>$2$</td><td>$0{,}9772$</td></tr><tr><td>$2{,}5$</td><td>$0{,}9938$</td></tr><tr><td>$3$</td><td>$0{,}9987$</td></tr></tbody></table> [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":["0,0228","0.0228"]}},"hints":["$z=\\frac{76-60}{8}=2$.","$P(X>76)=1-\\Phi(2)=1-0{,}9772=0{,}0228$.","Ответ: 0,0228."],"step":1},{"id":"6","content":"$X\\sim N(30;\\ 4)$. Второй параметр записи $N(\\mu;\\ \\sigma)$ — $\\sigma$. Найдите $P(X>36)$ по таблице. Ответ — десятичная дробь.<br>Значения функции $\\Phi(z)$ для неотрицательных $z$:<table><thead><tr><th>$z$</th><th>$\\Phi(z)$</th></tr></thead><tbody><tr><td>$0$</td><td>$0{,}5$</td></tr><tr><td>$0{,}5$</td><td>$0{,}6915$</td></tr><tr><td>$1$</td><td>$0{,}8413$</td></tr><tr><td>$1{,}5$</td><td>$0{,}9332$</td></tr><tr><td>$2$</td><td>$0{,}9772$</td></tr><tr><td>$2{,}5$</td><td>$0{,}9938$</td></tr><tr><td>$3$</td><td>$0{,}9987$</td></tr></tbody></table> [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":["0,0668","0.0668"]}},"hints":["$z=\\frac{36-30}{4}=1{,}5$.","$P(X>36)=1-\\Phi(1{,}5)=1-0{,}9332=0{,}0668$.","Ответ: 0,0668."],"step":1},{"id":"7","content":"Сопоставьте биномиальную величину и параметры $\\mu$, $\\sigma$ приближающей ее нормальной кривой.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$B(2500;\\ 0{,}5)$","$B(100;\\ 0{,}1)$","$B(900;\\ 0{,}5)$"],"items":[["$\\mu=1250,\\ \\sigma=25$"],["$\\mu=10,\\ \\sigma=3$"],["$\\mu=450,\\ \\sigma=15$"],["$\\mu=10,\\ \\sigma=9$"],["$\\mu=1250,\\ \\sigma=625$"]]}},"instruction":"Сопоставьте","hints":["$\\mu=np$, $\\sigma=\\sqrt{npq}$ — корень из дисперсии.","$B(2500;\\ 0{,}5)$: $\\mu=1250$, $\\sigma=\\sqrt{625}=25$; $B(100;\\ 0{,}1)$: $\\mu=10$, $\\sigma=\\sqrt{9}=3$; $B(900;\\ 0{,}5)$: $\\mu=450$, $\\sigma=\\sqrt{225}=15$."],"step":1},{"id":"7","content":"Сопоставьте биномиальную величину и параметры $\\mu$, $\\sigma$ приближающей ее нормальной кривой.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$B(225;\\ 0{,}2)$","$B(1600;\\ 0{,}5)$","$B(400;\\ 0{,}1)$"],"items":[["$\\mu=45,\\ \\sigma=6$"],["$\\mu=800,\\ \\sigma=20$"],["$\\mu=40,\\ \\sigma=6$"],["$\\mu=40,\\ \\sigma=36$"],["$\\mu=800,\\ \\sigma=400$"]]}},"instruction":"Сопоставьте","hints":["$\\mu=np$, $\\sigma=\\sqrt{npq}$ — корень из дисперсии.","$B(225;\\ 0{,}2)$: $\\mu=45$, $\\sigma=\\sqrt{36}=6$; $B(1600;\\ 0{,}5)$: $\\mu=800$, $\\sigma=\\sqrt{400}=20$; $B(400;\\ 0{,}1)$: $\\mu=40$, $\\sigma=\\sqrt{36}=6$."],"step":1},{"id":"8","content":"$X\\sim N(100;\\ 10)$. Второй параметр записи $N(\\mu;\\ \\sigma)$ — $\\sigma$. Решавр ищет $P(X<120)$ и берет $z$ как разность $x-\\mu$ ($20$). Укажите верное $z$ и вероятность по таблице.<br>Значения функции $\\Phi(z)$ для неотрицательных $z$:<table><thead><tr><th>$z$</th><th>$\\Phi(z)$</th></tr></thead><tbody><tr><td>$0$</td><td>$0{,}5$</td></tr><tr><td>$0{,}5$</td><td>$0{,}6915$</td></tr><tr><td>$1$</td><td>$0{,}8413$</td></tr><tr><td>$1{,}5$</td><td>$0{,}9332$</td></tr><tr><td>$2$</td><td>$0{,}9772$</td></tr><tr><td>$2{,}5$</td><td>$0{,}9938$</td></tr><tr><td>$3$</td><td>$0{,}9987$</td></tr></tbody></table>[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$z=20,\\ P\\approx1$","$z=2,\\ P=0{,}9772$","$z=12,\\ P\\approx1$","$z=0{,}2,\\ P=0{,}5793$"],"explanations":["Это $z=x-\\mu$ без деления на $\\sigma$: таблица для $z$, а не для отклонения","","Поделили $x$ на $\\sigma$, не вычитая $\\mu$","Поделили на $\\sigma^2$, а не на $\\sigma$"],"answer":[1]}},"hints":["Таблица задана для $\\mu=0$, $\\sigma=1$: нужно $z=\\frac{x-\\mu}{\\sigma}$.","$z=\\frac{120-100}{10}=2$, $P=\\Phi(2)=0{,}9772$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"$X\\sim N(60;\\ 5)$. Второй параметр записи $N(\\mu;\\ \\sigma)$ — $\\sigma$. Решавр ищет $P(X<67{,}5)$ и берет $z$ как разность $x-\\mu$ ($7{,}5$). Укажите верное $z$ и вероятность по таблице.<br>Значения функции $\\Phi(z)$ для неотрицательных $z$:<table><thead><tr><th>$z$</th><th>$\\Phi(z)$</th></tr></thead><tbody><tr><td>$0$</td><td>$0{,}5$</td></tr><tr><td>$0{,}5$</td><td>$0{,}6915$</td></tr><tr><td>$1$</td><td>$0{,}8413$</td></tr><tr><td>$1{,}5$</td><td>$0{,}9332$</td></tr><tr><td>$2$</td><td>$0{,}9772$</td></tr><tr><td>$2{,}5$</td><td>$0{,}9938$</td></tr><tr><td>$3$</td><td>$0{,}9987$</td></tr></tbody></table>[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["$z=7{,}5,\\ P\\approx1$","$z=0{,}3,\\ P=0{,}6179$","$z=1{,}5,\\ P=0{,}9332$","$z=13{,}5,\\ P\\approx1$"],"explanations":["Это $z=x-\\mu$ без деления на $\\sigma$: таблица для $z$, а не для отклонения","Поделили на $\\sigma^2$, а не на $\\sigma$","","Поделили $x$ на $\\sigma$, не вычитая $\\mu$"],"answer":[2]}},"hints":["Таблица задана для $\\mu=0$, $\\sigma=1$: нужно $z=\\frac{x-\\mu}{\\sigma}$.","$z=\\frac{67{,}5-60}{5}=1{,}5$, $P=\\Phi(1{,}5)=0{,}9332$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Для $X\\sim B(100;\\ 0{,}2)$ Решавр берет в нормальном приближении $\\sigma=np$. Каким должно быть $\\sigma$?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["$20$","$\\sqrt{20}\\approx4{,}5$","$16$","$4$"],"explanations":["Это $np=\\mu$, математическое ожидание","Это $\\sqrt{np}$ — потерян множитель $q$","Это $npq=D(X)$, дисперсия; $\\sigma$ — корень из нее",""],"answer":[3]}},"hints":["Для биномиального $D(X)=npq=100\\cdot0{,}2\\cdot0{,}8=16$.","$\\sigma=\\sqrt{D}=\\sqrt{16}=4$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Для $X\\sim B(400;\\ 0{,}5)$ Решавр берет в нормальном приближении $\\sigma=np$. Каким должно быть $\\sigma$?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["$200$","$100$","$\\sqrt{200}\\approx14{,}1$","$10$"],"explanations":["Это $np=\\mu$, математическое ожидание","Это $npq=D(X)$, дисперсия; $\\sigma$ — корень из нее","Это $\\sqrt{np}$ — потерян множитель $q$",""],"answer":[3]}},"hints":["Для биномиального $D(X)=npq=400\\cdot0{,}5\\cdot0{,}5=100$.","$\\sigma=\\sqrt{D}=\\sqrt{100}=10$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Монету бросили $64$ раза, $X$ — число орлов. Приближенно найдите вероятность того, что число орлов от $26$ до $38$, нормальным приближением (без поправки на непрерывность). Ответ — десятичная дробь.<br>Значения функции $\\Phi(z)$ для неотрицательных $z$:<table><thead><tr><th>$z$</th><th>$\\Phi(z)$</th></tr></thead><tbody><tr><td>$0$</td><td>$0{,}5$</td></tr><tr><td>$0{,}5$</td><td>$0{,}6915$</td></tr><tr><td>$1$</td><td>$0{,}8413$</td></tr><tr><td>$1{,}5$</td><td>$0{,}9332$</td></tr><tr><td>$2$</td><td>$0{,}9772$</td></tr><tr><td>$2{,}5$</td><td>$0{,}9938$</td></tr><tr><td>$3$</td><td>$0{,}9987$</td></tr></tbody></table> [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":["0,8664","0.8664"]}},"hints":["$\\mu=np=32$, $\\sigma=\\sqrt{npq}=4$.","$z_a=-1{,}5$, $z_b=1{,}5$.","$P\\approx\\Phi(1{,}5)-\\Phi(-1{,}5)=0{,}9332-0{,}0668=0{,}8664$. Ответ: 0,8664."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Монету бросили $144$ раза, $X$ — число орлов. Приближенно найдите вероятность того, что число орлов от $66$ до $84$, нормальным приближением (без поправки на непрерывность). Ответ — десятичная дробь.<br>Значения функции $\\Phi(z)$ для неотрицательных $z$:<table><thead><tr><th>$z$</th><th>$\\Phi(z)$</th></tr></thead><tbody><tr><td>$0$</td><td>$0{,}5$</td></tr><tr><td>$0{,}5$</td><td>$0{,}6915$</td></tr><tr><td>$1$</td><td>$0{,}8413$</td></tr><tr><td>$1{,}5$</td><td>$0{,}9332$</td></tr><tr><td>$2$</td><td>$0{,}9772$</td></tr><tr><td>$2{,}5$</td><td>$0{,}9938$</td></tr><tr><td>$3$</td><td>$0{,}9987$</td></tr></tbody></table> [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":["0,8185","0.8185"]}},"hints":["$\\mu=np=72$, $\\sigma=\\sqrt{npq}=\\sqrt{36}=6$; $npq=36\\ge9$.","$z_a=\\frac{66-72}{6}=-1$, $z_b=\\frac{84-72}{6}=2$.","$P\\approx\\Phi(2)-\\Phi(-1)=0{,}9772-0{,}1587=0{,}8185$. Ответ: 0,8185."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>