Проверка гипотез на модели «монета»

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Судья подозревает, что монета погнута и решка выпадает чаще, чем орел. Здесь $p$ — вероятность орла, $H_0$: $p=\\frac12$. Какую альтернативу $H_1$ он выберет?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$H_1$: $p>\\frac12$","$H_1$: $p\\lt\\frac12$","$H_1$: $p=\\frac12$","$H_1$: $p\\ne\\frac12$"],"explanations":["Слово «чаще» отнесено к орлу, а оно сказано про решку; для орла это «реже»","","Это сама нулевая гипотеза, а не подозрение судьи","Направление подозрения известно заранее — альтернатива односторонняя"],"answer":[1]}},"hints":["В гипотезах $p$ — вероятность орла, поэтому подозрение про решку нужно пересказать про орла.","Решка выпадает чаще орла — значит, орел выпадает реже половины бросков: $p$ меньше $\\frac12$."],"step":1},{"id":"1","content":"Судья подозревает, что монета погнута и решка выпадает реже, чем орел. Здесь $p$ — вероятность орла, $H_0$: $p=\\frac12$. Какую альтернативу $H_1$ он выберет?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$H_1$: $p\\lt\\frac12$","$H_1$: $p=\\frac12$","$H_1$: $p\\ne\\frac12$","$H_1$: $p>\\frac12$"],"explanations":["Слово «реже» отнесено к орлу, а оно сказано про решку; для орла это «чаще»","Это сама нулевая гипотеза, а не подозрение судьи","Направление подозрения известно заранее — альтернатива односторонняя",""],"answer":[3]}},"hints":["В гипотезах $p$ — вероятность орла, поэтому подозрение про решку нужно пересказать про орла.","Решка выпадает реже орла — значит, орел выпадает чаще половины бросков: $p$ больше $\\frac12$."],"step":1},{"id":"2","content":"Монету бросают 9 раз; всего $2^{9}=512$ равновозможных последовательностей. Сколько из них содержат ровно 3 орла? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"84"}},"hints":["Число последовательностей: $C_{9}^{3}$.","$C_{9}^{3}=84$.","Ответ: 84."],"step":1},{"id":"2","content":"Монету бросают 11 раз; всего $2^{11}=2048$ равновозможных последовательностей. Сколько из них содержат ровно 4 орла? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"330"}},"hints":["Число последовательностей: $C_{11}^{4}$.","$C_{11}^{4}=330$.","Ответ: 330."],"step":1},{"id":"3","content":"До бросков предположили, что орел выпадает чаще решки, и составили план проверки. Затем получили 11 орлов в 14 бросках. Восстановите порядок действий от планирования до вывода.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["До опыта записать $H_0$: $p=\\frac12$ и $H_1$: $p>\\frac12$, выбрать $\\alpha=0{,}05$ и $n=14$","Провести запланированные 14 бросков и получить 11 орлов","Считая $H_0$ верной, найти число последовательностей, где орлов не менее 11","Из найденного числа получаем $p$-значение: делим его на $2^{14}$","Получаем сравнение: $p$-значение больше $\\alpha$ или не больше","Итак, принимаем решение: отвергнуть $H_0$ или не отвергать"]}},"instruction":"Расставьте по порядку","hints":["До наблюдений записывают гипотезы и выбирают уровень значимости и число бросков. Затем получают данные; только после этого можно вычислять хвост от наблюдаемого значения.","Число последовательностей нужно до деления на $2^{14}$, а $p$-значение — до сравнения с $\\alpha$; вывод делают последним."],"step":1},{"id":"3","content":"До бросков предположили, что орел выпадает реже решки, и составили план проверки. Затем получили 4 орлов в 15 бросках. Восстановите порядок действий от планирования до вывода.[[sorter-2]]","widgets":{"sorter-2":{"type":"sorter","items":["До опыта записать $H_0$: $p=\\frac12$ и $H_1$: $p\\lt\\frac12$, выбрать $\\alpha=0{,}05$ и $n=15$","Провести запланированные 15 бросков и получить 4 орлов","Считая $H_0$ верной, найти число последовательностей, где орлов не более 4","Из найденного числа получаем $p$-значение: делим его на $2^{15}$","Получаем сравнение: $p$-значение больше $\\alpha$ или не больше","Итак, принимаем решение: отвергнуть $H_0$ или не отвергать"]}},"instruction":"Расставьте по порядку","hints":["До наблюдений записывают гипотезы и выбирают уровень значимости и число бросков. Затем получают данные; только после этого можно вычислять хвост от наблюдаемого значения.","Число последовательностей нужно до деления на $2^{15}$, а $p$-значение — до сравнения с $\\alpha$; вывод делают последним."],"step":1},{"id":"4","content":"[[image-1]]Монету бросили 15 раз, выпало 12 орлов (см. рисунок). В таблице указано число последовательностей с ровно $j$ орлами из $32768$ равновозможных последовательностей при честной монете.<table><thead><tr><th>$j$</th><th>12</th><th>13</th><th>14</th><th>15</th></tr></thead><tbody><tr><td>Число последовательностей</td><td>455</td><td>105</td><td>15</td><td>1</td></tr></tbody></table>Найдите $p$-значение для $H_1$: $p>\\frac12$ — вероятность при честной монете получить не менее 12 орлов. Округлите до тысячных. [[input-3]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/dvlmauyiiygw.svg"},"input-3":{"type":"input","answer":["0,018","0.018"]}},"hints":["Исходов с не менее чем 12 орлами: $455 + 105 + 15 + 1=576$ из $32768$.","$\\frac{576}{32768}\\approx0{,}018$.","Ответ: 0,018."],"step":1},{"id":"4","content":"[[image-2]]Монету бросили 16 раз, выпало 13 орлов (см. рисунок). В таблице указано число последовательностей с ровно $j$ орлами из $65536$ равновозможных последовательностей при честной монете.<table><thead><tr><th>$j$</th><th>13</th><th>14</th><th>15</th><th>16</th></tr></thead><tbody><tr><td>Число последовательностей</td><td>560</td><td>120</td><td>16</td><td>1</td></tr></tbody></table>Найдите $p$-значение для $H_1$: $p>\\frac12$ — вероятность при честной монете получить не менее 13 орлов. Округлите до тысячных. [[input-4]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/njsyl4ykj1cw.svg"},"input-4":{"type":"input","answer":["0,011","0.011"]}},"hints":["Исходов с не менее чем 13 орлами: $560 + 120 + 16 + 1=697$ из $65536$.","$\\frac{697}{65536}\\approx0{,}011$.","Ответ: 0,011."],"step":1},{"id":"5","content":"При проверке честности монеты получены: $p$-значение $0{,}007$, уровень значимости $\\alpha=0{,}01$. Какой вывод?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Доказано, что монета нечестная","Не отвергаем $H_0$ на этом уровне","Отвергаем $H_0$ на этом уровне","Монета честная с вероятностью $0{,}007$"],"explanations":["Отказ от $H_0$ — не доказательство: честная монета дает такой отказ с вероятностью не больше $\\alpha$","$0{,}007\\lt0{,}01$: результат слишком редок для честной монеты, а сравнение сделано в обратную сторону","","$p$-значение — вероятность серии при честной монете, а не вероятность честности"],"answer":[2]}},"hints":["Если $p$-значение $\\le\\alpha$, то $H_0$ отвергают; если $p$-значение $>\\alpha$, не отвергают.","Сравните $0{,}007$ и $0{,}01$: $0{,}007\\lt0{,}01$."],"step":1},{"id":"5","content":"При проверке честности монеты получены: $p$-значение $0{,}04$, уровень значимости $\\alpha=0{,}01$. Какой вывод?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Монета честная с вероятностью $0{,}04$","Не отвергаем $H_0$ на этом уровне","Отвергаем $H_0$ на этом уровне","Доказано, что монета честная"],"explanations":["$p$-значение — вероятность серии при честной монете, а не вероятность честности","","$0{,}04>0{,}01$: при строгом уровне $0{,}01$ такой результат недостаточно редок","Не отвергнуть $H_0$ — не значит доказать: данные лишь не противоречат ей"],"answer":[1]}},"hints":["Если $p$-значение $\\le\\alpha$, то $H_0$ отвергают; если $p$-значение $>\\alpha$, не отвергают.","Сравните $0{,}04$ и $0{,}01$: $0{,}04>0{,}01$."],"step":1},{"id":"6","content":"Проверяют $H_0$: монета честная. Сопоставьте ситуацию и то, чем было решение.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Монета честная, а по серии из 20 бросков $H_0$ отвергли","Монета с $p=0{,}7$, а по серии $H_0$ не отвергли","Монета честная, и по серии $H_0$ не отвергли","Монета с $p=0{,}7$, и по серии $H_0$ отвергли"],"items":["Ошибка первого рода","Ошибка второго рода","Верное решение: $H_0$ сохранили","Верное решение: $H_0$ отвергли"]}},"instruction":"Сопоставьте","hints":["Ошибка первого рода — отвергнуть верную $H_0$; ошибка второго рода — не отвергнуть неверную $H_0$.","Для каждой ситуации ответьте на два вопроса: верна ли $H_0$ на самом деле и отвергли ли ее."],"step":1},{"id":"6","content":"Проверяют $H_0$: монета честная. Сопоставьте ситуацию и то, чем было решение.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["Монета с $p=0{,}4$, а по серии из 30 бросков $H_0$ не отвергли","Монета честная, и по серии $H_0$ не отвергли","Монета честная, а по серии $H_0$ отвергли","Монета с $p=0{,}4$, и по серии $H_0$ отвергли"],"items":["Ошибка второго рода","Верное решение: $H_0$ сохранили","Ошибка первого рода","Верное решение: $H_0$ отвергли"]}},"instruction":"Сопоставьте","hints":["Ошибка первого рода — отвергнуть верную $H_0$; ошибка второго рода — не отвергнуть неверную $H_0$.","Для каждой ситуации ответьте на два вопроса: верна ли $H_0$ на самом деле и отвергли ли ее."],"step":1},{"id":"7","content":"До опыта выбирают один из двух планов проверки $H_0$: $p=\\frac12$ против $H_1$: $p>\\frac12$. В обоих планах $\\alpha=0{,}05$, броски независимы. Для каждого плана заранее рассчитаны вероятности ошибок.<table><thead><tr><th>Число бросков</th><th>Ошибка I рода при честной монете</th><th>Ошибка II рода при $p=0{,}7$</th></tr></thead><tbody><tr><td>8</td><td>$0{,}03515625$</td><td>$0{,}74470167$</td></tr><tr><td>9</td><td>$0{,}01953125$</td><td>$0{,}803996766$</td></tr></tbody></table>Нужно, чтобы ошибка I рода была не больше $0{,}05$, а ошибка II рода при $p=0{,}7$ — не больше $0{,}75$. Какое число бросков из таблицы следует выбрать, чтобы выполнить оба требования? [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["План должен одновременно выполнять оба ограничения; одной меньшей ошибки первого рода недостаточно.","В обоих планах ошибка I рода меньше $0{,}05$. Сравните $0{,}74470167$ и $0{,}803996766$ с $0{,}75$.","При 8 бросках $0{,}74470167\\lt0{,}75$, а при 9 бросках $0{,}803996766>0{,}75$. Ответ: 8."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"До опыта выбирают один из двух планов проверки $H_0$: $p=\\frac12$ против $H_1$: $p>\\frac12$. В обоих планах $\\alpha=0{,}05$, броски независимы. Для каждого плана заранее рассчитаны вероятности ошибок.<table><thead><tr><th>Число бросков</th><th>Ошибка I рода при честной монете</th><th>Ошибка II рода при $p=0{,}7$</th></tr></thead><tbody><tr><td>13</td><td>$0{,}046142578125$</td><td>$0{,}579394354239$</td></tr><tr><td>14</td><td>$0{,}0286865234375$</td><td>$0{,}64483257042234$</td></tr></tbody></table>Нужно, чтобы ошибка I рода была не больше $0{,}05$, а ошибка II рода при $p=0{,}7$ — не больше $0{,}60$. Какое число бросков из таблицы следует выбрать, чтобы выполнить оба требования? [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"13"}},"hints":["План должен одновременно выполнять оба ограничения; одной меньшей ошибки первого рода недостаточно.","В обоих планах ошибка I рода меньше $0{,}05$. Сравните $0{,}579394354239$ и $0{,}64483257042234$ с $0{,}60$.","При 13 бросках $0{,}579394354239\\lt0{,}60$, а при 14 бросках $0{,}64483257042234>0{,}60$. Ответ: 13."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Решавр получил $p$-значение $0{,}03$ и заявил: «Значит, вероятность того, что монета честная, равна $0{,}03$». В чем ошибка?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Ошибка в знаке: вероятность честности равна $1-0{,}03=0{,}97$","Ошибка в смысле: $p$-значение найдено при условии, что монета честная","Ошибки нет: $p$-значение и равно вероятности того, что $H_0$ верна","Ошибка в счете: $p$-значение для вывода надо умножить на 2"],"explanations":["Вычитание не спасает: вероятность гипотезы из $p$-значения не получить ни так, ни иначе","","$p$-значение — вероятность серии при честной монете, а не вероятность честности","Удвоение нужно только при двусторонней альтернативе и вероятностью гипотезы его не делает"],"answer":[1]}},"hints":["$p$-значение — вероятность получить такую или более крайнюю серию, если монета честная.","Честность монеты в этом расчете — исходное допущение, а не случайное событие, вероятность которого мы нашли."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Решавр получил $p$-значение $0{,}04$ и заявил: «Значит, с вероятностью $0{,}04$ верна нулевая гипотеза». В чем ошибка?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: $p$-значение и равно вероятности того, что $H_0$ верна","Ошибка в счете: $p$-значение для вывода надо умножить на 2","Ошибка в смысле: $p$-значение найдено при условии, что монета честная","Ошибка в знаке: вероятность $H_0$ равна $1-0{,}04=0{,}96$"],"explanations":["$p$-значение — вероятность серии при честной монете, а не вероятность $H_0$","Удвоение нужно только при двусторонней альтернативе и вероятностью гипотезы его не делает","","Вычитание не спасает: вероятность гипотезы из $p$-значения не получить ни так, ни иначе"],"answer":[2]}},"hints":["$p$-значение — вероятность получить такую или более крайнюю серию, если монета честная.","Честность монеты в этом расчете — исходное допущение, а не случайное событие, вероятность которого мы нашли."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Для 10 независимых бросков честной монеты заранее выбрали $\\alpha=0{,}02$, но не направление альтернативы. После опыта при избытке орлов выбирают $H_1$: $p>\\frac12$, при недостатке — $H_1$: $p\\lt\\frac12$. Затем сравнивают выбранное одностороннее $p$-значение с $\\alpha$. При равенстве числа орлов и решек $H_0$ не отвергают.При заранее выбранном направлении «орел чаще» критическая область начинается с 9 орлов: правый хвост содержит $11$ из $1024$ последовательностей; при противоположном направлении область симметрична. Какова фактическая вероятность отвергнуть честную монету при описанном выборе направления после данных? Округлите до тысячных. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":["0,021","0.021"]}},"hints":["Найдите все серии, при которых процедура отвергает $H_0$: направление выбирается в сторону наблюдаемого отклонения.","Отказ произойдет при 9 и более орлах или при 1 и менее. Это непересекающиеся хвосты, по $11$ последовательностей в каждом.","Вероятность равна $\\frac{2\\cdot11}{1024}\\approx0{,}021$ и превышает выбранное $\\alpha$. Ответ: 0,021."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Для 12 независимых бросков честной монеты заранее выбрали $\\alpha=0{,}025$, но не направление альтернативы. После опыта при избытке орлов выбирают $H_1$: $p>\\frac12$, при недостатке — $H_1$: $p\\lt\\frac12$. Затем сравнивают выбранное одностороннее $p$-значение с $\\alpha$. При равенстве числа орлов и решек $H_0$ не отвергают.При заранее выбранном направлении «орел чаще» критическая область начинается с 10 орлов: правый хвост содержит $79$ из $4096$ последовательностей; при противоположном направлении область симметрична. Какова фактическая вероятность отвергнуть честную монету при описанном выборе направления после данных? Округлите до тысячных. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":["0,039","0.039"]}},"hints":["Найдите все серии, при которых процедура отвергает $H_0$: направление выбирается в сторону наблюдаемого отклонения.","Отказ произойдет при 10 и более орлах или при 2 и менее. Это непересекающиеся хвосты, по $79$ последовательностей в каждом.","Вероятность равна $\\frac{2\\cdot79}{4096}\\approx0{,}039$ и превышает выбранное $\\alpha$. Ответ: 0,039."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Серия из 6 бросков: 4 орла, $p$-значение $0{,}34$. Решавр заключил: «Монета точно честная, мы это доказали». В чем ошибка?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: раз $0{,}34>0{,}05$, честность монеты доказана","Ошибка: большое $p$-значение $H_0$ не доказывает, лишь допускает","Ошибка: при $0{,}34>0{,}05$ гипотезу $H_0$ надо было отвергнуть","Ошибка: доказательство дал бы только уровень $\\alpha=0{,}01$"],"explanations":["Большое $p$-значение значит лишь, что серия обычна для честной монеты; для слегка нечестной она тоже обычна","","Отвергают при малом $p$-значении, не больше $\\alpha$, а не при большом","Никакой уровень значимости не превращает «не отвергли» в доказательство"],"answer":[1]}},"hints":["$H_0$ отвергают, если $p$-значение $\\le\\alpha$; иначе говорят лишь «данные не противоречат $H_0$».","Монета с $p=0{,}6$ дает ровно 4 орла из 6 с вероятностью около $0{,}31$ — даже чаще, чем честная ($0{,}23$): короткая серия их не различает."],"step":1},{"id":"10","content":"Серия из 8 бросков: 5 орлов, $p$-значение $0{,}36$. Решавр заключил: «Монета честная — доказано». В чем ошибка?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: раз $0{,}36>0{,}05$, честность монеты доказана","Ошибка: большое $p$-значение $H_0$ не доказывает, лишь допускает","Ошибка: доказательство дал бы только уровень $\\alpha=0{,}01$","Ошибка: при $0{,}36>0{,}05$ гипотезу $H_0$ надо было отвергнуть"],"explanations":["Большое $p$-значение значит лишь, что серия обычна для честной монеты; для слегка нечестной она тоже обычна","","Никакой уровень значимости не превращает «не отвергли» в доказательство","Отвергают при малом $p$-значении, не больше $\\alpha$, а не при большом"],"answer":[1]}},"hints":["$H_0$ отвергают, если $p$-значение $\\le\\alpha$; иначе говорят лишь «данные не противоречат $H_0$».","Монета с $p=0{,}6$ дает ровно 5 орлов из 8 с вероятностью около $0{,}28$ — даже чаще, чем честная ($0{,}22$): короткая серия их не различает."],"step":1}]}</textarea></pre></div>