Оценка вероятности по частоте и ее погрешность

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Из 600 проверенных образцов 468 признаны годными. Найдите частоту $\\hat p=\\frac mn$. Ответ — десятичная дробь. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["0,78","0.78"]}},"hints":["$\\hat p=\\frac mn$.","$\\frac{468}{600}=0,78$.","Ответ: 0,78."],"step":1},{"id":"1","content":"Из 800 проверенных образцов 24 признаны бракованными. Найдите частоту $\\hat p=\\frac mn$. Ответ — десятичная дробь. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["0,03","0.03"]}},"hints":["$\\hat p=\\frac mn$.","$\\frac{24}{800}=0,03$.","Ответ: 0,03."],"step":1},{"id":"2","content":"Истинная доля равна $p=0{,}4$, частота в пробе $\\hat p=0{,}46$. Найдите относительную погрешность $\\frac{\\lvert\\hat p-p\\rvert}{p}$ в процентах. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":["15","15"]}},"hints":["Абсолютная: $\\lvert0{,}46-0{,}4\\rvert=0{,}06$.","Относительная: $\\frac{0{,}06}{0{,}4}=0{,}15$.","В процентах: 15. Ответ: 15."],"step":1},{"id":"2","content":"Истинная доля равна $p=0{,}25$, частота в пробе $\\hat p=0{,}2$. Найдите относительную погрешность $\\frac{\\lvert\\hat p-p\\rvert}{p}$ в процентах. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":["20","20"]}},"hints":["Абсолютная: $\\lvert0{,}2-0{,}25\\rvert=0{,}05$.","Относительная: $\\frac{0{,}05}{0{,}25}=0{,}2$.","В процентах: 20. Ответ: 20."],"step":1},{"id":"3","content":"Для планирования примите постоянную вероятность $p=0{,}9$ и независимость испытаний. Найдите наименьшее целое число испытаний $n$, при котором полуширина полосы $2\\sigma=\\frac{2\\sqrt{p(1-p)}}{\\sqrt n}$ не больше $0{,}05$. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"144"}},"hints":["$\\sqrt{pq}=\\sqrt{0{,}9\\cdot0{,}1}=0{,}3$.","$\\frac{0{,}6}{\\sqrt n}\\le0{,}05$, то есть $\\sqrt n\\ge12$.","$n\\ge144$. Ответ: 144."],"step":1},{"id":"3","content":"Для планирования примите постоянную вероятность $p=0{,}8$ и независимость испытаний. Найдите наименьшее целое число испытаний $n$, при котором полуширина полосы $2\\sigma=\\frac{2\\sqrt{p(1-p)}}{\\sqrt n}$ не больше $0{,}05$. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"256"}},"hints":["$\\sqrt{pq}=\\sqrt{0{,}8\\cdot0{,}2}=0{,}4$.","$\\frac{0{,}8}{\\sqrt n}\\le0{,}05$, то есть $\\sqrt n\\ge16$.","$n\\ge256$. Ответ: 256."],"step":1},{"id":"4","content":"В серии независимых испытаний с постоянным $p$ выполнены $np\\ge10$ и $n(1-p)\\ge10$. По приближенному правилу двух сигм частота $\\hat p$ отличается от $p$ не больше чем на $2\\sigma$ с вероятностью около [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$0{,}68$","$1$","$0{,}05$","$0{,}95$"],"answer":3}},"instruction":"Выберите верный вариант","hints":["При указанных условиях по нормальному приближению: частота попадает в полосу $p\\pm2\\sigma$ примерно в 95 случаях из 100.","Это вероятность около 0,95, а не гарантия."],"step":1},{"id":"4","content":"В серии независимых испытаний с постоянным $p$ выполнены $np\\ge10$ и $n(1-p)\\ge10$. По приближенному правилу двух сигм частота $\\hat p$ выходит за пределы полосы $p\\pm2\\sigma$ с вероятностью около [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$0$","$0{,}05$","$0{,}32$","$0{,}95$"],"answer":1}},"instruction":"Выберите верный вариант","hints":["При указанных условиях по нормальному приближению: внутри полосы частота оказывается с вероятностью около $0{,}95$.","Вне полосы — в остальных случаях: $1-0{,}95=0{,}05$."],"step":1},{"id":"5","content":"Доля брака на линии $p=0{,}1$. Проверили $n=400$ изделий, брака оказалось 48. Сопоставьте величину и ее значение.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Частота $\\hat p$","Абсолютная погрешность","Относительная погрешность","Разброс $\\sigma$"],"items":["0,12","0,02","20%","0,015","0,09"]}},"instruction":"Сопоставьте величину и значение","hints":["$\\hat p=\\frac{48}{400}=0{,}12$; абсолютная погрешность $\\lvert0{,}12-0{,}1\\rvert=0{,}02$.","Относительная: $\\frac{0{,}02}{0{,}1}=20\\%$.","$\\sigma=\\sqrt{\\frac{0{,}1\\cdot0{,}9}{400}}=0{,}015$."],"step":1},{"id":"5","content":"Доля брака на линии $p=0{,}2$. Проверили $n=100$ изделий, брака оказалось 26. Сопоставьте величину и ее значение.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["Частота $\\hat p$","Абсолютная погрешность","Относительная погрешность","Разброс $\\sigma$"],"items":["0,26","0,06","30%","0,04","0,16"]}},"instruction":"Сопоставьте величину и значение","hints":["$\\hat p=\\frac{26}{100}=0{,}26$; абсолютная погрешность $\\lvert0{,}26-0{,}2\\rvert=0{,}06$.","Относительная: $\\frac{0{,}06}{0{,}2}=30\\%$.","$\\sigma=\\sqrt{\\frac{0{,}2\\cdot0{,}8}{100}}=0{,}04$."],"step":1},{"id":"6","content":"Уже проведено 500 независимых испытаний. Принятое для планирования $p$ остается неизменным, $0<p<1$. Нужно уменьшить расчетную полуширину полосы как минимум в $1{,}5$ раза. На продолжение выделен бюджет еще на 600 испытаний. Найдите минимальное общее число испытаний и определите, достаточно ли дополнительного бюджета.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Всего 1125; нужно еще 625, бюджета хватает с остатком 25","Всего 750; нужно еще 250, бюджета хватает с остатком 350","Всего 1125; нужно еще 625, бюджета не хватает на 25","Всего 1125; нужно еще 1125, бюджета не хватает на 525"],"explanations":["625 больше 600: 25 — недостаток, а не остаток бюджета","Число испытаний умножили на 1,5 вместо $1{,}5^2$","","Общее число принято за дополнительное: уже выполненные испытания надо вычесть"],"answer":[2]}},"hints":["При неизменном $p$ полуширина обратно пропорциональна $\\sqrt n$. Для уменьшения в $1{,}5$ раза нужен объем не меньше $1{,}5^2=2{,}25$ прежнего.","Всего не меньше $500\\cdot2{,}25=1125$; дополнительно $1125-500=625$.","Сравните 625 с бюджетом 600."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Уже проведено 800 независимых испытаний. Принятое для планирования $p$ остается неизменным, $0<p<1$. Нужно уменьшить расчетную полуширину полосы как минимум в $1{,}5$ раза. На продолжение выделен бюджет еще на 1100 испытаний. Найдите минимальное общее число испытаний и определите, достаточно ли дополнительного бюджета.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Всего 1200; нужно еще 400, бюджета хватает с остатком 700","Всего 1800; нужно еще 1000, бюджета хватает с остатком 100","Всего 1800; нужно еще 1800, бюджета не хватает на 700","Всего 1800; нужно еще 1000, бюджета не хватает на 100"],"explanations":["Число испытаний умножили на 1,5 вместо $1{,}5^2$","","Общее число принято за дополнительное: уже выполненные испытания надо вычесть","1000 меньше 1100: 100 — остаток, а не недостаток бюджета"],"answer":[1]}},"hints":["При неизменном $p$ полуширина обратно пропорциональна $\\sqrt n$. Для уменьшения в $1{,}5$ раза нужен объем не меньше $1{,}5^2=2{,}25$ прежнего.","Всего не меньше $800\\cdot2{,}25=1800$; дополнительно $1800-800=1000$.","Сравните 1000 с бюджетом 1100."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Решавр хочет уменьшить типичную погрешность частоты в 3 раза и говорит: «Надо увеличить число опытов в 3 раза». Что верно?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Нужно увеличить число опытов в $\\sqrt3$ раза","Нужно увеличить число опытов в 6 раз","Решавр прав: в 3 раза","Нужно увеличить число опытов в 9 раз"],"explanations":["Корень берут от увеличения $n$, а не наоборот","Домножать на 2 нельзя, нужно возводить в квадрат","Так было бы при $\\frac1n$, но реально $\\frac1{\\sqrt n}$",""],"answer":[3]}},"hints":["Типичная погрешность пропорциональна $\\frac1{\\sqrt n}$.","Чтобы погрешность стала меньше в $k$ раз, $n$ нужно увеличить в $k^2$ раз."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Решавр хочет уменьшить типичную погрешность частоты в 5 раз и говорит: «Надо увеличить число опытов в 5 раз». Что верно?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Решавр прав: в 5 раз","Нужно увеличить число опытов в 25 раз","Нужно увеличить число опытов в $\\sqrt5$ раза","Нужно увеличить число опытов в 10 раз"],"explanations":["Так было бы при $\\frac1n$, но реально $\\frac1{\\sqrt n}$","","Корень берут от увеличения $n$, а не наоборот","Домножать на 2 нельзя, нужно возводить в квадрат"],"answer":[1]}},"hints":["Типичная погрешность пропорциональна $\\frac1{\\sqrt n}$.","Чтобы погрешность стала меньше в $k$ раз, $n$ нужно увеличить в $k^2$ раз."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Лаборатория может провести не более 1000 независимых испытаний. Нужна расчетная полуширина $2\\sigma\\le0{,}025$. Рассмотрите два плана: (а) принять постоянное $p=0{,}9$; (б) подобрать объем для любого $p$ от $0$ до $1$. Найдите наименьший целый объем по каждому плану. Какой вывод о бюджете верен?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["План (а): 576, бюджета хватает; план (б): 576, хватает","План (а): 1600, бюджета не хватает; план (б): 576, хватает","План (а): 576, бюджета хватает; план (б): 1600, не хватает","План (а): 24, бюджета хватает; план (б): 40, хватает"],"explanations":["Для неизвестного $p$ нельзя использовать $0{,}9$: худший случай $p=\\frac12$, нужен объем 1600","Перепутаны планы: требование для любого $p$ не может давать меньший минимальный объем","","Это нижние границы для $\\sqrt n$, их нужно возвести в квадрат"],"answer":[2]}},"hints":["Из $2\\sqrt{\\frac{p(1-p)}{n}}\\le\\varepsilon$ следует $n\\ge\\frac{4p(1-p)}{\\varepsilon^2}$. Для любого $p$ используйте максимум $p(1-p)=\\frac14$.","План (а): $n\\ge\\frac{0{,}36}{0{,}000625}=576$; план (б): $n\\ge\\frac{1}{0{,}000625}=1600$.","Сравните: 576 и 1600 с бюджетом 1000."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Лаборатория может провести не более 1500 независимых испытаний. Нужна расчетная полуширина $2\\sigma\\le0{,}02$. Рассмотрите два плана: (а) принять постоянное $p=0{,}8$; (б) подобрать объем для любого $p$ от $0$ до $1$. Найдите наименьший целый объем по каждому плану. Какой вывод о бюджете верен?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["План (а): 1600, бюджета не хватает; план (б): 1600, не хватает","План (а): 1600, бюджета не хватает; план (б): 2500, не хватает","План (а): 40, бюджета хватает; план (б): 50, хватает","План (а): 2500, бюджета не хватает; план (б): 1600, не хватает"],"explanations":["Для неизвестного $p$ нельзя использовать $0{,}8$: худший случай $p=\\frac12$, нужен объем 2500","","Это нижние границы для $\\sqrt n$, их нужно возвести в квадрат","Перепутаны планы: требование для любого $p$ не может давать меньший минимальный объем"],"answer":[1]}},"hints":["Из $2\\sqrt{\\frac{p(1-p)}{n}}\\le\\varepsilon$ следует $n\\ge\\frac{4p(1-p)}{\\varepsilon^2}$. Для любого $p$ используйте максимум $p(1-p)=\\frac14$.","План (а): $n\\ge\\frac{0{,}64}{0{,}0004}=1600$; план (б): $n\\ge\\frac{1}{0{,}0004}=2500$.","Сравните: 1600 и 2500 с бюджетом 1500."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"В каждой из двух серий испытания независимы и вероятность успеха постоянна. Серия А: $p=0{,}2$, $n=400$. Серия Б: $p=0{,}5$, $n=625$. Как соотносятся стандартные отклонения частоты в сериях А и Б?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["В серии А стандартное отклонение в 1,25 раза больше","В серии А стандартное отклонение в 1,25 раза меньше","Стандартные отклонения равны: 0,0004 в обеих сериях","Стандартные отклонения равны: 0,02 в обеих сериях"],"explanations":["Учтен только корень из отношения объемов, но вероятности тоже различаются","Отношение объемов не определяет отношение σ при разных p; нужно сравнить p(1−p)/n","0,0004 — дисперсия частоты; для σ нужен квадратный корень",""],"answer":[3]}},"hints":["Сначала сравните $\\sigma^2=\\frac{p(1-p)}{n}$: зависимость только от $\\sqrt n$ применима при одинаковом $p$.","$0{,}2\\cdot0{,}8:400=0{,}0004$; $0{,}5\\cdot0{,}5:625=0{,}0004$.","В обеих сериях $\\sigma=\\sqrt{0{,}0004}=0{,}02$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"В каждой из двух серий испытания независимы и вероятность успеха постоянна. Серия А: $p=0{,}1$, $n=225$. Серия Б: $p=0{,}5$, $n=625$. Как соотносятся стандартные отклонения частоты в сериях А и Б?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["В серии А стандартное отклонение в 5/3 раза больше","Стандартные отклонения равны: 0,02 в обеих сериях","В серии А стандартное отклонение в 5/3 раза меньше","Стандартные отклонения равны: 0,0004 в обеих сериях"],"explanations":["Учтен только корень из отношения объемов, но вероятности тоже различаются","","Отношение объемов не определяет отношение σ при разных p; нужно сравнить p(1−p)/n","0,0004 — дисперсия частоты; для σ нужен квадратный корень"],"answer":[1]}},"hints":["Сначала сравните $\\sigma^2=\\frac{p(1-p)}{n}$: зависимость только от $\\sqrt n$ применима при одинаковом $p$.","$0{,}1\\cdot0{,}9:225=0{,}0004$; $0{,}5\\cdot0{,}5:625=0{,}0004$.","В обеих сериях $\\sigma=\\sqrt{0{,}0004}=0{,}02$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"[[image-1]]Для частоты $\\hat p=0{,}35$ получена полоса $\\pm2\\sigma=\\pm0{,}03$. Решавр говорит: «Значит, истинное $p$ обязательно в промежутке от $0{,}32$ до $0{,}38$». В чем ошибка?[[choice-9]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/tmd1izoovriw.svg"},"choice-9":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: полоса построена верно","Нужна полоса $\\pm\\sigma$, а не $\\pm2\\sigma$","Ошибка: нельзя считать, что $p=\\hat p$","Нельзя говорить «обязательно»: такая полоса накрывает $p$ примерно в 95 случаях из 100"],"explanations":["Формула дает вероятностную границу, а не абсолютную","С $\\pm\\sigma$ полоса еще уже, и накрывать $p$ она будет реже, а не всегда","Вероятность $p$ и частота $\\hat p$ действительно не обязаны совпадать. Однако Решавр не утверждал их равенство; его ошибка — слово «обязательно» при выводе о попадании в промежуток",""],"answer":[3]}},"hints":["Правило двух сигм дает вероятность около 0,95.","В остальных пробах полоса истинное $p$ не накрывает."],"step":1},{"id":"10","content":"[[image-2]]Для частоты $\\hat p=0{,}55$ получена полоса $\\pm2\\sigma=\\pm0{,}04$. Решавр говорит: «Значит, истинное $p$ обязательно в промежутке от $0{,}51$ до $0{,}59$». В чем ошибка?[[choice-10]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/lxvakujdv8ow.svg"},"choice-10":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: полоса построена верно","Ошибка: нельзя считать, что $p=\\hat p$","Нужна полоса $\\pm\\sigma$, а не $\\pm2\\sigma$","Нельзя говорить «обязательно»: такая полоса накрывает $p$ примерно в 95 случаях из 100"],"explanations":["Формула дает вероятностную границу, а не абсолютную","Вероятность $p$ и частота $\\hat p$ действительно не обязаны совпадать. Однако Решавр не утверждал их равенство; его ошибка — слово «обязательно» при выводе о попадании в промежуток","С $\\pm\\sigma$ полоса еще уже, и накрывать $p$ она будет реже, а не всегда",""],"answer":[3]}},"hints":["Правило двух сигм дает вероятность около 0,95.","В остальных пробах полоса истинное $p$ не накрывает."],"step":1}]}</textarea></pre></div>