Корреляция и линия регрессии: связь не причина

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"По данным построили линию регрессии $\\hat y=-1{,}2x+15$. Из этого уравнения обязательно следует, что коэффициент корреляции $r$ этих данных [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["равен нулю","отрицателен","равен $-1{,}2$","положителен"],"answer":1}},"instruction":"Выберите верный вариант","hints":["В формулах $a$ и $r$ один и тот же числитель $\\sum(x_i-\\bar x)(y_i-\\bar y)$, а знаменатели положительны.","Значит, $r$ и $a$ одного знака: $a<0$, поэтому $r<0$. По уравнению определяется знак, но не само значение $r$."],"step":1},{"id":"1","content":"По данным построили линию регрессии $\\hat y=0{,}7x+3$. Из этого уравнения обязательно следует, что коэффициент корреляции $r$ этих данных [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["отрицателен","равен нулю","положителен","равен $0{,}7$"],"answer":2}},"instruction":"Выберите верный вариант","hints":["В формулах $a$ и $r$ один и тот же числитель $\\sum(x_i-\\bar x)(y_i-\\bar y)$, а знаменатели положительны.","Значит, $r$ и $a$ одного знака: $a>0$, поэтому $r>0$. По уравнению определяется знак, но не само значение $r$."],"step":1},{"id":"2","content":"Даны пары <table><thead><tr><th>$x$</th><th>5</th><th>6</th><th>8</th><th>9</th></tr></thead><tbody><tr><td>$y$</td><td>11</td><td>9</td><td>12</td><td>8</td></tr></tbody></table> Средние $\\bar x=7$, $\\bar y=10$. Найдите $\\sum(x_i-\\bar x)(y_i-\\bar y)$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"-3"}},"hints":["Отклонения $x$: $-2, -1, 1, 2$; отклонения $y$: $1, -1, 2, -2$.","Произведения: $-2, 1, 2, -4$.","Сумма: -3. Ответ: -3."],"step":1},{"id":"2","content":"Даны пары <table><thead><tr><th>$x$</th><th>3</th><th>4</th><th>5</th><th>8</th></tr></thead><tbody><tr><td>$y$</td><td>8</td><td>3</td><td>5</td><td>4</td></tr></tbody></table> Средние $\\bar x=5$, $\\bar y=5$. Найдите $\\sum(x_i-\\bar x)(y_i-\\bar y)$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"-7"}},"hints":["Отклонения $x$: $-2, -1, 0, 3$; отклонения $y$: $3, -2, 0, -1$.","Произведения: $-6, 2, 0, -3$.","Сумма: -7. Ответ: -7."],"step":1},{"id":"3","content":"Даны пары <table><thead><tr><th>$x$</th><th>3</th><th>4</th><th>5</th><th>8</th></tr></thead><tbody><tr><td>$y$</td><td>8</td><td>3</td><td>5</td><td>4</td></tr></tbody></table> Средние $\\bar x=5$, $\\bar y=5$. Найдите $r$ (десятичная дробь). [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":["-0,5","-0.5"]}},"hints":["$\\sum(x_i-\\bar x)(y_i-\\bar y)=-7$, $\\sum(x_i-\\bar x)^2=14$, $\\sum(y_i-\\bar y)^2=14$.","$r=\\frac{-7}{\\sqrt{14\\cdot14}}=-0{,}5$.","Ответ: -0,5."],"step":1},{"id":"3","content":"Даны пары <table><thead><tr><th>$x$</th><th>1</th><th>3</th><th>7</th><th>9</th></tr></thead><tbody><tr><td>$y$</td><td>8</td><td>6</td><td>5</td><td>9</td></tr></tbody></table> Средние $\\bar x=5$, $\\bar y=7$. Найдите $r$ (десятичная дробь). [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":["0,1","0.1"]}},"hints":["$\\sum(x_i-\\bar x)(y_i-\\bar y)=2$, $\\sum(x_i-\\bar x)^2=40$, $\\sum(y_i-\\bar y)^2=10$.","$r=\\frac{2}{\\sqrt{40\\cdot10}}=0{,}1$.","Ответ: 0,1."],"step":1},{"id":"4","content":"Даны пары <table><thead><tr><th>$x$</th><th>1</th><th>2</th><th>3</th><th>4</th><th>5</th></tr></thead><tbody><tr><td>$y$</td><td>5</td><td>9</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td></tr></tbody></table> Известно: $\\sum(x_i-\\bar x)(y_i-\\bar y)=4$. Найдите наклон $a=\\frac{\\sum(x_i-\\bar x)(y_i-\\bar y)}{\\sum(x_i-\\bar x)^2}$. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":["0,4","0.4"]}},"hints":["Средние: $\\bar x=3$; $\\sum(x_i-\\bar x)^2=10$.","$a=\\frac{4}{10}=0{,}4$.","Ответ: 0,4."],"step":1},{"id":"4","content":"Даны пары <table><thead><tr><th>$x$</th><th>2</th><th>3</th><th>4</th><th>5</th><th>6</th></tr></thead><tbody><tr><td>$y$</td><td>9</td><td>1</td><td>7</td><td>5</td><td>8</td></tr></tbody></table> Известно: $\\sum(x_i-\\bar x)(y_i-\\bar y)=2$. Найдите наклон $a=\\frac{\\sum(x_i-\\bar x)(y_i-\\bar y)}{\\sum(x_i-\\bar x)^2}$. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":["0,2","0.2"]}},"hints":["Средние: $\\bar x=4$; $\\sum(x_i-\\bar x)^2=10$.","$a=\\frac{2}{10}=0{,}2$.","Ответ: 0,2."],"step":1},{"id":"5","content":"Даны пары <table><thead><tr><th>$x$</th><th>1</th><th>2</th><th>3</th><th>4</th><th>5</th></tr></thead><tbody><tr><td>$y$</td><td>3</td><td>4</td><td>6</td><td>7</td><td>10</td></tr></tbody></table> Известно: $\\sum(x_i-\\bar x)(y_i-\\bar y)=17$, $\\sum(x_i-\\bar x)^2=10$. Сопоставьте величину и ее значение для линии регрессии $\\hat y=ax+b$.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$\\bar x$","$\\bar y$","Наклон $a$","Свободный член $b$"],"items":["3","6","1,7","0,9","11,1"]}},"instruction":"Сопоставьте величину и значение","hints":["Сначала найдите центр облака: отдельно сложите $x$ и $y$ и разделите каждую сумму на число пар.","$\\bar x=\\frac{15}{5}=3$, $\\bar y=\\frac{30}{5}=6$.","$a=\\frac{17}{10}=1{,}7$; $b=\\bar y-a\\bar x=6-(1{,}7)\\cdot3=0{,}9$."],"step":1},{"id":"5","content":"Даны пары <table><thead><tr><th>$x$</th><th>2</th><th>3</th><th>4</th><th>5</th><th>6</th></tr></thead><tbody><tr><td>$y$</td><td>9</td><td>8</td><td>6</td><td>5</td><td>2</td></tr></tbody></table> Известно: $\\sum(x_i-\\bar x)(y_i-\\bar y)=-17$, $\\sum(x_i-\\bar x)^2=10$. Сопоставьте величину и ее значение для линии регрессии $\\hat y=ax+b$.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$\\bar x$","$\\bar y$","Наклон $a$","Свободный член $b$"],"items":["4","6","-1,7","12,8","-0,8"]}},"instruction":"Сопоставьте величину и значение","hints":["Сначала найдите центр облака: отдельно сложите $x$ и $y$ и разделите каждую сумму на число пар.","$\\bar x=\\frac{20}{5}=4$, $\\bar y=\\frac{30}{5}=6$.","$a=\\frac{-17}{10}=-1{,}7$; $b=\\bar y-a\\bar x=6-(-1{,}7)\\cdot4=12{,}8$."],"step":1},{"id":"6","content":"Линия регрессии по данным, где $x$ меняется от 4 до 8: $\\hat y=0{,}3x+8{,}2$. Найдите прогноз $\\hat y$ при $x=6$ (десятичная дробь). [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":["10","10"]}},"hints":["Подставим $x=6$.","$0{,}3\\cdot6+8{,}2=10$.","Ответ: 10."],"step":1},{"id":"6","content":"Линия регрессии по данным, где $x$ меняется от 3 до 8: $\\hat y=-0{,}5x+7{,}5$. Найдите прогноз $\\hat y$ при $x=6$ (десятичная дробь). [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":["4,5","4.5"]}},"hints":["Подставим $x=6$.","$-0{,}5\\cdot6+7{,}5=4{,}5$.","Ответ: 4,5."],"step":1},{"id":"7","content":"По данным о продажах воды при температуре от 15 до 25 °C получили $\\hat y=1{,}5x+20$. Решавр предсказал при $-10$ °C: $\\hat y=5$ и дал рекомендацию. В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Ошибка в арифметике: $1{,}5\\cdot(-10)+20\\ne5$","Ошибки нет: линия регрессии лучшая, значит верна при любом $x$","$-10$ °C лежит за диапазоном данных 15–25 °C: прогноз вне данных не проверен","Нужно было считать без свободного члена: при $x=0$ продаж нет"],"explanations":["Подстановка верна: $-15+20=5$; ошибка не в счете, а в выходе за диапазон","Лучшая по данным не значит верная там, где данных нет","","Свободный член нужен линии регрессии; дело в диапазоне данных"],"answer":[2]}},"hints":["Сравните $x$ из прогноза с диапазоном данных.","Линия описывает данные, но не гарантирует поведение вдали от них."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"По данным о нагрузке на станок от 1 до 5 т получили $\\hat y=2{,}5x+10$. Решавр предсказал при нагрузке 100 т: $\\hat y=260$ и ничего не оговорил. В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Нужно было считать без свободного члена: при $x=0$ нагрузки нет","Ошибка в арифметике: $2{,}5\\cdot100+10\\ne260$","Ошибки нет: линия регрессии лучшая, значит верна при любом $x$","100 т лежит за диапазоном данных 1–5 т: прогноз вне данных не проверен"],"explanations":["Свободный член нужен линии регрессии; дело в диапазоне данных","Подстановка верна: $250+10=260$; ошибка не в счете, а в выходе за диапазон","Лучшая по данным не значит верная там, где данных нет",""],"answer":[3]}},"hints":["Сравните $x$ из прогноза с диапазоном данных.","Линия описывает данные, но не гарантирует поведение вдали от них."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"В поселках чем больше магазинов зонтов, тем больше случаев простуды: $r\\approx0{,}7$. Какой вариант — гипотеза об общем факторе, который мог бы влиять на обе величины?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Совпадение: размер поселка тут ни при чем","Размер поселка — возможный общий фактор: в крупных больше и магазинов, и жителей, а значит и простуд","Простуда заставляет открывать магазины зонтов","Зонты вызывают простуду у покупателей"],"explanations":["Совпадение возможно, когда данных мало, но общий фактор — размер поселка — правдоподобная гипотеза, объясняющая обе величины; сами данные ее не доказывают","","Это гипотеза об обратной причине; она не объясняет сразу обе величины, а общий фактор — размер поселка — мог бы влиять на обе","Из корреляции причина не следует"],"answer":[1]}},"hints":["Подумайте о третьей величине, от которой зависят обе.","Корреляция говорит о связи, а не о том, что одна величина вызывает другую."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Чем больше кружек чая выпивает класс за день, тем больше шума в классе: $r\\approx0{,}75$. Какой вариант — гипотеза об общем факторе, который мог бы влиять на обе величины?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Чай вызывает шум: от него дети громче","Число учеников — возможный общий фактор: чем больше людей в классе, тем больше чая и шума","Шум заставляет пить чай: в шумном классе пьют больше","Совпадение: число учеников тут ни при чем"],"explanations":["Из корреляции причина не следует","","Это гипотеза об обратной причине; она не объясняет сразу обе величины, а общий фактор — число учеников — мог бы влиять на обе","Совпадение возможно, когда данных мало, но общий фактор — число учеников — правдоподобная гипотеза, объясняющая обе величины; сами данные ее не доказывают"],"answer":[1]}},"hints":["Подумайте о третьей величине, от которой зависят обе.","Корреляция говорит о связи, а не о том, что одна величина вызывает другую."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Для данных <table><thead><tr><th>$x$</th><th>1</th><th>2</th><th>3</th><th>4</th><th>5</th></tr></thead><tbody><tr><td>$y$</td><td>9</td><td>4</td><td>1</td><td>4</td><td>9</td></tr></tbody></table> вычислили $r=0$. Что это означает?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Величины никак не зависят друг от друга","Линейной связи нет, но $y$ полностью определяется значением $x$","Расчет ошибочен: $r$ не бывает нулевым","Связь сильная и положительная"],"explanations":["Значение $y$ вычисляется по $x$ без неопределенности","","Нулевой $r$ бывает, например для симметричных данных","Положительная сильная связь дала бы $r$ близким к 1"],"answer":[1]}},"hints":["$r$ измеряет только линейную связь.","Здесь $y$ определяется по $x$ точно, но не линейно, поэтому $r=0$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Для данных <table><thead><tr><th>$x$</th><th>-2</th><th>-1</th><th>0</th><th>1</th><th>2</th></tr></thead><tbody><tr><td>$y$</td><td>4</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>4</td></tr></tbody></table> вычислили $r=0$. Что это означает?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Расчет ошибочен: $r$ не бывает нулевым","Связь сильная и положительная","Линейной связи нет, но $y$ полностью определяется значением $x$","Величины никак не зависят друг от друга"],"explanations":["Нулевой $r$ бывает, например для симметричных данных","Положительная сильная связь дала бы $r$ близким к 1","","Значение $y$ вычисляется по $x$ без неопределенности"],"answer":[2]}},"hints":["$r$ измеряет только линейную связь.","Здесь $y$ определяется по $x$ точно, но не линейно, поэтому $r=0$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Решавр нашел, что у лыжников $r=0{,}9$ между числом судей на трассе и числом участников, и заявляет: «Судьи приводят участников, значит, надо вдвое больше судей». В чем ошибка?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Ошибка: вывод надо делать по линии регрессии, а не по $r$","Ошибка: нужен $r>0{,}95$, при $r=0{,}9$ связь еще слаба","Ошибки нет: при $r=0{,}9$ связь сильная, значит причина доказана","Из $r$ нельзя установить причину: числа судей и участников могли бы вместе зависеть от размера соревнования"],"explanations":["Линия регрессии тоже описывает совместное изменение и причину не доказывает","Даже $r=1$ не доказывает причину; $0{,}9$ — уже сильная связь","Сильная связь не доказывает, что одна величина вызывает другую",""],"answer":[3]}},"hints":["Спросите: что еще может влиять на обе величины?","Корреляция показывает совместное изменение, а причину нужно доказывать отдельно."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Решавр нашел, что в библиотеках $r=0{,}85$ между числом читальных мест и числом читателей, и заявляет: «Добавим места — читателей станет вдвое больше». В чем ошибка?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: при $r=0{,}85$ связь сильная, значит причина доказана","Из $r$ нельзя установить причину: оба числа могли бы зависеть от размера района и библиотеки","Ошибка: вывод надо делать по линии регрессии, а не по $r$","Ошибка: нужен $r>0{,}95$, при $r=0{,}85$ связь еще слаба"],"explanations":["Сильная связь не доказывает, что одна величина вызывает другую","","Линия регрессии тоже описывает совместное изменение и причину не доказывает","Даже $r=1$ не доказывает причину; $0{,}85$ — уже сильная связь"],"answer":[1]}},"hints":["Спросите: что еще может влиять на обе величины?","Корреляция показывает совместное изменение, а причину нужно доказывать отдельно."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>