Дисперсия и стандартное отклонение случайной величины

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Величина $X$ — значения 4, 5, 6 с вероятностями $0{,}25;\\ 0{,}5;\\ 0{,}25$; величина $Y$ — значения 0, 5, 10 с вероятностями $0{,}25;\\ 0{,}5;\\ 0{,}25$. У обеих $E=5$. У какой величины дисперсия больше?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["У $X$: значения ближе, значит, больше разброс","Сравнить нельзя без вычисления $\\sigma$","У $Y$: значения дальше от ожидания","Одинакова: ожидания и вероятности равны"],"explanations":["Ближе к $E$ — меньше разброс","Здесь достаточно сравнить отклонения: у $Y$ они больше при одинаковых вероятностях","","От значений зависят отклонения, они разные"],"answer":[2]}},"hints":["При равных ожиданиях и вероятностях разброс определяют отклонения от $E$.","У $X$ отклонения $\\pm1$ и 0 — меньше, чем у $Y$."],"step":1},{"id":"1","content":"Величина $X$ — значения 9, 10, 11 с вероятностями $0{,}25;\\ 0{,}5;\\ 0{,}25$; величина $Y$ — значения 5, 10, 15 с вероятностями $0{,}25;\\ 0{,}5;\\ 0{,}25$. У обеих $E=10$. У какой величины дисперсия больше?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["У $X$: значения ближе, значит, больше разброс","У $Y$: значения дальше от ожидания","Одинакова: ожидания и вероятности равны","Сравнить нельзя без вычисления $\\sigma$"],"explanations":["Ближе к $E$ — меньше разброс","","От значений зависят отклонения, они разные","Здесь достаточно сравнить отклонения: у $Y$ они больше при одинаковых вероятностях"],"answer":[1]}},"hints":["При равных ожиданиях и вероятностях разброс определяют отклонения от $E$.","У $X$ отклонения $\\pm1$ и 0 — меньше, чем у $Y$."],"step":1},{"id":"2","content":"Дисперсия случайной величины $D(X)=36$. Найдите $\\sigma(X)$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["$\\sigma$ измеряется в тех же единицах, что и $X$."]},{"id":"2","content":"Дисперсия случайной величины $D(X)=49$. Найдите $\\sigma(X)$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["$\\sigma$ измеряется в тех же единицах, что и $X$."]},{"id":"3","content":"Распределите числа: какие могут быть дисперсией случайной величины, а какие нет.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Может быть дисперсией","Не может быть дисперсией"],"items":[["0","2,5","16"],["−4","−0,3","−1"]]}},"instruction":"Распределите числа","hints":["Дисперсия — среднее квадратов отклонений, поэтому она неотрицательна."]},{"id":"3","content":"Распределите числа: какие могут быть дисперсией случайной величины, а какие нет.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Может быть дисперсией","Не может быть дисперсией"],"items":[["0,04","9","100"],["−0,5","−12","−25"]]}},"instruction":"Распределите числа","hints":["Дисперсия — среднее квадратов отклонений, поэтому она неотрицательна."]},{"id":"4","content":"Найдите $E(X^2)$ — среднее квадратов значений — для величины с законом.<br><table><thead><tr><th>$x_i$</th><th>$1$</th><th>$2$</th><th>$3$</th></tr></thead><tbody><tr><td>$p_i$</td><td>$0{,}2$</td><td>$0{,}5$</td><td>$0{,}3$</td></tr></tbody></table> [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":["4,9","4.9"]}},"hints":["$E(X^2)=x_1^2p_1+x_2^2p_2+\\dots$: квадрат берут у значения, а не у ожидания.","$E(X^2)=4{,}9$. Ответ: 4,9."],"step":1},{"id":"4","content":"Найдите $E(X^2)$ — среднее квадратов значений — для величины с законом.<br><table><thead><tr><th>$x_i$</th><th>$0$</th><th>$2$</th><th>$4$</th></tr></thead><tbody><tr><td>$p_i$</td><td>$0{,}3$</td><td>$0{,}4$</td><td>$0{,}3$</td></tr></tbody></table> [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":["6,4","6.4"]}},"hints":["$E(X^2)=x_1^2p_1+x_2^2p_2+\\dots$: квадрат берут у значения, а не у ожидания.","$E(X^2)=6{,}4$. Ответ: 6,4."],"step":1},{"id":"5","content":"Найдите $D(X)=\\sum(x_i-E)^2p_i$ для величины с законом.<br><table><thead><tr><th>$x_i$</th><th>$1$</th><th>$3$</th><th>$5$</th></tr></thead><tbody><tr><td>$p_i$</td><td>$0{,}25$</td><td>$0{,}5$</td><td>$0{,}25$</td></tr></tbody></table> [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":["2","2"]}},"hints":["$E(X)=3$.","Отклонения: -2, 0, 2; квадраты умножают на вероятности.","$D=2$. Ответ: 2."],"step":1},{"id":"5","content":"Найдите $D(X)=\\sum(x_i-E)^2p_i$ для величины с законом.<br><table><thead><tr><th>$x_i$</th><th>$2$</th><th>$5$</th><th>$8$</th></tr></thead><tbody><tr><td>$p_i$</td><td>$0{,}2$</td><td>$0{,}6$</td><td>$0{,}2$</td></tr></tbody></table> [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":["3,6","3.6"]}},"hints":["$E(X)=5$.","Отклонения: -3, 0, 3; квадраты умножают на вероятности.","$D=3{,}6$. Ответ: 3,6."],"step":1},{"id":"6","content":"Величина принимает значения 1 и 9 с вероятностью $0{,}5$ каждое. Найдите стандартное отклонение $\\sigma=\\sqrt{D(X)}$. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":["4","4"]}},"hints":["$E=5$, отклонения $\\pm4$.","$D=16$.","$\\sigma=\\sqrt{16}=4$. Ответ: 4."],"step":1},{"id":"6","content":"Величина принимает значения 3 и 13 с вероятностью $0{,}5$ каждое. Найдите стандартное отклонение $\\sigma=\\sqrt{D(X)}$. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":["5","5"]}},"hints":["$E=8$, отклонения $\\pm5$.","$D=25$.","$\\sigma=\\sqrt{25}=5$. Ответ: 5."],"step":1},{"id":"7","content":"Найдите $D(X)=E(X^2)-(E(X))^2$ для величины с законом.<br><table><thead><tr><th>$x_i$</th><th>$1$</th><th>$2$</th><th>$4$</th></tr></thead><tbody><tr><td>$p_i$</td><td>$0{,}3$</td><td>$0{,}5$</td><td>$0{,}2$</td></tr></tbody></table> [[input-9]]","widgets":{"input-9":{"type":"input","answer":["1,09","1.09"]}},"hints":["$E(X)=2{,}1$; $E(X^2)=5{,}5$.","$D=5{,}5-2{,}1^2=5{,}5-4{,}41=1{,}09$.","Ответ: 1,09."],"step":1},{"id":"7","content":"Найдите $D(X)=E(X^2)-(E(X))^2$ для величины с законом.<br><table><thead><tr><th>$x_i$</th><th>$0$</th><th>$2$</th><th>$5$</th></tr></thead><tbody><tr><td>$p_i$</td><td>$0{,}4$</td><td>$0{,}4$</td><td>$0{,}2$</td></tr></tbody></table> [[input-10]]","widgets":{"input-10":{"type":"input","answer":["3,36","3.36"]}},"hints":["$E(X)=1{,}8$; $E(X^2)=6{,}6$.","$D=6{,}6-1{,}8^2=6{,}6-3{,}24=3{,}36$.","Ответ: 3,36."],"step":1},{"id":"8","content":"Величина принимает значения 2 и 14 с вероятностью $0{,}5$ каждое, $D(X)=36$. Решавр записал: «$\\sigma(X)=36$». В чем ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Нужно было взять $E(X)$","Нужно было взять $D^2$","Не извлечен корень: $\\sigma=\\sqrt{D}=6$","Нужно было разделить $D$ на 2"],"explanations":["Ожидание — центр, а не разброс","Квадрат дисперсии — не $\\sigma$, стандартное отклонение — корень","","Деление на число значений не приводит к $\\sigma$"],"answer":[2]}},"hints":["Сопоставьте единицы $D$ и $\\sigma$: что получилось у Решавра?","$\\sigma$ — корень из дисперсии: $\\sigma=\\sqrt{36}=6$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Величина принимает значения 3 и 13 с вероятностью $0{,}5$ каждое, $D(X)=25$. Решавр записал: «$\\sigma(X)=25$». В чем ошибка?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Нужно было взять $E(X)$","Нужно было разделить $D$ на 2","Нужно было взять $D^2$","Не извлечен корень: $\\sigma=\\sqrt{D}=5$"],"explanations":["Ожидание — центр, а не разброс","Деление на число значений не приводит к $\\sigma$","Квадрат дисперсии — не $\\sigma$, стандартное отклонение — корень",""],"answer":[3]}},"hints":["Сопоставьте единицы $D$ и $\\sigma$: что получилось у Решавра?","$\\sigma$ — корень из дисперсии: $\\sigma=\\sqrt{25}=5$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Величина принимает значения 0 и 4 с вероятностями 0,75 и 0,25. Решавр: «$E(X)=1$, значит, $E(X^2)=1$ и $D=E(X^2)-(E(X))^2=0$». В чем ошибка?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Нужно было записать $D=E(X)$","Нужно было вычесть $E(X)$, а не $(E(X))^2$","$E(X^2)$ нашли как $(E(X))^2$: на деле $E(X^2)=4$","Ожидание найдено неверно"],"explanations":["Ожидание — центр, а не разброс; дисперсию считают по другой формуле","В формуле дисперсии вычитают именно квадрат ожидания; ошибка в первом слагаемом","","Ожидание 1 найдено верно"],"answer":[2]}},"hints":["Проверьте, в каком месте Решавр перестал использовать сами значения $X$.","$E(X^2)=(0)^2\\cdot0,75+(4)^2\\cdot0,25=4$; тогда $D=4-1=3$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Величина принимает значения 0 и 10 с вероятностями 0,8 и 0,2. Решавр: «$E(X)=2$, значит, $E(X^2)=4$ и $D=E(X^2)-(E(X))^2=0$». В чем ошибка?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Нужно было вычесть $E(X)$, а не $(E(X))^2$","Ожидание найдено неверно","Нужно было записать $D=E(X)$","$E(X^2)$ нашли как $(E(X))^2$: на деле $E(X^2)=20$"],"explanations":["В формуле дисперсии вычитают именно квадрат ожидания; ошибка в первом слагаемом","Ожидание 2 найдено верно","Ожидание — центр, а не разброс; дисперсию считают по другой формуле",""],"answer":[3]}},"hints":["Проверьте, в каком месте Решавр перестал использовать сами значения $X$.","$E(X^2)=(0)^2\\cdot0,8+(10)^2\\cdot0,2=20$; тогда $D=20-4=16$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Величина принимает значения 4 и $b$ ($b>4$) с вероятностью $0{,}5$ каждое, $D(X)=9$. Найдите $b$. [[input-11]]","widgets":{"input-11":{"type":"input","answer":["10","10"]}},"hints":["Для двух равновероятных значений отклонение от $E$ равно половине разности: $\\frac{b-4}{2}$.","$D=\\left(\\frac{b-4}{2}\\right)^2=9$, откуда $\\frac{b-4}{2}=3$.","$b=4+6=10$. Ответ: 10."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Величина принимает значения 2 и $b$ ($b>2$) с вероятностью $0{,}5$ каждое, $D(X)=25$. Найдите $b$. [[input-12]]","widgets":{"input-12":{"type":"input","answer":["12","12"]}},"hints":["Для двух равновероятных значений отклонение от $E$ равно половине разности: $\\frac{b-2}{2}$.","$D=\\left(\\frac{b-2}{2}\\right)^2=25$, откуда $\\frac{b-2}{2}=5$.","$b=2+10=12$. Ответ: 12."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>