Биномиальное распределение

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Какая из величин НЕ имеет биномиального распределения?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Число бракованных деталей среди 30 независимо выбранных, брак у каждой с вероятностью $0{,}02$","Число орлов при 10 бросках монеты","Число шестерок при 20 бросках кубика","Число красных карт среди 5 карт, вынутых из колоды без возвращения"],"explanations":["Независимость и постоянное $p$ заданы условием","Здесь 10 независимых испытаний с $p=0{,}5$: условия схемы выполнены","Здесь 20 независимых испытаний с $p=\\frac16$: условия выполнены",""],"answer":[3]}},"hints":["Для биномиального закона нужны $n$ независимых испытаний с одним и тем же $p$.","При выборе карт без возвращения вероятность меняется."],"step":1},{"id":"1","content":"Какая из величин НЕ имеет биномиального распределения?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Число орлов при 8 бросках монеты","Число шестерок при 12 бросках кубика","Число попаданий при 8 независимых выстрелах с вероятностью $0{,}6$","Число бросков кубика до первой шестерки"],"explanations":["Заданы $n=8$ и $p=0{,}5$","Число бросков 12 задано, $p=\\frac16$ постоянна","Заданы $n=8$ и $p=0{,}6$, выстрелы независимы",""],"answer":[3]}},"hints":["Число испытаний должно быть фиксировано заранее.","Число бросков до первой шестерки заранее неизвестно."],"step":1},{"id":"2","content":"Вероятность успеха в одном испытании равна $0{,}25$. Проводят 40 независимых испытаний. Найдите математическое ожидание числа успехов. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["10","10"]}},"hints":["$E=np$.","$E=40\\cdot0{,}25=10$. Ответ: 10."],"step":1},{"id":"2","content":"Вероятность успеха в одном испытании равна $0{,}4$. Проводят 35 независимых испытаний. Найдите математическое ожидание числа успехов. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["14","14"]}},"hints":["$E=np$.","$E=35\\cdot0{,}4=14$. Ответ: 14."],"step":1},{"id":"3","content":"Для числа успехов $X\\sim B(20;\\ p)$ известно $D(X)=3{,}2$. Возможные значения $E(X)$: [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["только 16","любые, $p$ не определено","4 или 16","только 4"],"answer":2}},"instruction":"Выберите верный вариант","hints":["Из $D=npq$ найдите произведение $pq=D:n$.","$pq=0{,}16$, поэтому $p=0{,}2$ или $p=0{,}8$ (корни уравнения $p(1-p)=0{,}16$); $E=np$ равно 4 или 16. Вариант «только одно значение» теряет второй корень, а $p$ не может быть любым."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"3","content":"Для числа успехов $X\\sim B(25;\\ p)$ известно $D(X)=4$. Возможные значения $E(X)$: [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["только 5","только 20","5 или 20","любые, $p$ не определено"],"answer":2}},"instruction":"Выберите верный вариант","hints":["Из $D=npq$ найдите произведение $pq=D:n$.","$pq=0{,}16$, поэтому $p=0{,}2$ или $p=0{,}8$ (корни уравнения $p(1-p)=0{,}16$); $E=np$ равно 5 или 20. Вариант «только одно значение» теряет второй корень, а $p$ не может быть любым."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"4","content":"В $n$ независимых испытаниях с одной и той же вероятностью успеха $p$ ожидаемое число успехов втрое больше ожидаемого числа неудач, а $D(X)=6$. Найдите $n$. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"32"}},"hints":["Ожидаемые числа успехов и неудач — $np$ и $nq$. Что отсюда следует для $p$ и $q$?","$p=3q$, значит $p=\\frac{3}{4}$, $q=\\frac1{4}$; $D=npq=n\\cdot\\frac{3}{16}=6$, $n=32$. Ответ: 32."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"4","content":"В $n$ независимых испытаниях с одной и той же вероятностью успеха $p$ ожидаемое число успехов в четыре раза больше ожидаемого числа неудач, а $D(X)=8$. Найдите $n$. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"50"}},"hints":["Ожидаемые числа успехов и неудач — $np$ и $nq$. Что отсюда следует для $p$ и $q$?","$p=4q$, значит $p=\\frac{4}{5}$, $q=\\frac1{5}$; $D=npq=n\\cdot\\frac{4}{25}=8$, $n=50$. Ответ: 50."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"Сопоставьте распределение $B(n;p)$ и его дисперсию.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["B(10; 0,5)","B(20; 0,5)","B(100; 0,1)","B(50; 0,2)"],"items":["2,5","5","9","8"]}},"instruction":"Сопоставьте","hints":["$D=npq$ для каждой пары."]},{"id":"5","content":"Сопоставьте распределение $B(n;p)$ и его дисперсию.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["B(100; 0,5)","B(20; 0,2)","B(40; 0,25)","B(50; 0,1)"],"items":["25","3,2","7,5","4,5"]}},"instruction":"Сопоставьте","hints":["$D=npq$ для каждой пары."]},{"id":"6","content":"Вероятность успеха в одном испытании равна $0{,}2$. Проводят 100 независимых испытаний. Найдите стандартное отклонение числа успехов. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":["4","4"]}},"hints":["$D=npq$, $\\sigma=\\sqrt{D}$.","$D=16$, $\\sigma=4$. Ответ: 4."],"step":1},{"id":"6","content":"Вероятность успеха в одном испытании равна $0{,}25$. Проводят 300 независимых испытаний. Найдите стандартное отклонение числа успехов. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":["7,5","7.5"]}},"hints":["$D=npq$, $\\sigma=\\sqrt{D}$.","$D=56{,}25$, $\\sigma=7{,}5$. Ответ: 7,5."],"step":1},{"id":"7","content":"Вероятность успеха в одном испытании равна $0{,}1$. Проводят 3 независимых испытаний. Найдите вероятность ровно 1 успеха. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":["0,243","0.243"]}},"hints":["$P=C_3^1p^1q^2$, $q=0{,}9$.","$P=3\\cdot0{,}1\\cdot0{,}81=0{,}243$. Ответ: 0,243."],"step":1},{"id":"7","content":"Вероятность успеха в одном испытании равна $0{,}3$. Проводят 3 независимых испытаний. Найдите вероятность ровно 2 успехов. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":["0,189","0.189"]}},"hints":["$P=C_3^2p^2q^1$, $q=0{,}7$.","$P=3\\cdot0{,}09\\cdot0{,}7=0{,}189$. Ответ: 0,189."],"step":1},{"id":"8","content":"Для числа успехов при $n=70$ и $p=0{,}2$ Решавр записал $D(X)=np=14$. В чем ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Вместо дисперсии найдено стандартное отклонение","Пропущен множитель $q=1-p$","Взято неверное число испытаний","Неверно выполнено умножение"],"explanations":["Стандартное отклонение — это $\\sqrt{npq}$, а Решавр записал $np=14$","","Число испытаний $n=70$ задано условием","Умножение выполнено верно: $np=14$; ошибка в самой формуле"],"answer":[1]}},"hints":["Дисперсия индикатора равна $pq$, а не $p$.","Верно: $D=npq=70\\cdot0{,}2\\cdot0{,}8=11{,}2$."],"step":1},{"id":"8","content":"Для числа успехов при $n=80$ и $p=0{,}25$ Решавр записал $D(X)=np=20$. В чем ошибка?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Неверно выполнено умножение","Пропущен множитель $q=1-p$","Вместо дисперсии найдено стандартное отклонение","Взято неверное число испытаний"],"explanations":["Умножение выполнено верно: $np=20$; ошибка в самой формуле","","Стандартное отклонение — это $\\sqrt{npq}$, а Решавр записал $np=20$","Число испытаний $n=80$ задано условием"],"answer":[1]}},"hints":["Дисперсия индикатора равна $pq$, а не $p$.","Верно: $D=npq=80\\cdot0{,}25\\cdot0{,}75=15$."],"step":1},{"id":"9","content":"Каждая из 40 деталей независимо от других бракованная с вероятностью $0{,}1$, $X$ — число бракованных деталей. Решавр записал $E(X)=40\\cdot0{,}9=36$. В чем ошибка?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Неверно выполнено умножение","Взято неверное число испытаний","Взята вероятность неудачи","Вместо ожидания найдена дисперсия"],"explanations":["Умножение верное: $40\\cdot0{,}9=36$; ошибка в выборе $p$","Число деталей $n=40$ задано условием","","Дисперсия содержала бы множители $0{,}1$ и $0{,}9$, а Решавр умножал только на $0{,}9$"],"answer":[2]}},"hints":["Какое событие здесь считается успехом?","Успех — бракованная деталь, $p=0{,}1$, а не $0{,}9$; верно $E=40\\cdot0{,}1=4$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Вероятность попадания в мишень $0{,}3$, стреляют 20 раз, $X$ — число попаданий. Решавр записал $E(X)=20\\cdot0{,}7=14$. В чем ошибка?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Вместо ожидания найдена дисперсия","Взята вероятность неудачи","Взято неверное число испытаний","Неверно выполнено умножение"],"explanations":["Дисперсия содержала бы множители $0{,}3$ и $0{,}7$, а Решавр умножал только на $0{,}7$","","Число выстрелов $n=20$ задано условием","Умножение верное: $20\\cdot0{,}7=14$; ошибка в выборе $p$"],"answer":[1]}},"hints":["Какое событие здесь считается успехом?","Успех — попадание, $p=0{,}3$, а не $0{,}7$; верно $E=20\\cdot0{,}3=6$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Число успехов $X$ в $n$ независимых испытаниях с одной и той же вероятностью успеха $p$ имеет $E(X)=20$ и $D(X)=12$. Найдите вероятность успеха в одном испытании и число испытаний; в ответ запишите $n$. [[input-9]]","widgets":{"input-9":{"type":"input","answer":"50"}},"hints":["$D:E=\\frac{npq}{np}=q=0{,}6$, значит $p=1-q=0{,}4$.","$n=E:p=20:0{,}4=50$. Ответ: 50."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Число успехов $X$ в $n$ независимых испытаниях с одной и той же вероятностью успеха $p$ имеет $E(X)=24$ и $D(X)=19{,}2$. Найдите вероятность успеха в одном испытании и число испытаний; в ответ запишите $n$. [[input-10]]","widgets":{"input-10":{"type":"input","answer":"120"}},"hints":["$D:E=\\frac{npq}{np}=q=0{,}8$, значит $p=1-q=0{,}2$.","$n=E:p=24:0{,}2=120$. Ответ: 120."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>