Карточки
Тесты
Зави
Условная вероятность
В уроке про операции над событиями мы складывали и пересекали события на поле исходов. Сегодня узнаем, как меняется вероятность события, когда уже известно, что произошло другое событие. Это условная вероятность: научимся находить ее по полю, по формуле, по таблице и по дереву и разберем ошибку, которую делают очень часто.
Что меняет известие о погоде
Начнем с вопроса, на который ответим в конце урока. Пол каждого ребенка равновероятен: мальчик или девочка, и пол одного ребенка не влияет на пол другого. Из всех семей с двумя детьми, где есть хотя бы один мальчик, наугад выбирают одну. Какова вероятность, что оба ребенка — мальчики? Многие сразу отвечают «$\frac{1}{2}$». Запомните свой ответ.
Теперь пример попроще. Метеостанция вела наблюдения 100 дней. Каждый день — одна клетка поля. Событие $A$ — «днем шел дождь»: таких дней 22. Событие $B$ — «утром было облачно»: таких дней 30. В 15 днях было и то и другое.
Выберем день наугад. Вероятность дождя — доля клеток $A$ на всем поле: $P(A)=\frac{22}{100}=0{,}22$.
А теперь известно больше: утром этого дня было облачно. Дни без облаков нас больше не интересуют — выбранный день точно среди 30 облачных. Поле сужается до 30 клеток $B$. Дождливых среди них 15, поэтому вероятность дождя стала $\frac{15}{30}=0{,}5$.
В исходных наблюдениях по-прежнему 22 дождливых дня. После отбора по $B$ учитываем только 15 дождливых из 30 облачных. Оставить 22 из 100 — значит не учесть то, что уже известно: нужны только 15 дождливых дней из 30 облачных.
Доля внутри нового поля
Запишем то же вычисление через вероятности всего поля. Разделим числитель и знаменатель на 100:
$$\frac{15}{30}=\frac{15:100}{30:100}=\frac{0{,}15}{0{,}3}=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$
В числителе — вероятность того, что произошли оба события: это часть нового поля, где есть и $A$. В знаменателе — вероятность условия: это размер нового поля.
Определение
Условная вероятность события $A$ при условии $B$ — это доля события $A$ внутри события $B$. Обозначение: $P(A\mid B)$, читается «вероятность $A$ при условии $B$». Если $P(B)\gt 0$, то
$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$
После черты стоит то, что уже известно, — новое поле. Делим всегда на вероятность условия.
Почему $P(B)\gt 0$? Если событие $B$ невозможно, то нового поля нет: в нем нет ни одного исхода, и долю в нем найти нельзя. Деление на ноль здесь — не случайность формулы, а отражение смысла.
Два крайних случая видны сразу. Если $B$ целиком лежит внутри $A$ ($B\subset A$), то все новое поле занято $A$ и $P(A\mid B)=1$. Если $A$ и $B$ не пересекаются, то в новом поле нет ни одной клетки $A$ и $P(A\mid B)=0$.
Пример 1
Покупатель магазина приходит с картой постоянного покупателя с вероятностью $0{,}6$ (событие $B$). С вероятностью $0{,}21$ он приходит с картой и покупает хлеб (событие $A\cap B$). Найдите вероятность того, что покупатель с картой купит хлеб.
Решение. Известно, что покупатель пришел с картой: поле сужается до $B$. Искомая величина — $P(A\mid B)$.
$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{0{,}21}{0{,}6}=0{,}35$$
Проверка смысла. Ответ меньше 1 и больше $P(A\cap B)$: поле сузилось, доля выросла. Ответ: $0{,}35$.
Попробуйте сами: выберите условие $B$ на поле и посмотрите, как меняется доля $A$ в новом поле.
В таблице берем только нужный столбец
Часто данные дают таблицей: строки — одно событие, столбцы — другое. Такая таблица — то же поле, только клетки в ней сгруппированы по четырем частям. Сужение поля в таблице выглядит очень просто: оставляем один столбец или одну строку.
| $B$: занимается спортом | $\overline{B}$: не занимается | Всего | |
|---|---|---|---|
| $A$: занимается музыкой | 24 | 16 | 40 |
| $\overline{A}$: не занимается | 56 | 104 | 160 |
| Всего | 80 | 120 | 200 |
Пример 2
В таблице — 200 учеников школы. Выбрали наугад ученика, который занимается спортом. Найдите вероятность того, что он занимается и музыкой.
Решение. Известно, что ученик занимается спортом: поле сужается до столбца $B$, в нем $24+56=80$ учеников. Музыкой из них занимаются 24.
$$P(A\mid B)=\frac{24}{80}=0{,}3$$
Через формулу получится то же: $P(A\cap B)=\frac{24}{200}=0{,}12$, $P(B)=\frac{80}{200}=0{,}4$, $\frac{0{,}12}{0{,}4}=0{,}3$. Ответ: $0{,}3$.
Обратите внимание
В задаче может не быть слов «при условии». Фразы «выбрали из тех, кто…», «известно, что…», «среди…» тоже сужают поле. Сначала найдите в тексте, что уже известно, — это и есть условие.
Ветка дерева — тоже условная вероятность
Вернемся к метеостанции и нарисуем дерево. Первая развилка — утро: облачно ($B$) с вероятностью $0{,}3$ или нет ($\overline{B}$) с вероятностью $0{,}7$. Вторая развилка — дождь днем.
Какое число написать на ветке «дождь» после облачного утра? Мы уже стоим в узле $B$: поле сужено до 30 облачных дней. Значит, на ветке стоит $P(A\mid B)=0{,}5$. После ясного утра поле — 70 дней, дождь в 7 из них: на ветке $P(A\mid\overline{B})=\frac{7}{70}=0{,}1$.
Вероятность пути «облачно, затем дождь» — это доля от доли: $0{,}3\cdot 0{,}5=0{,}15$. Это ровно $P(A\cap B)$ — число $0{,}15$ из формулы выше. Подробно умножение вероятностей разберем в следующем уроке.
Правило
Вероятность пути равна вероятности первой ветки, умноженной на условную вероятность второй:
$$P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A\mid B)$$
Если $P(A\mid B)\gt 0$, то $P(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A\mid B)}$. А при $P(B)\gt 0$ из равенства получается $P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$.
Пример 3
На дереве первая ветка «$B$» имеет вероятность $0{,}25$, а путь «$B$, затем $A$» — вероятность $0{,}2$. Какое число стоит на ветке «$A$ после $B$»?
Решение. На ветке после узла $B$ стоит условная вероятность $P(A\mid B)$. Вероятность пути — произведение веток: $0{,}25\cdot x=0{,}2$.
$$x=\frac{0{,}2}{0{,}25}=0{,}8$$
Проверка: $0{,}25\cdot 0{,}8=0{,}2$. Ответ: $0{,}8$.
Условие и событие нельзя менять местами
В записях $P(A\mid B)$ и $P(B\mid A)$ одни и те же буквы, и общая часть $A\cap B$ у них одна. Но поля разные. В $P(A\mid B)$ поле сужено до $B$, в $P(B\mid A)$ — до $A$. Одна и та же общая часть делится на поля, размеры которых могут различаться.
Ошибка
Решавр рассуждает о метеостанции: «Из 22 дождливых дней облачное утро было в 15. Значит, если утро облачное, то дождь будет с вероятностью $\frac{15}{22}\approx 0{,}68$».
Проверим на числах. Облачных дней 30, дождь был в 15 из них: $P(A\mid B)=\frac{15}{30}=0{,}5$. А Решавр нашел $\frac{15}{22}$ — долю облачных утр среди дождливых дней, то есть $P(B\mid A)$.
Где сломалось. Он разделил на размер поля $A$, хотя известно $B$. Новое поле задает то, что уже произошло: делить нужно на вероятность условия.
В таблице спорта и музыки то же самое: среди спортсменов музыкой занимаются $\frac{24}{80}=0{,}3$, а среди музыкантов спортом — $\frac{24}{40}=0{,}6$. Числа различаются в два раза, потому что столбец $B$ вдвое больше строки $A$.
«Почти все больные кашляют» не значит «почти все кашляющие больны». Рассмотрим учебные данные: среди 100 больных гриппом 80 кашляют, а всего кашляющих в группе 200. Тогда доля кашляющих среди больных равна $\frac{80}{100}=0{,}8$, а доля больных среди кашляющих — $\frac{80}{200}=0{,}4$. Без численностей сравнить эти доли нельзя.
Ответ на вопрос о двух детях
Будем считать, что мальчик и девочка рождаются равновероятно и пол второго ребенка не зависит от пола первого. Тогда у двух детей (старший, младший) четыре равновозможных исхода: ММ, МД, ДМ, ДД.
Условие «хотя бы один — мальчик» сужает поле: исход ДД вычеркиваем. Остаются три исхода — ММ, МД, ДМ. Оба мальчика — только в одном из них.
$$P(\text{ММ}\mid\text{хотя бы один М})=\frac{1}{3}$$
В нашем опыте семью выбирают среди семей, где есть хотя бы один мальчик: исходы МД и ДМ оба остаются в поле. Ответ $\frac{1}{2}$ верен для другого опыта: в случайно выбранной семье с двумя детьми случайно выбирают одного ребенка, и он оказывается мальчиком. Среди четырех равновозможных вариантов такого наблюдения два относятся к семье ММ, по одному — к МД и ДМ; вероятность двух мальчиков равна $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$. Способ получения известия меняет поле исходов.
Интересный факт: откуда задача
Скрыть
Задачу о двух детях опубликовал Мартин Гарднер в 1959 году в рубрике «Математические игры» журнала Scientific American. Позже он сам отметил, что ответ зависит от того, как получено известие. Если в случайно выбранной семье с двумя детьми случайно выбрать одного ребенка и он окажется мальчиком, то в принятой модели вероятность того, что и второй — мальчик, равна $\frac{1}{2}$. Условие меняет поле по-разному — поэтому важно точно прочитать, что известно.
Вывод
Условная вероятность отвечает на вопрос «как изменится шанс события, если что-то уже известно». Главное — представить поле, которое сужается: известие о $B$ оставляет только область $B$, а $P(A\mid B)$ — доля $A$ в ней. Зачем это нужно: так считают шанс по новым сведениям — например, вероятность события после результата анализа или вторым шагом на дереве, — и не путают его с вероятностью без этих сведений.
Часто задаваемые вопросы
Нет. В примере с метеостанцией облачное утро повышает шанс дождя: $0{,}5$ против $0{,}22$. А ясное утро понижает: $P(A\mid\overline{B})=0{,}1$. Бывает и так, что условие долю не меняет, — такие события называют независимыми, о них отдельный урок.
Обе величины говорят об общей части $A$ и $B$, но считаются в разных полях. $P(A\cap B)$ — доля общей части на всем поле, а $P(A\mid B)$ — доля в поле $B$. Поэтому $P(A\mid B)\ge P(A\cap B)$: поле меньше, доля больше или такая же.
Клетки помогают, когда исходы равновозможны и их можно перечислить. Часто в задаче даны только вероятности, например $0{,}6$ и $0{,}21$. Перечислять исходы необязательно: формула работает и без клеточной схемы — делим вероятность общей части на вероятность условия, $0{,}21:0{,}6=0{,}35$. Для этих чисел можно и нарисовать 100 равных клеток.
Ищите в тексте то, что уже известно: «известно, что…», «выбрали из тех, кто…», «среди…», «если…». Это условие. Оно стоит после черты в записи $P(A\mid B)$, и на его вероятность делят.
5
5
1
5