Тест: 10.3.2

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"[[image-1]]В таблице — число людей: $A$ — «ученик ходит на английский», $B$ — «ученик ходит на немецкий». Случайно выбранный человек относится к группе $B$. Найдите вероятность того, что он относится к группе $A$. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/w2twxelyzpy4.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":["0,3","0.3"]}},"hints":["Условие сужает поле до столбца $B$: в нем $18+42=60$ человек.","Из них к $A$ относятся 18 человек.","$P(A\\mid B)=\\frac{18}{60}=0{,}3$. Ответ: 0,3."],"step":1},{"id":"1","content":"[[image-2]]В таблице — число людей: $A$ — «сотрудник владеет Excel», $B$ — «сотрудник владеет SQL». Случайно выбранный человек относится к группе $B$. Найдите вероятность того, что он относится к группе $A$. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/8ueu62ckpj1c.svg"},"input-2":{"type":"input","answer":["0,6","0.6"]}},"hints":["Условие сужает поле до столбца $B$: в нем $24+16=40$ человек.","Из них к $A$ относятся 24 человека.","$P(A\\mid B)=\\frac{24}{40}=0{,}6$. Ответ: 0,6."],"step":1},{"id":"2","content":"Событие $A$ — «посетитель музея купил сувенир», событие $B$ — «посетитель музея был на экскурсии». Известно: $P(B)=0{,}4$, $P(A\\cap B)=0{,}3$. Найдите $P(A\\mid B)$. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":["0,75","0.75"]}},"hints":["Условная вероятность — доля пересечения внутри события-условия $B$.","$P(A\\mid B)=\\frac{P(A\\cap B)}{P(B)}=\\frac{0{,}3}{0{,}4}$.","Ответ: 0,75."],"step":1},{"id":"2","content":"Событие $A$ — «студент сдал зачет по физике», событие $B$ — «студент сдал зачет по математике». Известно: $P(B)=0{,}6$, $P(A\\cap B)=0{,}15$. Найдите $P(A\\mid B)$. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":["0,25","0.25"]}},"hints":["Условная вероятность — доля пересечения внутри события-условия $B$.","$P(A\\mid B)=\\frac{P(A\\cap B)}{P(B)}=\\frac{0{,}15}{0{,}6}$.","Ответ: 0,25."],"step":1},{"id":"3","content":"Событие $B$ — «школьник участвует в турнире», событие $A$ — «школьник выбрал шахматы». Известно: $P(B)=0{,}4$, $P(A\\mid B)=0{,}3$. Найдите $P(A\\cap B)$. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":["0,12","0.12"]}},"hints":["Из определения $P(A\\mid B)=\\frac{P(A\\cap B)}{P(B)}$ выразите пересечение: оно равно условной вероятности, умноженной на $P(B)$.","$P(A\\cap B)=P(A\\mid B)\\cdot P(B)=0{,}3\\cdot 0{,}4$.","Ответ: 0,12."],"step":1},{"id":"3","content":"Событие $B$ — «в классе выбрана девочка», событие $A$ — «выбранный ученик занимается танцами». Известно: $P(B)=0{,}5$, $P(A\\mid B)=0{,}6$. Найдите $P(A\\cap B)$. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":["0,3","0.3"]}},"hints":["Из определения $P(A\\mid B)=\\frac{P(A\\cap B)}{P(B)}$ выразите пересечение: оно равно условной вероятности, умноженной на $P(B)$.","$P(A\\cap B)=P(A\\mid B)\\cdot P(B)=0{,}6\\cdot 0{,}5$.","Ответ: 0,3."],"step":1},{"id":"4","content":"Бросают игральный кубик. Для каждой пары событий $A$ и $B$ определите, чему равна $P(A\\mid B)$.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Равна 1","Равна 0"],"items":[["A — число больше 2; B — число больше 4","A — число четное; B — число 2 или 4"],["A — число четное; B — число 1 или 5","A — число больше 4; B — число меньше 3"]]}},"instruction":"Распределите пары по группам","hints":["Выпишите исходы $B$ и посмотрите, сколько из них лежит в $A$: все или ни одного.","Пары «число больше 2 / число больше 4» и «четное / число 2 или 4»: все исходы $B$ лежат в $A$. В остальных парах общих исходов нет.","Ответ: равна 1 — первая и вторая пары; равна 0 — третья и четвертая."],"step":1},{"id":"4","content":"Бросают игральный кубик. Для каждой пары событий $A$ и $B$ определите, чему равна $P(A\\mid B)$.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Равна 1","Равна 0"],"items":[["A — число меньше 5; B — число 1 или 2","A — число нечетное; B — число 3 или 5"],["A — число делится на 3; B — число 1 или 4","A — число больше 3; B — число меньше 3"]]}},"instruction":"Распределите пары по группам","hints":["Выпишите исходы $B$ и посмотрите, сколько из них лежит в $A$: все или ни одного.","Пары «меньше 5 / 1 или 2» и «нечетное / 3 или 5»: $B\\subset A$. В остальных парах общих исходов нет: {3, 6} и {1, 4}; {4, 5, 6} и {1, 2}.","Ответ: равна 1 — первая и вторая пары; равна 0 — третья и четвертая."],"step":1},{"id":"5","content":"Бросают игральный кубик. Событие $A$ — «выпало число не меньше 2», событие $B$ — «выпало число 5 или 6». Чему равна $P(A\\mid B)$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$P(B)=\\frac{1}{3}$","$P(A)=\\frac{5}{6}$","$1$","$0$"],"explanations":["Это вероятность условия $B$, а не доля $A$ внутри $B$","Это вероятность $A$ без условия; после сужения поля до $B$ доля меняется","","При условии $B$ событие $A$ происходит всегда: доля равна 1, а не 0"],"answer":[2]}},"hints":["Событию $A$ благоприятны числа 2, 3, 4, 5, 6, событию $B$ — числа 5, 6.","Условие $B$ сужает поле до чисел 5, 6. Посмотрим, сколько из них лежат в $A$: 2 из 2.","Ответ: $1$."],"step":1},{"id":"5","content":"Бросают игральный кубик. Событие $A$ — «выпала шестерка», событие $B$ — «выпало нечетное число». Чему равна $P(A\\mid B)$?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$0$","$1$","$P(B)=\\frac{1}{2}$","$P(A)=\\frac{1}{6}$"],"explanations":["","В поле $B$ есть исходы, не входящие в $A$, поэтому не все исходы $B$ благоприятны: доля не равна 1","Это вероятность условия $B$, а не доля $A$ внутри $B$","Это вероятность $A$ без условия; после сужения поля до $B$ доля меняется"],"answer":[0]}},"hints":["Событию $A$ благоприятны числа 6, событию $B$ — числа 1, 3, 5.","Условие $B$ сужает поле до чисел 1, 3, 5. Посмотрим, сколько из них лежат в $A$: 0 из 3.","Ответ: $0$."],"step":1},{"id":"6","content":"Событие $A$ — «сотрудник сдал отчет», событие $B$ — «сотрудник работает удаленно». Сопоставьте фразу и запись.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Доля сдавших отчет среди работающих удаленно","Доля работающих удаленно среди сдавших отчет","Сдал отчет и работает удаленно","Сдал отчет (без условий)"],"items":["$P(A\\mid B)$","$P(B\\mid A)$","$P(A\\cap B)$","$P(A)$","$P(B)$"]}},"instruction":"Сопоставьте фразы и записи","hints":["После слов «среди» или «при условии» стоит событие-условие, на него делят.","Среди удаленных, сдавших отчет — $P(A\\mid B)$; среди сдавших, работающих удаленно — $P(B\\mid A)$.","Ответ: $P(A\\mid B)$, $P(B\\mid A)$, $P(A\\cap B)$, $P(A)$ — по порядку фраз."],"step":1},{"id":"6","content":"Событие $A$ — «посылка доставлена в срок», событие $B$ — «посылка отправлена почтой». Сопоставьте фразу и запись.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["Доля отправленных почтой среди доставленных в срок","Доставлена в срок и отправлена почтой","Доля доставленных в срок среди отправленных почтой","Отправлена почтой (без условий)"],"items":["$P(B\\mid A)$","$P(A\\cap B)$","$P(A\\mid B)$","$P(B)$","$P(A)$"]}},"instruction":"Сопоставьте фразы и записи","hints":["После слов «среди» или «при условии» стоит событие-условие, на него делят.","Среди отправленных почтой, доставленных в срок — $P(A\\mid B)$; среди доставленных в срок, отправленных почтой — $P(B\\mid A)$.","Ответ: $P(B\\mid A)$, $P(A\\cap B)$, $P(A\\mid B)$, $P(B)$ — по порядку фраз."],"step":1},{"id":"7","content":"Событие $A$ — «в посылке есть книга», событие $B$ — «посылка пришла из другого города». Известно: $P(A\\mid B)=0{,}8$, $P(A\\cap B)=0{,}2$. Найдите $P(B)$. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":["0,25","0.25"]}},"hints":["Запишите определение: $P(A\\mid B)=\\frac{P(A\\cap B)}{P(B)}$ и выразите $P(B)$.","$P(B)=\\frac{P(A\\cap B)}{P(A\\mid B)}=\\frac{0{,}2}{0{,}8}$.","Ответ: 0,25."],"step":1},{"id":"7","content":"Событие $A$ — «выбранный человек сдал зачет», событие $B$ — «выбранный человек посещал лекции». Известно: $P(A\\mid B)=0{,}6$, $P(A\\cap B)=0{,}24$. Найдите $P(B)$. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":["0,4","0.4"]}},"hints":["Запишите определение: $P(A\\mid B)=\\frac{P(A\\cap B)}{P(B)}$ и выразите $P(B)$.","$P(B)=\\frac{P(A\\cap B)}{P(A\\mid B)}=\\frac{0{,}24}{0{,}6}$.","Ответ: 0,4."],"step":1},{"id":"8","content":"Опросили 120 человек. Событие $A$ — «посетитель кафе заказал чай», событие $B$ — «посетитель кафе заказал десерт». Событие $A$ наступило у 30 человек, событие $B$ — у 60, оба события — у 20. Решавр хочет узнать долю $A$ среди тех, у кого наступило $B$, и считает: «$20:30=\\frac{2}{3}$». Как исправить?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Надо вычесть: $30-20$","Делить надо на число людей в $B$: $20:60$","Ошибки нет: $20:30$ верно","Делить надо на всех опрошенных: $20:120$"],"explanations":["Разность считает людей «$A$, но не $B$», а не долю","","Так найдена доля $B$ среди $A$; по условию поле — группа $B$ (60 человек)","Деление на всех опрошенных дает долю пересечения во всем поле, а не долю $A$ среди $B$"],"answer":[1]}},"hints":["Определите, в какой группе нужно искать долю: она задана словами «среди тех, у кого наступило $B$».","Поле сужается до группы $B$, в ней 60 человек, из них 20 относятся и к $A$.","$20:60=\\frac{1}{3}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Опросили 150 человек. Событие $A$ — «в наборе есть синяя ручка», событие $B$ — «в наборе есть черная ручка». Событие $A$ наступило у 40 человек, событие $B$ — у 100, оба события — у 30. Решавр хочет узнать долю $A$ среди тех, у кого наступило $B$, и считает: «$30:40=0{,}75$». Как исправить?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Делить надо на число людей в $B$: $30:100$","Надо вычесть: $40-30$","Ошибки нет: $30:40$ верно","Делить надо на всех опрошенных: $30:150$"],"explanations":["","Разность считает людей «$A$, но не $B$», а не долю","Так найдена доля $B$ среди $A$; по условию поле — группа $B$ (100 человек)","Деление на всех опрошенных дает долю пересечения во всем поле, а не долю $A$ среди $B$"],"answer":[0]}},"hints":["Определите, в какой группе нужно искать долю: она задана словами «среди тех, у кого наступило $B$».","Поле сужается до группы $B$, в ней 100 человек, из них 30 относятся и к $A$.","$30:100=0{,}3$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Бросают два игральных кубика. Известно, что сумма выпавших очков равна 8. Найдите вероятность того, что на первом кубике выпало не меньше 5 очков. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-9]]","widgets":{"input-9":{"type":"input","answer":["0,4","0.4"]}},"hints":["Условие «сумма равна 8» сужает поле 36 пар до пар с этой суммой: 5 пар.","Выпишем их: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2).","Среди них 2 пары, где на первом кубике не меньше 5: (5; 3), (6; 2). $P=2:5=0{,}4$. Ответ: 0,4."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Бросают два игральных кубика. Известно, что сумма выпавших очков равна 9. Найдите вероятность того, что на первом кубике выпало не меньше 5 очков. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-10]]","widgets":{"input-10":{"type":"input","answer":["0,5","0.5"]}},"hints":["Условие «сумма равна 9» сужает поле 36 пар до пар с этой суммой: 4 пары.","Выпишем их: (3; 6), (4; 5), (5; 4), (6; 3).","Среди них 2 пары, где на первом кубике не меньше 5: (5; 4), (6; 3). $P=2:4=0{,}5$. Ответ: 0,5."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Событие $A$ — «завтра будет гроза», событие $B$ — «завтра будет жарко»: $P(A)=0{,}4$, $P(B)=0{,}5$. При каких значениях $P(A\\cap B)$ известие о наступлении $B$ повышает шанс $A$?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$0\\leqslant P(A\\cap B)\\lt 0{,}2$","$0{,}2\\lt P(A\\cap B)\\leqslant 0{,}4$","$0{,}2\\leqslant P(A\\cap B)\\leqslant 0{,}4$","$0{,}4\\lt P(A\\cap B)\\leqslant 0{,}5$"],"explanations":["Так шанс $A$ уменьшается: доля $A$ в поле $B$ меньше $P(A)$","","При $P(A\\cap B)=0{,}2$ доля равна $P(A)$: шанс не меняется, а не растет","Пересечение не может быть больше $P(A)$, поэтому такого случая нет"],"answer":[1]}},"hints":["Условие «шанс $A$ повысился» значит $P(A\\mid B)\\gt P(A)$. Запишите $P(A\\mid B)$ через пересечение.","$\\frac{P(A\\cap B)}{0{,}5}\\gt 0{,}4$, откуда $P(A\\cap B)\\gt 0{,}2$. Но пересечение не больше $P(A)$.","Ответ: $0{,}2\\lt P(A\\cap B)\\leqslant 0{,}4$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Событие $A$ — «житель города пользуется самокатом», событие $B$ — «житель города ездит на велосипеде»: $P(A)=0{,}3$, $P(B)=0{,}6$. При каких значениях $P(A\\cap B)$ известие о наступлении $B$ повышает шанс $A$?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["$0{,}18\\lt P(A\\cap B)\\leqslant 0{,}3$","$0{,}18\\leqslant P(A\\cap B)\\leqslant 0{,}3$","$0{,}3\\lt P(A\\cap B)\\leqslant 0{,}6$","$0\\leqslant P(A\\cap B)\\lt 0{,}18$"],"explanations":["","При $P(A\\cap B)=0{,}18$ доля равна $P(A)$: шанс не меняется, а не растет","Пересечение не может быть больше $P(A)$, поэтому такого случая нет","Так шанс $A$ уменьшается: доля $A$ в поле $B$ меньше $P(A)$"],"answer":[0]}},"hints":["Условие «шанс $A$ повысился» значит $P(A\\mid B)\\gt P(A)$. Запишите $P(A\\mid B)$ через пересечение.","$\\frac{P(A\\cap B)}{0{,}6}\\gt 0{,}3$, откуда $P(A\\cap B)\\gt 0{,}18$. Но пересечение не больше $P(A)$.","Ответ: $0{,}18\\lt P(A\\cap B)\\leqslant 0{,}3$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>