Тест: 10.4.2

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Вероятность успеха в одном испытании равна $0{,}3$, испытаний 5. Найдите вероятность того, что успехов будет ровно 2. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["0,3087","0.3087"]}},"hints":["Серия из $n = 5$ независимых испытаний с постоянной вероятностью успеха $p = 0{,}3$, $q = 0{,}7$; нужно, чтобы число успехов равнялось $k = 2$.","Число путей с $k$ успехами: $C_{5}^{2} = 10$; каждый путь весит $0{,}3^{2} \\cdot 0{,}7^{3}$.","$P_{5}(2) = C_{5}^{2} \\cdot 0{,}3^{2} \\cdot 0{,}7^{3} = 0{,}3087$."],"step":1},{"id":"1","content":"Вероятность успеха в одном испытании равна $0{,}6$, испытаний 4. Найдите вероятность того, что успехов будет ровно 1. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["0,1536","0.1536"]}},"hints":["Серия из $n = 4$ независимых испытаний с постоянной вероятностью успеха $p = 0{,}6$, $q = 0{,}4$; нужно, чтобы число успехов равнялось $k = 1$.","Число путей с $k$ успехами: $C_{4}^{1} = 4$; каждый путь весит $0{,}6 \\cdot 0{,}4^{3}$.","$P_{4}(1) = C_{4}^{1} \\cdot 0{,}6 \\cdot 0{,}4^{3} = 0{,}1536$."],"step":1},{"id":"2","content":"Вероятность успеха в одном испытании равна $0{,}2$, испытаний 13. Найдите наиболее вероятное число успехов. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["Наиболее вероятное $k$ удовлетворяет $np-q \\le k \\le np+p$. Здесь $np = 2{,}6$, $q = 0{,}8$.","Подставим: $np-q = 2{,}6-0{,}8$, $np+p = 2{,}6+0{,}2$. Какие целые числа лежат между ними?","$1{,}8 \\le k \\le 2{,}8$. Целые числа на этом промежутке: 2.","Ответ: 2."],"step":1},{"id":"2","content":"Вероятность успеха в одном испытании равна $0{,}15$, испытаний 11. Найдите наиболее вероятное число успехов. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"1"}},"hints":["Наиболее вероятное $k$ удовлетворяет $np-q \\le k \\le np+p$. Здесь $np = 1{,}65$, $q = 0{,}85$.","Подставим: $np-q = 1{,}65-0{,}85$, $np+p = 1{,}65+0{,}15$. Какие целые числа лежат между ними?","$0{,}8 \\le k \\le 1{,}8$. Целые числа на этом промежутке: 1.","Ответ: 1."],"step":1},{"id":"3","content":"Стрелок попадает с вероятностью $0{,}4$ и делает три выстрела. Найдите вероятность того, что будет хотя бы одно попадание. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":["0,784","0.784"]}},"hints":["Событие «хотя бы один успех» противоположно событию «ни одного успеха».","«Ни одного» — один путь, его вес $q^n = 0{,}6^{3} = 0{,}216$.","$1-0{,}216 = 0{,}784$."],"step":1},{"id":"3","content":"Игрок выигрывает партию с вероятностью $0{,}3$ и играет три партии. Найдите вероятность того, что будет хотя бы одна выигранная партия. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":["0,657","0.657"]}},"hints":["Событие «хотя бы один успех» противоположно событию «ни одного успеха».","«Ни одного» — один путь, его вес $q^n = 0{,}7^{3} = 0{,}343$.","$1-0{,}343 = 0{,}657$."],"step":1},{"id":"4","content":"Стрелок попадает в цель с вероятностью $0{,}6$ и делает два выстрела. Какова вероятность хотя бы одного попадания?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$0{,}84$","$1{,}2$","$0{,}16$","$0{,}48$"],"explanations":["","Получено как $np = 2 \\cdot 0{,}6$: это среднее число попаданий, а не вероятность","Это вероятность «ни одного попадания», то есть дополнения, которое еще надо вычесть из единицы","Это $P_{2}(1)$: вероятность ровно одного попадания, в ней нет путей с большим числом попаданий"],"answer":[0]}},"hints":["Событие «хотя бы один успех» противоположно событию «ни одного успеха».","«Ни одного» — один путь, его вес $q^n = 0{,}4^{2} = 0{,}16$.","$1-0{,}16 = 0{,}84$."],"step":1},{"id":"4","content":"Стрелок попадает в цель с вероятностью $0{,}2$ и делает три выстрела. Какова вероятность хотя бы одного попадания?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$0{,}6$","$0{,}512$","$0{,}488$","$0{,}384$"],"explanations":["Получено как $np = 3 \\cdot 0{,}2$: это среднее число попаданий, а не вероятность","Это вероятность «ни одного попадания», то есть дополнения, которое еще надо вычесть из единицы","","Это $P_{3}(1)$: вероятность ровно одного попадания, в ней нет путей с большим числом попаданий"],"answer":[2]}},"hints":["Событие «хотя бы один успех» противоположно событию «ни одного успеха».","«Ни одного» — один путь, его вес $q^n = 0{,}8^{3} = 0{,}512$.","$1-0{,}512 = 0{,}488$."],"step":1},{"id":"5","content":"Вероятность успеха в одном испытании равна $0{,}4$, испытаний 15. Вероятность $P_{15}(7)$ [[fill_choice-1]] вероятности $P_{15}(6)$.","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["равна","меньше","больше"],"answer":1}},"instruction":"Выберите слово для пропуска","hints":["Отношение соседних столбиков: $\\frac{P_n(k+1)}{P_n(k)}=\\frac{n-k}{k+1}\\cdot\\frac pq$.","$\\frac{15-6}{6+1}\\cdot\\frac{0{,}4}{0{,}6} = \\frac{9}{7}\\cdot\\frac{0{,}4}{0{,}6} = 0{,}857$.","Отношение меньше 1, поэтому $P_{15}(7)$ меньше, чем $P_{15}(6)$."],"step":1},{"id":"5","content":"Вероятность успеха в одном испытании равна $0{,}5$, испытаний 14. Вероятность $P_{14}(6)$ [[fill_choice-2]] вероятности $P_{14}(5)$.","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["больше","меньше","равна"],"answer":0}},"instruction":"Выберите слово для пропуска","hints":["Отношение соседних столбиков: $\\frac{P_n(k+1)}{P_n(k)}=\\frac{n-k}{k+1}\\cdot\\frac pq$.","$\\frac{14-5}{5+1}\\cdot\\frac{0{,}5}{0{,}5} = \\frac{9}{6}\\cdot\\frac{0{,}5}{0{,}5} = 1{,}5$.","Отношение больше 1, поэтому $P_{14}(6)$ больше, чем $P_{14}(5)$."],"step":1},{"id":"6","content":"Распределите серии по числу наиболее вероятных значений[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Одна вершина","Две вершины"],"items":[["$n=7$, $p=0{,}3$","$n=10$, $p=0{,}2$","$n=6$, $p=0{,}5$"],["$n=13$, $p=0{,}5$","$n=4$, $p=0{,}2$","$n=19$, $p=0{,}3$"]]}},"instruction":"Распределите серии по группам","hints":["Число вершин определяет $(n+1)p$: если оно целое, концы промежутка $np-q$ и $np+p$ целые и вершин две.","Считаем $(n+1)p$: $8\\cdot 0{,}3 = 2{,}4$; $11\\cdot 0{,}2 = 2{,}2$; $7\\cdot 0{,}5 = 3{,}5$; $14\\cdot 0{,}5 = 7$; $5\\cdot 0{,}2 = 1$; $20\\cdot 0{,}3 = 6$.","Целое $(n+1)p$ — две вершины, дробное — одна."],"step":1},{"id":"6","content":"Распределите серии по числу наиболее вероятных значений[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Одна вершина","Две вершины"],"items":[["$n=8$, $p=0{,}5$","$n=12$, $p=0{,}3$","$n=13$, $p=0{,}4$"],["$n=19$, $p=0{,}2$","$n=9$, $p=0{,}1$","$n=7$, $p=0{,}5$"]]}},"instruction":"Распределите серии по группам","hints":["Число вершин определяет $(n+1)p$: если оно целое, концы промежутка $np-q$ и $np+p$ целые и вершин две.","Считаем $(n+1)p$: $9\\cdot 0{,}5 = 4{,}5$; $13\\cdot 0{,}3 = 3{,}9$; $14\\cdot 0{,}4 = 5{,}6$; $20\\cdot 0{,}2 = 4$; $10\\cdot 0{,}1 = 1$; $8\\cdot 0{,}5 = 4$.","Целое $(n+1)p$ — две вершины, дробное — одна."],"step":1},{"id":"7","content":"Вероятность успеха в одном испытании равна $0{,}25$, испытаний 11. Найдите сумму всех наиболее вероятных чисел успехов. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Наиболее вероятное $k$ удовлетворяет $np-q \\le k \\le np+p$. Здесь $np = 2{,}75$, $q = 0{,}75$.","Подставим: $np-q = 2{,}75-0{,}75$, $np+p = 2{,}75+0{,}25$. Какие целые числа лежат между ними?","$2 \\le k \\le 3$. Целые числа на этом промежутке: 2, 3.","Ответ: 5."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Вероятность успеха в одном испытании равна $0{,}35$, испытаний 19. Найдите сумму всех наиболее вероятных чисел успехов. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"13"}},"hints":["Наиболее вероятное $k$ удовлетворяет $np-q \\le k \\le np+p$. Здесь $np = 6{,}65$, $q = 0{,}65$.","Подставим: $np-q = 6{,}65-0{,}65$, $np+p = 6{,}65+0{,}35$. Какие целые числа лежат между ними?","$6 \\le k \\le 7$. Целые числа на этом промежутке: 6, 7.","Ответ: 13."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Вероятность успеха в одном испытании равна $0{,}4$. Какое наименьшее число независимых испытаний нужно, чтобы вероятность хотя бы одного успеха была не меньше $0{,}95$? [[input-9]]","widgets":{"input-9":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["Нужно $1-0{,}6^n \\ge 0{,}95$, то есть $0{,}6^n \\le 0{,}05$.","$0{,}6^{5} = 0{,}07776 > 0{,}05$, а $0{,}6^{6} = 0{,}046656 \\le 0{,}05$.","Ответ: 6."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Вероятность успеха в одном испытании равна $0{,}3$. Какое наименьшее число независимых испытаний нужно, чтобы вероятность хотя бы одного успеха была не меньше $0{,}9$? [[input-10]]","widgets":{"input-10":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["Нужно $1-0{,}7^n \\ge 0{,}9$, то есть $0{,}7^n \\le 0{,}1$.","$0{,}7^{6} = 0{,}117649 > 0{,}1$, а $0{,}7^{7} = 0{,}0823543 \\le 0{,}1$.","Ответ: 7."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Вероятность успеха в одном испытании равна $0{,}4$, испытаний 3. Решавр искал вероятность хотя бы одного успеха и получил $0{,}432$. Что он на самом деле посчитал и чему равна верная вероятность?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Взято $np = 1{,}2$ как вероятность","Сложены $P_{3}(1)$ и $P_{3}(3)$ и получено $0{,}496$; верная вероятность $0{,}784$","Посчитан ровно один успех; верная вероятность $1-0{,}6^{3} = 0{,}784$","Из единицы вычтено $0{,}4^{3}$ и получено $0{,}936$; верная вероятность $0{,}784$"],"explanations":["Это не вероятность: $np$ — среднее число успехов, а не вес событий","Пропущено значение $k = 2$, поэтому сумма занижена","","Число $0{,}4^{3}$ — вероятность всех успехов, а не отсутствия успехов; дополнением служит $q^n$"],"answer":[2]}},"hints":["Событие «хотя бы один успех» противоположно событию «ни одного успеха».","«Ни одного» — один путь, его вес $q^n = 0{,}6^{3} = 0{,}216$.","$1-0{,}216 = 0{,}784$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Вероятность успеха в одном испытании равна $0{,}3$, испытаний 4. Решавр искал вероятность хотя бы одного успеха и получил $0{,}4116$. Что он на самом деле посчитал и чему равна верная вероятность?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Из единицы вычтено $0{,}3^{4}$ и получено $0{,}9919$; верная вероятность $0{,}7599$","Взято $np = 1{,}2$ как вероятность","Посчитан ровно один успех; верная вероятность $1-0{,}7^{4} = 0{,}7599$","Сложены $P_{4}(1)$ и $P_{4}(4)$ и получено $0{,}4197$; верная вероятность $0{,}7599$"],"explanations":["Число $0{,}3^{4}$ — вероятность всех успехов, а не отсутствия успехов; дополнением служит $q^n$","Это не вероятность: $np$ — среднее число успехов, а не вес событий","","Пропущены значения $k = 2$ и $k = 3$, поэтому сумма занижена"],"answer":[2]}},"hints":["Событие «хотя бы один успех» противоположно событию «ни одного успеха».","«Ни одного» — один путь, его вес $q^n = 0{,}7^{4} = 0{,}2401$.","$1-0{,}2401 = 0{,}7599$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Каждый из трех приборов исправен с вероятностью $0{,}9$, приборы работают независимо. Найдите вероятность того, что хотя бы один из них неисправен. [[input-11]]","widgets":{"input-11":{"type":"input","answer":["0,271","0.271"]}},"hints":["Дополнение события «хотя бы один неисправен» — «все исправны».","Вероятность того, что все исправны: $0{,}9^{3} = 0{,}729$.","$1-0{,}729 = 0{,}271$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Каждый из четырех автоматов исправен с вероятностью $0{,}8$, автоматы работают независимо. Найдите вероятность того, что хотя бы один из них неисправен. [[input-12]]","widgets":{"input-12":{"type":"input","answer":["0,5904","0.5904"]}},"hints":["Дополнение события «хотя бы один неисправен» — «все исправны».","Вероятность того, что все исправны: $0{,}8^{4} = 0{,}4096$.","$1-0{,}4096 = 0{,}5904$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>