События и комбинаторика: повторение в задачах

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"В подъезде две лампы. Событие $A$ — «первая лампа горит», событие $B$ — «вторая лампа горит». Как записать событие «не горит ни одна лампа»?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$AB$","$\\overline{A\\cup B}$","$\\overline{AB}$","$A\\cup B$"],"explanations":["Эта запись означает «оба события сразу», а в условии другое событие","","Эта запись означает «не оба события сразу», а в условии другое событие","Эта запись означает «хотя бы одно из событий», а в условии другое событие"],"answer":[1]}},"hints":["Сначала скажите событие словами через $A$ и $B$: «и» — пересечение, «или» — объединение, «не» — противоположное.","Нужное событие: ни одно из событий. Ему соответствует запись $\\overline{A\\cup B}$.","Ответ: $\\overline{A\\cup B}$."],"step":1},{"id":"1","content":"В магазине два кассира. Событие $A$ — «первый кассир свободен», событие $B$ — «второй кассир свободен». Как записать событие «ни один кассир не свободен»?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$\\overline{A\\cup B}$","$AB$","$A\\cup B$","$\\overline{AB}$"],"explanations":["","Эта запись означает «оба события сразу», а в условии другое событие","Эта запись означает «хотя бы одно из событий», а в условии другое событие","Эта запись означает «не оба события сразу», а в условии другое событие"],"answer":[0]}},"hints":["Сначала скажите событие словами через $A$ и $B$: «и» — пересечение, «или» — объединение, «не» — противоположное.","Нужное событие: ни одно из событий. Ему соответствует запись $\\overline{A\\cup B}$.","Ответ: $\\overline{A\\cup B}$."],"step":1},{"id":"2","content":"Из 40 билетов экзамена 6 содержат задачу по геометрии, билет выбирают наугад. Найдите вероятность того, что в билете будет задача по геометрии. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["0,15","0.15"]}},"hints":["Все исходы равновозможны, их число $n=40$; благоприятных исходов $m=6$.","$P=\\frac{m}{n}=\\frac{6}{40}=0{,}15$.","Ответ: 0,15."],"step":1},{"id":"2","content":"В коробке 25 одинаковых на ощупь карандашей, 7 из них красные; карандаш берут наугад. Найдите вероятность того, что карандаш окажется красным. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["0,28","0.28"]}},"hints":["Все исходы равновозможны, их число $n=25$; благоприятных исходов $m=7$.","$P=\\frac{m}{n}=\\frac{7}{25}=0{,}28$.","Ответ: 0,28."],"step":1},{"id":"3","content":"Из 20 карточек 8 красных (событие $A$) и 10 с четными номерами (событие $B$); 4 красные карточки четные. Тогда $P(A\\cup B)=P(A)+P(B)-[[fill_choice-1]]$.","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$P(\\overline{A})$","$P(AB)$","$P(A)+P(B)$","$P(A\\cup B)$"],"answer":1}},"hints":["События пересекаются: 4 исхода входят и в $A$, и в $B$.","При сложении $P(A)+P(B)$ они посчитаны дважды, поэтому вычитаем вероятность общей части.","$P(A\\cup B)=\\frac{8}{20}+\\frac{10}{20}-\\frac{4}{20}=\\frac{7}{10}$. Ответ: $P(AB)$."],"step":1},{"id":"3","content":"В классе 25 учеников: 14 ходят в шахматный кружок ($A$), 9 — в танцевальный ($B$), 5 ходят в оба. Тогда $P(A\\cup B)=P(A)+P(B)-[[fill_choice-2]]$.","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$P(\\overline{A})$","$P(A\\cup B)$","$P(A)+P(B)$","$P(AB)$"],"answer":3}},"hints":["События пересекаются: 5 исходов входят и в $A$, и в $B$.","При сложении $P(A)+P(B)$ они посчитаны дважды, поэтому вычитаем вероятность общей части.","$P(A\\cup B)=\\frac{14}{25}+\\frac{9}{25}-\\frac{5}{25}=\\frac{18}{25}$. Ответ: $P(AB)$."],"step":1},{"id":"4","content":"Монету бросают 5 раз подряд. Сколько всего различных исходов у этого опыта? [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"32"}},"hints":["Каждый из 5 шагов дает 2 исхода, шаги независимы.","По правилу умножения: $2^{5}=32$.","Ответ: 32."],"step":1},{"id":"4","content":"Кубик бросают 3 раза подряд. Сколько всего различных исходов у этого опыта? [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"216"}},"hints":["Каждый из 3 шагов дает 6 исходов, шаги независимы.","По правилу умножения: $6^{3}=216$.","Ответ: 216."],"step":1},{"id":"5","content":"Из 12 учеников нужно выбрать трех дежурных. Сколькими способами это можно сделать? Порядок выбора не важен. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"220"}},"hints":["Выбираем 3 из 12 без учета порядка, значит, число способов равно $C_{12}^{3}$.","$C_{12}^{3}=\\frac{12!}{3!\\,9!}=220$.","Ответ: 220."],"step":1},{"id":"5","content":"Из 10 книг нужно выбрать четыре для подарка. Сколькими способами это можно сделать? Порядок выбора не важен. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"210"}},"hints":["Выбираем 4 из 10 без учета порядка, значит, число способов равно $C_{10}^{4}$.","$C_{10}^{4}=\\frac{10!}{4!\\,6!}=210$.","Ответ: 210."],"step":1},{"id":"6","content":"В подъезде два фонаря. Событие $A$ — «первый фонарь горит», событие $B$ — «второй фонарь горит». Сопоставьте событие и его запись.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Произошли оба события: первый фонарь горит и второй фонарь горит","Произошло хотя бы одно из событий","Не произошло ни одно из событий","Не произошло событие «первый фонарь горит»"],"items":["$AB$","$A\\cup B$","$\\overline{A\\cup B}$","$\\overline{A}$"]}},"instruction":"Сопоставьте события и записи","hints":["Для каждой фразы решите: нужно ли, чтобы выполнились оба события, хотя бы одно из них или чтобы событие не произошло.","Событие «не произошло $A$» записывают как $\\overline{A}$. При «ни одно» не произошло ни $A$, ни $B$: сначала объедините $A$ и $B$, затем возьмите противоположное.","Ответ: «оба» — $AB$; «хотя бы одно» — $A\\cup B$; «ни одно» — $\\overline{A\\cup B}$; «не произошло $A$» — $\\overline{A}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"В библиотеке два читальных зала. Событие $A$ — «в первом зале есть места», событие $B$ — «во втором зале есть места». Сопоставьте событие и его запись.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["Произошли оба события: в первом зале есть места и во втором зале есть места","Произошло хотя бы одно из событий","Не произошло ни одно из событий","Не произошло событие «в первом зале есть места»"],"items":["$AB$","$A\\cup B$","$\\overline{A\\cup B}$","$\\overline{A}$"]}},"instruction":"Сопоставьте события и записи","hints":["Для каждой фразы решите: нужно ли, чтобы выполнились оба события, хотя бы одно из них или чтобы событие не произошло.","Событие «не произошло $A$» записывают как $\\overline{A}$. При «ни одно» не произошло ни $A$, ни $B$: сначала объедините $A$ и $B$, затем возьмите противоположное.","Ответ: «оба» — $AB$; «хотя бы одно» — $A\\cup B$; «ни одно» — $\\overline{A\\cup B}$; «не произошло $A$» — $\\overline{A}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Решавр считает вероятность выпадения двух орлов при броске двух монет: «Исходов три: два орла, две решки, разные стороны. Благоприятный один, значит, $P=\\frac{1}{3}$». В чем ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Благоприятных исходов два, а не один","Три названных исхода не равновозможны: «разные стороны» — это два исхода, всего их четыре","Ошибки нет, формула $m/n$ применима к любым исходам","Нужно сложить вероятности исходов: $\\frac13+\\frac13=\\frac23$"],"explanations":["Два орла — единственный исход ОО; других благоприятных нет","","Формула верна только для равновозможных исходов","Складывать нечего: событие состоит из одного исхода"],"answer":[1]}},"hints":["Проверьте, равновозможны ли названные исходы.","Исход «разные стороны» включает два исхода: ОР и РО. Равновозможных исходов четыре: ОО, ОР, РО, РР.","$P=\\frac{1}{4}$. Ответ: исходы не равновозможны, нужно считать 4 исхода."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Решавр считает вероятность того, что при броске двух кубиков сумма очков равна 7: «Возможных сумм 11 — от 2 до 12, благоприятная одна, значит, $P=\\frac{1}{11}$». В чем ошибка?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Суммы не равновозможны: нужно считать пары очков, их 36","Благоприятных сумм две: 7 и 8","Суммы равновозможны, но всего их 12, а не 11","Ошибки нет, 1/11 — верный ответ"],"explanations":["","Сумма 8 события «сумма равна 7» не касается","Сумма 1 невозможна: наименьшая сумма — 2","Проверка перебором показывает 6 пар из 36, то есть 1/6"],"answer":[0]}},"hints":["Проверьте, равновозможны ли суммы 2, 3, …, 12.","Сумма 2 получается одним способом (1+1), а сумма 7 — шестью способами. Равновозможны не суммы, а пары очков, их 36.","$P=\\frac{6}{36}=\\frac16$. Ответ: суммы не равновозможны, нужно считать 36 пар."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Из 24 карточек 9 красных, 8 с четными номерами, 3 красные четные. Наугад берут карточку; событие $A$ — «красная», $B$ — «четная». Решавр считает: «Вероятность события «$A$ или $B$» равна $\\frac{9}{24}+\\frac{8}{24}=\\frac{17}{24}$». В чем ошибка?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Нужно вычесть из единицы: $1-\\frac{17}{24}$","Ошибки нет: «или» всегда означает сложение","События пересекаются: 3 общих исхода посчитаны дважды, верно $\\frac{7}{12}$","Нужно перемножить: $\\frac{9}{24}\\cdot\\frac{8}{24}$"],"explanations":["Единица минус сумма — не вероятность «или»; вычитают только общую часть","Сложение верно только для событий, которые не могут произойти вместе","","Произведение — это вероятность «и» для независимых событий, а не «или»"],"answer":[2]}},"hints":["Проверьте, могут ли $A$ и $B$ наступить одновременно.","Таких исходов 3: при сложении они посчитаны дважды. Их вычитают: $\\frac{9+8-3}{24}$.","$P=\\frac{7}{12}$. Ответ: общую часть нужно вычесть один раз."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"В классе 30 человек: 12 любят футбол, 9 — волейбол, 3 — оба вида. Наугад выбирают ученика; $A$ — «любит футбол», $B$ — «любит волейбол». Решавр считает: «Вероятность события «$A$ или $B$» равна $\\frac{12}{30}+\\frac{9}{30}=\\frac{7}{10}$». В чем ошибка?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Нужно перемножить: $\\frac{12}{30}\\cdot\\frac{9}{30}$","Нужно вычесть из единицы: $1-\\frac{7}{10}$","Ошибки нет: «или» всегда означает сложение","События пересекаются: 3 общих исхода посчитаны дважды, верно $\\frac{3}{5}$"],"explanations":["Произведение — это вероятность «и» для независимых событий, а не «или»","Единица минус сумма — не вероятность «или»; вычитают только общую часть","Сложение верно только для событий, которые не могут произойти вместе",""],"answer":[3]}},"hints":["Проверьте, могут ли $A$ и $B$ наступить одновременно.","Таких исходов 3: при сложении они посчитаны дважды. Их вычитают: $\\frac{12+9-3}{30}$.","$P=\\frac{3}{5}$. Ответ: общую часть нужно вычесть один раз."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Симметричную монету бросают 4 раза. Найдите вероятность того, что хотя бы один раз выпадет орел. Ответ запишите обыкновенной несократимой дробью. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":["15/16","0,9375","0.9375"]}},"hints":["Противоположное событие — «орел не выпал ни разу», то есть во всех 4 бросках выпала другая сторона.","Исходов всего $2^{4}=16$, благоприятный противоположному — один. $P(\\overline{A})=\\frac{1}{16}$.","$P(A)=1-\\frac{1}{16}=\\frac{15}{16}$. Ответ: 15/16."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Симметричную монету бросают 5 раз. Найдите вероятность того, что хотя бы один раз выпадет решка. Ответ запишите обыкновенной несократимой дробью. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":["31/32","0,96875","0.96875"]}},"hints":["Противоположное событие — «решка не выпала ни разу», то есть во всех 5 бросках выпала другая сторона.","Исходов всего $2^{5}=32$, благоприятный противоположному — один. $P(\\overline{A})=\\frac{1}{32}$.","$P(A)=1-\\frac{1}{32}=\\frac{31}{32}$. Ответ: 31/32."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"В классе 5 девочек и 3 мальчика. Для дежурства наугад выбирают троих. Найдите вероятность того, что среди выбранных есть и девочки, и мальчики. Ответ запишите обыкновенной несократимой дробью. [[input-9]]","widgets":{"input-9":{"type":"input","answer":"45/56"}},"hints":["Проще найти противоположное событие: все выбранные — из одной группы (три девочки или три мальчика).","Всего способов выбрать троих из 8: $C_{8}^{3}=56$. Три девочки: $C_{5}^{3}=10$, три мальчика: $C_{3}^{3}=1$; эти события несовместны, поэтому складываем: 11.","$P=1-\\frac{11}{56}=\\frac{45}{56}=\\frac{45}{56}$. Ответ: 45/56."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"В классе 4 девочки и 4 мальчика. Для дежурства наугад выбирают троих. Найдите вероятность того, что среди выбранных есть и девочки, и мальчики. Ответ запишите обыкновенной несократимой дробью. [[input-10]]","widgets":{"input-10":{"type":"input","answer":"6/7"}},"hints":["Проще найти противоположное событие: все выбранные — из одной группы (три девочки или три мальчика).","Всего способов выбрать троих из 8: $C_{8}^{3}=56$. Три девочки: $C_{4}^{3}=4$, три мальчика: $C_{4}^{3}=4$; эти события несовместны, поэтому складываем: 8.","$P=1-\\frac{8}{56}=\\frac{48}{56}=\\frac{6}{7}$. Ответ: 6/7."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>