Тест: 10.4.1

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Распределите ситуации по группам.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Схема Бернулли","Не схема Бернулли"],"items":[["Стрелок делает 9 независимых выстрелов, вероятность попадания в каждом одна и та же","Монету бросают 12 раз и считают число решек"],["Из 30 карточек с 6 отмеченными берут 5 подряд без возвращения","Баскетболист бросает мяч, пока не попадет в корзину"]]}},"instruction":"Распределите ситуации по группам","hints":["Схема Бернулли требует четырех условий: $n$ фиксировано, испытания независимы, два исхода, $p$ постоянна.","Проверьте по условиям: повторы с постоянной вероятностью — схема; выбор без возвращения, «до успеха» и меняющаяся вероятность — нет.","Ответ: Стрелок делает 9 независимых выстрелов, вероятность попадания в каждом одна и та же и Монету бросают 12 раз и считают число решек — схема; остальные две — не схема"],"step":1},{"id":"1","content":"Распределите ситуации по группам.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Схема Бернулли","Не схема Бернулли"],"items":[["Кубик бросают 8 раз и считают число шестерок","Из 12 независимо работающих приборов каждый исправен с вероятностью $0{,}9$ — считают исправные"],["Из партии в 15 деталей берут 4 без возвращения и считают бракованные","Спортсмен делает 4 попытки, и планку каждый раз поднимают выше"]]}},"instruction":"Распределите ситуации по группам","hints":["Схема Бернулли требует четырех условий: $n$ фиксировано, испытания независимы, два исхода, $p$ постоянна.","Проверьте по условиям: повторы с постоянной вероятностью — схема; выбор без возвращения, «до успеха» и меняющаяся вероятность — нет.","Ответ: Кубик бросают 8 раз и считают число шестерок и Из 12 независимо работающих приборов каждый исправен с вероятностью $0{,}9$ — считают исправные — схема; остальные две — не схема"],"step":1},{"id":"2","content":"Стрелок попадает с вероятностью $0{,}6$ и делает четыре независимых выстрела. Найдите вероятность того, что он последовательно: попал, попал, промахнулся, попал. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["0,0864","0.0864"]}},"hints":["Выстрелы независимы, вероятности перемножаются.","Успех весит $0{,}6$, неуспех $0{,}4$: $0{,}6^{3} \\cdot 0{,}4^{1}$.","Ответ: $0{,}0864$."],"step":1},{"id":"2","content":"Стрелок попадает с вероятностью $0{,}3$ и делает пять независимых выстрелов. Найдите вероятность того, что он последовательно: попал, промахнулся, промахнулся, попал, промахнулся. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["0,03087","0.03087"]}},"hints":["Выстрелы независимы, вероятности перемножаются.","Успех весит $0{,}3$, неуспех $0{,}7$: $0{,}3^{2} \\cdot 0{,}7^{3}$.","Ответ: $0{,}03087$."],"step":1},{"id":"3","content":"В серии из 7 испытаний нужно ровно 2 успеха. Число различных последовательностей исходов с таким числом успехов равно [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":[["$7+2$","Сумма не считает способы выбрать номера успехов: их больше, чем $n+k$"],["$C_{7}^{2}$",""],["$7\\cdot2$","Произведение не считает наборы из 2 разных номеров испытаний: нужно выбрать 2 номера из 7 без учета порядка — сочетания"],["$2^{7}$","Это число всех путей дерева из 7 развилок, а нужны только пути с 2 успехами"]],"answer":1}},"instruction":"Выберите выражение","hints":["Последовательность определяется выбором номеров, на которых были успехи.","Выбираем 2 номера из 7: $C_{7}^{2} = 21$.","Ответ: $C_{7}^{2}$."],"step":1},{"id":"3","content":"В серии из 8 испытаний нужно ровно 3 успеха. Число различных последовательностей исходов с таким числом успехов равно [[fill_choice-2]]","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":[["$2^{8}$","Это число всех путей дерева из 8 развилок, а нужны только пути с 3 успехами"],["$8+3$","Сумма не считает способы выбрать номера успехов: их больше, чем $n+k$"],["$8\\cdot3$","Произведение не считает наборы из 3 разных номеров испытаний: нужно выбрать 3 номера из 8 без учета порядка — сочетания"],["$C_{8}^{3}$",""]],"answer":3}},"instruction":"Выберите выражение","hints":["Последовательность определяется выбором номеров, на которых были успехи.","Выбираем 3 номера из 8: $C_{8}^{3} = 56$.","Ответ: $C_{8}^{3}$."],"step":1},{"id":"4","content":"Правильную монету бросают 6 раз. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно 2 раза. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":["0,234375","0.234375","15/64"]}},"hints":["Серия из $n = 6$ независимых испытаний с постоянной вероятностью успеха $p = 0{,}5$, $q = 0{,}5$; нужно ровно $k = 2$ успехов.","Число путей с $k$ успехами: $C_{6}^{2} = 15$; каждый путь весит $0{,}5^{2} \\cdot 0{,}5^{4}$.","$P_{6}(2) = C_{6}^{2} \\cdot 0{,}5^{2} \\cdot 0{,}5^{4} = 0{,}234375$."],"step":1},{"id":"4","content":"Правильную монету бросают 7 раз. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно 3 раза. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":["0,2734375","0.2734375","35/128"]}},"hints":["Серия из $n = 7$ независимых испытаний с постоянной вероятностью успеха $p = 0{,}5$, $q = 0{,}5$; нужно ровно $k = 3$ успехов.","Число путей с $k$ успехами: $C_{7}^{3} = 35$; каждый путь весит $0{,}5^{3} \\cdot 0{,}5^{4}$.","$P_{7}(3) = C_{7}^{3} \\cdot 0{,}5^{3} \\cdot 0{,}5^{4} = 0{,}2734375$."],"step":1},{"id":"5","content":"Игрок попадает в цель с вероятностью $0{,}9$. Он делает 4 выстрела, каждый не зависит от предыдущих. Найдите вероятность того, что успехов будет ровно 3. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":["0,2916","0.2916"]}},"hints":["Серия из $n = 4$ независимых испытаний с постоянной вероятностью успеха $p = 0{,}9$, $q = 0{,}1$; нужно ровно $k = 3$ успехов.","Число путей с $k$ успехами: $C_{4}^{3} = 4$; каждый путь весит $0{,}9^{3} \\cdot 0{,}1$.","$P_{4}(3) = C_{4}^{3} \\cdot 0{,}9^{3} \\cdot 0{,}1 = 0{,}2916$."],"step":1},{"id":"5","content":"Каждое семечко прорастает с вероятностью $0{,}3$ независимо от других. Посеяли 5 семян. Найдите вероятность того, что успехов будет ровно 2. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":["0,3087","0.3087"]}},"hints":["Серия из $n = 5$ независимых испытаний с постоянной вероятностью успеха $p = 0{,}3$, $q = 0{,}7$; нужно ровно $k = 2$ успехов.","Число путей с $k$ успехами: $C_{5}^{2} = 10$; каждый путь весит $0{,}3^{2} \\cdot 0{,}7^{3}$.","$P_{5}(2) = C_{5}^{2} \\cdot 0{,}3^{2} \\cdot 0{,}7^{3} = 0{,}3087$."],"step":1},{"id":"6","content":"Баскетболист попадает с вероятностью $0{,}9$ и делает 3 независимых броска. Найдите вероятность того, что он попадет во все три. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":["0,729","0.729"]}},"hints":["Такой путь один, поэтому $C_n^k = 1$ и множитель можно не писать.","$P_{3}(3) = 0{,}9^{3} = 0{,}729$.","Ответ: $0{,}729$."],"step":1},{"id":"6","content":"Игрок выигрывает партию с вероятностью $0{,}3$ и играет 4 независимые партии. Найдите вероятность того, что он не выиграет ни одной. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":["0,2401","0.2401"]}},"hints":["Такой путь один, поэтому $C_n^k = 1$ и множитель можно не писать.","$P_{4}(0) = 0{,}7^{4} = 0{,}2401$.","Ответ: $0{,}2401$."],"step":1},{"id":"7","content":"Каждая лампа в гирлянде перегорает за сезон с вероятностью $0{,}1$ независимо от других. Проверили 5 ламп. Найдите вероятность того, что перегорит ровно одна. [[input-9]]","widgets":{"input-9":{"type":"input","answer":["0,32805","0.32805"]}},"hints":["Серия из $n = 5$ независимых испытаний с постоянной вероятностью успеха $p = 0{,}1$, $q = 0{,}9$; нужно ровно $k = 1$ успехов.","Число путей с $k$ успехами: $C_{5}^{1} = 5$; каждый путь весит $0{,}1 \\cdot 0{,}9^{4}$.","$P_{5}(1) = C_{5}^{1} \\cdot 0{,}1 \\cdot 0{,}9^{4} = 0{,}32805$."],"step":1},{"id":"7","content":"Каждый саженец не приживается с вероятностью $0{,}1$ независимо от других. Посадили 5 саженцев. Найдите вероятность того, что не приживутся ровно два. [[input-10]]","widgets":{"input-10":{"type":"input","answer":["0,0729","0.0729"]}},"hints":["Серия из $n = 5$ независимых испытаний с постоянной вероятностью успеха $p = 0{,}1$, $q = 0{,}9$; нужно ровно $k = 2$ успехов.","Число путей с $k$ успехами: $C_{5}^{2} = 10$; каждый путь весит $0{,}1^{2} \\cdot 0{,}9^{3}$.","$P_{5}(2) = C_{5}^{2} \\cdot 0{,}1^{2} \\cdot 0{,}9^{3} = 0{,}0729$."],"step":1},{"id":"8","content":"В серии из трех независимых испытаний вероятность успеха неизвестна, а вероятность ни одного успеха равна $P_3(0) = 0{,}216$. Найдите $P_3(2)$. [[input-11]]","widgets":{"input-11":{"type":"input","answer":["0,288","0.288"]}},"hints":["Ни одного успеха — один путь: $P_3(0) = q^3$. Найдите $q$, затем $p = 1-q$.","$q^3 = 0{,}216$, значит, $q = 0{,}6$ и $p = 0{,}4$.","$P_3(2) = 3 \\cdot 0{,}4^2 \\cdot 0{,}6 = 0{,}288$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"В серии из трех независимых испытаний вероятность успеха неизвестна, а вероятность ни одного успеха равна $P_3(0) = 0{,}512$. Найдите $P_3(2)$. [[input-12]]","widgets":{"input-12":{"type":"input","answer":["0,096","0.096"]}},"hints":["Ни одного успеха — один путь: $P_3(0) = q^3$. Найдите $q$, затем $p = 1-q$.","$q^3 = 0{,}512$, значит, $q = 0{,}8$ и $p = 0{,}2$.","$P_3(2) = 3 \\cdot 0{,}2^2 \\cdot 0{,}8 = 0{,}096$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Стрелок попадает с вероятностью $0{,}6$, делает 5 независимых выстрелов; нужно ровно 3 попадания. Решавр записал: «$P_{5}(3) = 0{,}6^{3} \\cdot 0{,}4^{2} = 0{,}03456$». Что в его решении не так?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Неуспех равен $0{,}6$: верно $0{,}6^{5} = 0{,}07776$","Пропущено число путей: надо умножить на $C_{5}^{3} = 10$, ответ $0{,}3456$","Степени надо поменять местами: верно $0{,}6^{2} \\cdot 0{,}4^{3} = 0{,}02304$","Пропущено число путей: надо умножить на $n = 5$, ответ $0{,}1728$"],"explanations":["Вероятность неуспеха равна $q = 1-p = 0{,}4$, и Решавр взял ее верно","","Показатель при $p$ равен числу успехов $k = 3$, а при $q$ — числу неуспехов $n-k = 2$; Решавр записал степени верно","Число путей равно не $n$, а числу сочетаний $C_{5}^{3} = 10$: выбирают номера успехов"],"answer":[1]}},"hints":["Сравните запись Решавра с формулой $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$.","Степени и вероятности указаны верно, но нет множителя $C_{5}^{3}$: он считает вес одного пути.","$P_{5}(3) = 10 \\cdot 0{,}03456 = 0{,}3456$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Каждое семечко прорастает с вероятностью $0{,}3$ независимо от других, посеяли 4 семечка; нужно, чтобы взошли ровно 2. Решавр записал: «$P_{4}(2) = 0{,}3^{2} \\cdot 0{,}7^{2} = 0{,}0441$». Что в его решении не так?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Пропущено число путей: надо умножить на $C_{4}^{2} = 6$, ответ $0{,}2646$","Вероятности надо сложить: верно $0{,}3^{2} + 0{,}7^{2} = 0{,}58$","Пропущено число путей: надо умножить на $n = 4$, ответ $0{,}1764$","Неуспех равен $0{,}3$: верно $0{,}3^{4} = 0{,}0081$"],"explanations":["","Независимые события «и то, и другое» дают произведение вероятностей, а не сумму; Решавр произведение записал верно","Число путей равно не $n$, а числу сочетаний $C_{4}^{2} = 6$: выбирают номера успехов","Вероятность неуспеха равна $q = 1-p = 0{,}7$, и Решавр взял ее верно"],"answer":[0]}},"hints":["Сравните запись Решавра с формулой $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$.","Степени и вероятности указаны верно, но нет множителя $C_{4}^{2}$: он считает вес одного пути.","$P_{4}(2) = 6 \\cdot 0{,}0441 = 0{,}2646$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"В коробке 10 деталей, из них 3 бракованные. Деталь наугад берут, записывают номер и возвращают в коробку. Так делают 4 раза. Можно ли применить формулу Бернулли и чему равна вероятность того, что окажется ровно одна бракованная?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Можно: деталь возвращают, $p = 0{,}3$ постоянна; ответ $4 \\cdot 0{,}3 \\cdot 0{,}7^{3} = 0{,}4116$","Нельзя: детали берут из одной партии, испытания зависимы","Можно: деталь возвращают, $p = 0{,}3$ постоянна; ответ $0{,}3 \\cdot 0{,}7^{3} = 0{,}1029$","Можно: деталь возвращают, $p = 0{,}3$ постоянна; ответ $4 \\cdot 0{,}7 \\cdot 0{,}3^{3} = 0{,}0756$"],"explanations":["","Деталь возвращают, состав не меняется, испытания независимы, $p = 0{,}3$","Это вес одного пути; путей с ровно одним успехом 4, и их надо учесть","Степени поменяны местами: при $p$ стоит число успехов $k = 1$, а при $q$ — число неуспехов $n-k = 3$"],"answer":[0]}},"hints":["Проверьте независимость: деталь возвращают, состав не меняется, $p = 0{,}3$ каждый раз.","Схема Бернулли: $n = 4$, $k = 1$, $p = 0{,}3$, $q = 0{,}7$.","$P_{4}(1) = C_{4}^{1} \\cdot 0{,}3 \\cdot 0{,}7^{3} = 0{,}4116$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"В пачке 10 билетов, из них 4 выигрышных. Билет наугад вынимают, смотрят и возвращают в пачку. Так делают 3 раза. Можно ли применить формулу Бернулли и чему равна вероятность того, что окажется ровно один выигрышный?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Нельзя: билеты берут из одной пачки, испытания зависимы","Можно: билет возвращают, $p = 0{,}4$ постоянна; ответ $3 \\cdot 0{,}6 \\cdot 0{,}4^{2} = 0{,}288$","Можно: билет возвращают, $p = 0{,}4$ постоянна; ответ $3 \\cdot 0{,}4 \\cdot 0{,}6^{2} = 0{,}432$","Можно: билет возвращают, $p = 0{,}4$ постоянна; ответ $0{,}4 \\cdot 0{,}6^{2} = 0{,}144$"],"explanations":["Билет возвращают, состав не меняется, испытания независимы, $p = 0{,}4$","Степени поменяны местами: при $p$ стоит число успехов $k = 1$, а при $q$ — число неуспехов $n-k = 2$","","Это вес одного пути; путей с ровно одним успехом 3, и их надо учесть"],"answer":[2]}},"hints":["Проверьте независимость: билет возвращают, состав не меняется, $p = 0{,}4$ каждый раз.","Схема Бернулли: $n = 3$, $k = 1$, $p = 0{,}4$, $q = 0{,}6$.","$P_{3}(1) = C_{3}^{1} \\cdot 0{,}4 \\cdot 0{,}6^{2} = 0{,}432$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>