Задание 3. Стереометрия

{"questions":[{"content":"Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна $46.$ Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.[[image-1]][[fill_choice_big-40]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/d7.svg","width":"200"},"fill_choice_big-40":{"type":"fill_choice_big","options":["$23$","$12$","$15$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Заметим, что у отсеченной треугольной призмы все боковые стороны в два раза меньше соответствующих боковых сторон исходной призмы, значит, площадь всей боковой поверхности будет в два раза меньше:$$S = 46:2 = 23$$"]},{"content":"Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна $10.$ Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.[[image-4]][[fill_choice_big-158]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/d7.svg","width":"200"},"fill_choice_big-158":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$","$4$","$2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Заметим, что у отсеченной треугольной призмы все боковые стороны в два раза меньше соответствующих боковых сторон исходной призмы, значит, площадь всей боковой поверхности будет в два раза меньше:$$S = 10:2 = 5$$"]},{"content":"Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна $12.$ Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.[[image-9]][[fill_choice_big-101]]","widgets":{"image-9":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/d7.svg","width":"200"},"fill_choice_big-101":{"type":"fill_choice_big","options":["$6$","$2$","$4$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Заметим, что у отсеченной треугольной призмы все боковые стороны в два раза меньше соответствующих боковых сторон исходной призмы, значит, площадь всей боковой поверхности будет в два раза меньше:$$S = 12:2 = 6$$"]},{"content":"Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в два с половиной раза шире. Найдите отношение объёма второй кружки к объёму первой.[[image-257]][[fill_choice_big-422]]","widgets":{"image-257":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/d8.svg","width":"200"},"fill_choice_big-422":{"type":"fill_choice_big","options":["$3.125$","$2.5$","$5$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Объем цилиндра находится по формуле: $$V = \\pi r^2 \\cdot h$$","Изменим высоту и радиус согласно условию задачи: $$V = \\pi \\cdot (2.5r)^2 \\cdot \\frac{h}{2} = \\pi \\cdot 6.25r^2 \\cdot \\frac{h}{2}$$ $$V = 3.125\\cdot  \\pi r^2 h$$"]},{"content":"Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в два раза шире. Найдите отношение объёма второй кружки к объёму первой.[[image-279]][[fill_choice_big-747]]","widgets":{"image-279":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/d8.svg","width":"200"},"fill_choice_big-747":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$4$","$1$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Объем цилиндра находится по формуле: $$V = \\pi r^2 \\cdot h$$","Изменим высоту и радиус согласно условию задачи: $$V = \\pi \\cdot (2r)^2 \\cdot \\frac{h}{2} = \\pi \\cdot 4r^2 \\cdot \\frac{h}{2}$$ $$V = 2 \\cdot  \\pi r^2 h$$"]},{"content":"Одна цилиндрическая кружка втрое выше второй, зато вторая в два раза шире. Найдите отношение объёма второй кружки к объёму первой.[[image-304]][[fill_choice_big-629]]","widgets":{"image-304":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/d8.svg","width":"200"},"fill_choice_big-629":{"type":"fill_choice_big","options":["$4.5$","$1.5$","$6$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Объем цилиндра находится по формуле: $$V = \\pi r^2 \\cdot h$$","Изменим высоту и радиус согласно условию задачи: $$V = \\pi \\cdot (3r)^2 \\cdot \\frac{h}{2} = \\pi \\cdot 9r^2 \\cdot \\frac{h}{2}$$ $$V = 4.5\\cdot  \\pi r^2 h$$"]},{"content":"Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы равен $4\\sqrt{2}.$ Найдите образующую конуса.[[image-984]][[fill_choice_big-1266]]","widgets":{"image-984":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/d9.svg","width":"200"},"fill_choice_big-1266":{"type":"fill_choice_big","options":["$8$","$4$","$12$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Образующую конуса можно найти по формуле: $$l = \\sqrt{r^2+h^2}$$ Так как конус вписан в сферу, радиус его основания и высота равны радиусу сферы: $$l = \\sqrt{r^2+r^2}=\\sqrt{2r^2}$$","$$l = \\sqrt{2\\cdot (4\\sqrt{2})^2}=8$$"]},{"content":"Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы равен $10\\sqrt{2}.$ Найдите образующую конуса.[[image-1011]][[fill_choice_big-1566]]","widgets":{"image-1011":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/d9.svg","width":"198"},"fill_choice_big-1566":{"type":"fill_choice_big","options":["$20$","$10$","$15$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Образующую конуса можно найти по формуле: $$l = \\sqrt{r^2+h^2}$$ Так как конус вписан в сферу, радиус его основания и высота равны радиусу сферы: $$l = \\sqrt{r^2+r^2}=\\sqrt{2r^2}$$","$$l = \\sqrt{2\\cdot (10\\sqrt{2})^2}=20$$"]},{"content":"Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы равен $81\\sqrt{2}.$ Найдите образующую конуса.[[image-1040]][[fill_choice_big-1767]]","widgets":{"image-1040":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/d9.svg","width":"200"},"fill_choice_big-1767":{"type":"fill_choice_big","options":["$162$","$121$","$100$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Образующую конуса можно найти по формуле: $$l = \\sqrt{r^2+h^2}$$ Так как конус вписан в сферу, радиус его основания и высота равны радиусу сферы: $$l = \\sqrt{r^2+r^2}=\\sqrt{2r^2}$$","$$l = \\sqrt{2\\cdot (81\\sqrt{2})^2}=162$$"]}]}

{"questions":[{"content":"Куб описан около сферы радиуса $2.$ Найдите объём куба.[[image-1]][[fill_choice_big-49]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/d4.svg","width":"200"},"fill_choice_big-49":{"type":"fill_choice_big","options":["$64$","$8$","$16$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Так как куб описан около сферы, длина его стороны совпадает с диаметром сферы:$$D = 2r = 2 \\cdot 2 = 4$$","Объем куба можно вычислить по формуле: $$V = a^3 = 4^3 = 64$$"]},{"content":"Куб описан около сферы радиуса $3.$ Найдите объём куба.[[image-4]][[fill_choice_big-122]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/d4.svg","width":"200"},"fill_choice_big-122":{"type":"fill_choice_big","options":["$216$","$81$","$27$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Так как куб описан около сферы, длина его стороны совпадает с диаметром сферы:$$D = 2r = 2 \\cdot 3 = 6$$","Объем куба можно вычислить по формуле: $$V = a^3 = 6^3 = 216$$"]},{"content":"Куб описан около сферы радиуса $1.$ Найдите объём куба.[[image-9]][[fill_choice_big-179]]","widgets":{"image-9":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/d4.svg","width":"202"},"fill_choice_big-179":{"type":"fill_choice_big","options":["$8$","$1$","$12$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Так как куб описан около сферы, длина его стороны совпадает с диаметром сферы:$$D = 2r = 2 \\cdot 1 = 2$$","Объем куба можно вычислить по формуле: $$V = a^3 = 2^3 = 8$$"]},{"content":"Площадь поверхности шара равна $36.$ Найдите площадь большого круга шара.[[image-296]][[fill_choice_big-419]]","widgets":{"image-296":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/k6.svg","width":"200"},"fill_choice_big-419":{"type":"fill_choice_big","options":["$9$","$18$","$6$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Площадь поверхности шара вычисляется по формуле: $$S = 4 \\pi r^2$$ Площадь круга можно вычислить по формуле: $$S = \\pi r^2$$","Из вышеуказанных формул видно, что площади различаются в $4$ раза: $$36:4 = 9$$"]},{"content":"Площадь поверхности шара равна $16.$ Найдите площадь большого круга шара.[[image-311]][[fill_choice_big-596]]","widgets":{"image-311":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/k6.svg","width":"200"},"fill_choice_big-596":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$8$","$2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Площадь поверхности шара вычисляется по формуле: $$S = 4 \\pi r^2$$ Площадь круга можно вычислить по формуле: $$S = \\pi r^2$$","Из вышеуказанных формул видно, что площади различаются в $4$ раза: $$16:4 = 4$$"]},{"content":"Площадь поверхности шара равна $40.$ Найдите площадь большого круга шара.[[image-328]][[fill_choice_big-725]]","widgets":{"image-328":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/k6.svg","width":"200"},"fill_choice_big-725":{"type":"fill_choice_big","options":["$10$","$20$","$15$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Площадь поверхности шара вычисляется по формуле: $$S = 4 \\pi r^2$$ Площадь круга можно вычислить по формуле: $$S = \\pi r^2$$","Из вышеуказанных формул видно, что площади различаются в $4$ раза: $$40:4 = 10$$"]},{"content":"Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A, B, C, A_1, B_1,  C_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1,$ у которого $AB=10,$ $AD=3,$ $AA_1=9.$[[image-962]][[fill_choice_big-1319]]","widgets":{"image-962":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/d6.svg","width":"200"},"fill_choice_big-1319":{"type":"fill_choice_big","options":["$135$","$270$","$80$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Заметим, что многогранник $A BCA_1 B_1C_1$ занимает ровно половину объема исходного параллелепипеда. Найдем объем данного параллелепипеда и разделим на два.","$$V_{пар-да} = abc = 10 \\cdot 3 \\cdot 9 = 270$$ $$V_{A BCA_1 B_1C_1} = 270:2 = 135$$"]},{"content":"Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A,  B,  C,  A_1,  B_1,  C_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1,$ у которого $AB=7,$ $AD=6,$ $AA_1=10.$[[image-989]][[fill_choice_big-1635]]","widgets":{"image-989":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/d6.svg","width":"200"},"fill_choice_big-1635":{"type":"fill_choice_big","options":["$210$","$420$","$340$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Заметим, что многогранник $A BCA_1 B_1C_1$ занимает ровно половину объема исходного параллелепипеда. Найдем объем данного параллелепипеда и разделим на два.","$$V_{пар-да} = abc = 7 \\cdot 6 \\cdot 10 = 420$$ $$V_{A BCA_1 B_1C_1} = 420:2 = 210$$"]},{"content":"Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A,  B,  C,  A_1,  B_1,  C_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1,$ у которого $AB=7,$ $AD=2,$ $AA_1=6.$[[image-1018]][[fill_choice_big-1853]]","widgets":{"image-1018":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/d6.svg","width":"202"},"fill_choice_big-1853":{"type":"fill_choice_big","options":["$42$","$84$","$140$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Заметим, что многогранник $A BCA_1 B_1C_1$ занимает ровно половину объема исходного параллелепипеда. Найдем объем данного параллелепипеда и разделим на два.","$$V_{пар-да} = abc = 7 \\cdot 2 \\cdot 6 = 84$$ $$V_{A BCA_1 B_1C_1} = 84:2 = 42$$"]}]}

{"questions":[{"content":"В цилиндрический сосуд налили $ 2\\space600\\space см^3$ воды. Уровень жидкости оказался равным $10\\spaceсм.$ В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на $2\\space см.$ Найдите объём детали. Ответ дайте в $см^3.$[[image-1]][[fill_choice_big-118]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/d1.svg","width":"100"},"fill_choice_big-118":{"type":"fill_choice_big","options":["$520$","$26$","$260$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["В $10\\space см$ сосуда умещается $ 2\\space600\\space см^3$ воды, значит, в $1 \\space см$ умещается:$$2\\space600:10=260$$","Погружение детали подняло уровень жидкости на $2 \\spaceсм$: $$260 \\cdot 2 = 520$$"]},{"content":"В цилиндрический сосуд налили $ 1\\space500\\space см^3$ воды. Уровень жидкости оказался равным $15\\spaceсм.$ В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на $3\\space см.$ Найдите объём детали. Ответ дайте в $см^3.$[[image-5]][[fill_choice_big-191]]","widgets":{"image-5":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/d1.svg","width":"100"},"fill_choice_big-191":{"type":"fill_choice_big","options":["$300$","$150$","$900$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["В $15\\space см$ сосуда умещается $ 1\\space500\\space см^3$ воды, значит, в $1 \\space см$ умещается:$$1\\space500:15=100$$","Погружение детали подняло уровень жидкости на $3 \\spaceсм$: $$100 \\cdot 3 = 300$$"]},{"content":"В цилиндрический сосуд налили $ 180\\space см^3$ воды. Уровень жидкости оказался равным $9\\spaceсм.$ В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на $4\\space см.$ Найдите объём детали. Ответ дайте в $см^3.$[[image-12]][[fill_choice_big-268]]","widgets":{"image-12":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/d1.svg","width":"100"},"fill_choice_big-268":{"type":"fill_choice_big","options":["$80$","$40$","$10$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["В $9\\space см$ сосуда умещается $180\\space см^3$ воды, значит, в $1 \\space см$ умещается:$$180:9=20$$","Погружение детали подняло уровень жидкости на $4 \\spaceсм$: $$20 \\cdot 4 = 80$$"]},{"content":"Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если все его рёбра увеличить в $15$ раз?[[image-367]][[fill_choice_big-521]]","widgets":{"image-367":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/k2-3.svg","width":"200"},"fill_choice_big-521":{"type":"fill_choice_big","options":["$225$","$30$","$60$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Площадь поверхности куба можно найти по формуле:$$S= 6a^2$$","$$S = 6 (15a)^2 = 6a^2 \\cdot 225 $$"]},{"content":"Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если все его рёбра увеличить в $7$ раз?[[image-396]][[fill_choice_big-728]]","widgets":{"image-396":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/k2-3.svg","width":"200"},"fill_choice_big-728":{"type":"fill_choice_big","options":["$49$","$42$","$7$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Площадь поверхности куба можно найти по формуле:$$S= 6a^2$$","$$S = 6 (7a)^2 = 6 a^2 \\cdot 49$$"]},{"content":"Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если все его рёбра увеличить в $10$ раз?[[image-421]][[fill_choice_big-883]]","widgets":{"image-421":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/k2-3.svg","width":"200"},"image-846":{"type":"image","url":""},"fill_choice_big-883":{"type":"fill_choice_big","options":["$100$","$60$","$1000$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Площадь поверхности куба можно найти по формуле:$$S= 6a^2$$","$$S = 6 (10a)^2 = 6 a^2 \\cdot 100$$"]},{"content":"Объём первого куба в $64$ раза больше объёма второго куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?[[image-1205]][[fill_choice_big-1554]]","widgets":{"image-1205":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/d3.svg","width":"201"},"fill_choice_big-1554":{"type":"fill_choice_big","options":["$16$","$32$","$8$"],"placeholder":0,"answer":0},"fill_choice_big-1857":{"type":"fill_choice_big","options":["$16$","$32$","$8$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Объем куба рассчитывается по формуле:$$V = a^3$$ Объемы кубов различаются в $8$ раз, значит, их стороны относятся как:$$\\sqrt[3]{64}= 4$$","Площадь поверхности куба находится по формуле: $$S = 6 a^2$$ Так как стороны различаются в два раза, то площади будут относиться как:$$4^2 =16$$"]},{"content":"Объём первого куба в $8$ раз больше объёма второго куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?[[image-1234]][[fill_choice_big-2106]]","widgets":{"image-1234":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/d3.svg","width":"201"},"fill_choice_big-2106":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$2$","$16$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Объем куба рассчитывается по формуле:$$V = a^3$$ Объемы кубов различаются в $8$ раз, значит, их стороны относятся как:$$\\sqrt[3]{8}= 2$$","Площадь поверхности куба находится по формуле: $$S = 6 a^2$$ Так как стороны различаются в два раза, то площади будут относиться как:$$2^2 =4$$"]},{"content":"Объём первого куба в $27$ раз больше объёма второго куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?[[image-1265]][[fill_choice_big-2350]]","widgets":{"image-1265":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/d3.svg","width":"201"},"fill_choice_big-2350":{"type":"fill_choice_big","options":["$9$","$27$","$54$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Объем куба рассчитывается по формуле:$$V = a^3$$ Объемы кубов различаются в $8$ раз, значит, их стороны относятся как:$$\\sqrt[3]{27}= 3$$","Площадь поверхности куба находится по формуле: $$S = 6 a^2$$ Так как стороны различаются в два раза, то площади будут относиться как:$$3^2 =9$$"]}]}

{"questions":[{"content":"Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A, A_1, B_1, C_1$ правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1,$ площадь основания которой равна $10,$ а боковое ребро равно $3.$[[image-1]][[fill_choice_big-60]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/k8.svg","width":"200"},"fill_choice_big-60":{"type":"fill_choice_big","options":["$10$","$15$","$20$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Фигура $A A_1B_1 C_1$ является пирамидой. Объем пирамиды вычисляется по формуле: $$V = \\frac{1}{3}S_{осн} \\cdot h$$","$$V = \\frac{1}{3}\\cdot 10 \\cdot 3=10$$"]},{"content":"Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A, A_1, B_1, C_1$ правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1,$ площадь основания которой равна $3,$ а боковое ребро равно $8.$[[image-6]][[fill_choice_big-117]]","widgets":{"image-6":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/k8.svg","width":"200"},"fill_choice_big-117":{"type":"fill_choice_big","options":["$8$","$24$","$16$"],"answer":0}},"step":1,"hints":["Фигура $A A_1B_1 C_1$ является пирамидой. Объем пирамиды вычисляется по формуле: $$V = \\frac{1}{3}S_{осн} \\cdot h$$","$$V = \\frac{1}{3}\\cdot 3\\cdot 8=8$$"]},{"content":"Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A, A_1, B_1, C_1$ правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1,$ площадь основания которой равна $10,$ а боковое ребро равно $9.$[[image-11]][[fill_choice_big-180]]","widgets":{"image-11":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/k8.svg","width":"200"},"fill_choice_big-180":{"type":"fill_choice_big","options":["$30$","$90$","$45$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Фигура $A A_1B_1 C_1$ является пирамидой. Объем пирамиды вычисляется по формуле: $$V = \\frac{1}{3}S_{осн} \\cdot h$$","$$V = \\frac{1}{3}\\cdot 10\\cdot 9=30$$"]},{"content":"Шар, объём которого равен $46,$ вписан в цилиндр. Найдите объём цилиндра.[[image-273]][[fill_choice_big-495]]","widgets":{"image-273":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/k10.svg","width":"200"},"fill_choice_big-495":{"type":"fill_choice_big","options":["$69$","$23$","$92$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Так как шар вписан в цилиндр, радиус шара равен радиусу основания цилиндра, а диаметр шара равен высоте цилиндра. Объем шара вычисляется по формуле:$$V_{шара} = \\frac{4}{3} \\pi r^3$$ Объем цилиндра вычисляется по формуле:$$V_{цилиндра} = \\pi r^2 \\cdot h$$ Но так как высота цилиндра является диаметром шара, можно записать: $$V_{цилиндра} = \\pi r^2 \\cdot 2r=2 \\pi r^3$$","Таким образом, объемы фигур различаются в $\\frac{2}{3}$ раза: $$46:\\frac{2}{3} = 69$$"]},{"content":"Шар, объём которого равен $8,$ вписан в цилиндр. Найдите объём цилиндра.[[image-288]][[fill_choice_big-673]]","widgets":{"image-288":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/k10.svg","width":"200"},"fill_choice_big-673":{"type":"fill_choice_big","options":["$12$","$16$","$14$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Так как шар вписан в цилиндр, радиус шара равен радиусу основания цилиндра, а диаметр шара равен высоте цилиндра. Объем шара вычисляется по формуле:$$V_{шара} = \\frac{4}{3} \\pi r^3$$ Объем цилиндра вычисляется по формуле:$$V_{цилиндра} = \\pi r^2 \\cdot h$$ Но так как высота цилиндра является диаметром шара, можно записать: $$V_{цилиндра} = \\pi r^2 \\cdot 2r=2 \\pi r^3$$","Таким образом, объемы фигур различаются в $\\frac{2}{3}$ раза: $$8:\\frac{2}{3} = 12$$"]},{"content":"Шар, объём которого равен $10,$ вписан в цилиндр. Найдите объём цилиндра.[[image-305]][[fill_choice_big-780]]","widgets":{"image-305":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/k10.svg","width":"200"},"fill_choice_big-780":{"type":"fill_choice_big","options":["$15$","$20$","$25$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Так как шар вписан в цилиндр, радиус шара равен радиусу основания цилиндра, а диаметр шара равен высоте цилиндра. Объем шара вычисляется по формуле:$$V_{шара} = \\frac{4}{3} \\pi r^3$$ Объем цилиндра вычисляется по формуле:$$V_{цилиндра} = \\pi r^2 \\cdot h$$ Но так как высота цилиндра является диаметром шара, можно записать: $$V_{цилиндра} = \\pi r^2 \\cdot 2r=2 \\pi r^3$$","Таким образом, объемы фигур различаются в $\\frac{2}{3}$ раза: $$10:\\frac{2}{3} = 15$$"]},{"content":"Объём конуса равен $88.$ Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объём меньшего конуса.[[image-1016]][[fill_choice_big-1223]]","widgets":{"image-1016":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/k12.svg","width":"200"},"fill_choice_big-1223":{"type":"fill_choice_big","options":["$11$","$44$","$33$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Объемы подобных фигур относятся как куб коэффициента подобия. Коэффициент подобия полученных конусов равен двум, значит объем меньшего конуса:$$88:2^3 = 11$$"]},{"content":"Объём конуса равен $64.$ Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объём меньшего конуса.[[image-1043]][[fill_choice_big-1492]]","widgets":{"image-1043":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/k12.svg","width":"200"},"fill_choice_big-1492":{"type":"fill_choice_big","options":["$8$","$32$","$21$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Объемы подобных фигур относятся как куб коэффициента подобия. Коэффициент подобия полученных конусов равен двум, значит объем меньшего конуса:$$64:2^3 = 8$$"]},{"content":"Объём конуса равен $8.$ Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объём меньшего конуса.[[image-1072]][[fill_choice_big-1709]]","widgets":{"image-1072":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/k12.svg","width":"200"},"fill_choice_big-1709":{"type":"fill_choice_big","options":["$1$","$4$","$3$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Объемы подобных фигур относятся как куб коэффициента подобия. Коэффициент подобия полученных конусов равен двум, значит объем меньшего конуса:$$8:2^3 = 1$$"]}]}

{"questions":[{"content":"В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами $7$ и $5.$ Боковые рёбра призмы равны $\\frac{8}{\\pi}$. Найдите объём цилиндра, описанного около этой призмы.[[image-1]][[fill_choice_big-94]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/k5.svg","width":"200"},"fill_choice_big-94":{"type":"fill_choice_big","options":["$148$","$74$","$35$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Так как в основании призмы прямоугольный треугольник вписан в окружность, его гипотенуза будет являться диаметром данной окружности:$$D=\\sqrt{a^2+b^2}=\\sqrt{7^2+5^2}=\\sqrt{74}$$ Радиус равен половине диаметра:$$R = \\frac{D}{2} = \\frac{\\sqrt{74}}{2}$$","Объем цилиндра равен произведению основания на высоту, которая совпадает с высотой призмы:$$V=S_{осн} \\cdot h$$ $$V=\\pi R^2 \\cdot h$$ $$V = \\pi \\cdot \\Big({ \\frac{\\sqrt{74}}{2}}\\Big)^2 \\cdot \\frac{8}{\\pi}=148$$"]},{"content":"В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами $1$ и $5.$ Боковые рёбра призмы равны $\\frac{4}{\\pi}$. Найдите объём цилиндра, описанного около этой призмы.[[image-4]][[fill_choice_big-171]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/k5.svg","width":"200"},"fill_choice_big-171":{"type":"fill_choice_big","options":["$26$","$52$","$20$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Так как в основании призмы прямоугольный треугольник вписан в окружность, его гипотенуза будет являться диаметром данной окружности:$$D=\\sqrt{a^2+b^2}=\\sqrt{1^2+5^2}=\\sqrt{26}$$ Радиус равен половине диаметра:$$R = \\frac{D}{2} = \\frac{\\sqrt{26}}{2}$$","Объем цилиндра равен произведению основания на высоту, которая совпадает с высотой призмы:$$V=S_{осн} \\cdot h$$ $$V=\\pi R^2 \\cdot h$$ $$V = \\pi \\cdot \\Big({ \\frac{\\sqrt{26}}{2}}\\Big)^2 \\cdot \\frac{4}{\\pi}=26$$"]},{"content":"В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами $8$ и $1.$ Боковые рёбра призмы равны $\\frac{4}{\\pi}$. Найдите объём цилиндра, описанного около этой призмы.[[image-9]][[fill_choice_big-233]]","widgets":{"image-9":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/k5.svg","width":"200"},"fill_choice_big-233":{"type":"fill_choice_big","options":["$65$","$130$","$64$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Так как в основании призмы прямоугольный треугольник вписан в окружность, его гипотенуза будет являться диаметром данной окружности:$$D=\\sqrt{a^2+b^2}=\\sqrt{8^2+1^2}=\\sqrt{65}$$ Радиус равен половине диаметра:$$R = \\frac{D}{2} = \\frac{\\sqrt{65}}{2}$$","Объем цилиндра равен произведению основания на высоту, которая совпадает с высотой призмы:$$V=S_{осн} \\cdot h$$ $$V=\\pi R^2 \\cdot h$$ $$V = \\pi \\cdot \\Big({ \\frac{\\sqrt{65}}{2}}\\Big)^2 \\cdot \\frac{4}{\\pi}=65$$"]},{"content":"Площадь большого круга шара равна $23.$ Найдите площадь поверхности шара.[[image-337]][[fill_choice_big-488]]","widgets":{"image-337":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/k6.svg","width":"200"},"fill_choice_big-488":{"type":"fill_choice_big","options":["$92$","$46$","$69$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Площадь круга вычисляется по формуле:$$S_{круга} = \\pi r^2$$ Площадь поверхности шара вычисляется по формуле:$$S_{шара}= 4 \\pi r^2$$","Найдем площадь поверхности шара:$$ 4 \\cdot 23 = 92$$"]},{"content":"Площадь большого круга шара равна $15.$ Найдите площадь поверхности шара.[[image-373]][[fill_choice_big-782]]","widgets":{"image-373":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/k6.svg","width":"200"},"fill_choice_big-782":{"type":"fill_choice_big","options":["$60$","$30$","$20$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Площадь круга вычисляется по формуле:$$S_{круга} = \\pi r^2$$ Площадь поверхности шара вычисляется по формуле:$$S_{шара}= 4 \\pi r^2$$","Найдем площадь поверхности шара:$$ 4 \\cdot 15 = 60$$"]},{"content":"Площадь большого круга шара равна $101.$ Найдите площадь поверхности шара.[[image-406]][[fill_choice_big-675]]","widgets":{"image-406":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/k6.svg","width":"200"},"fill_choice_big-675":{"type":"fill_choice_big","options":["$404$","$101$","$202$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Площадь круга вычисляется по формуле:$$S_{круга} = \\pi r^2$$ Площадь поверхности шара вычисляется по формуле:$$S_{шара}= 4 \\pi r^2$$","Найдем площадь поверхности шара:$$ 4 \\cdot 101 = 404$$"]},{"content":"Объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равен $36.$ Найдите объём треугольной пирамиды $ABDA_1.$[[image-983]][[fill_choice_big-1319]]","widgets":{"image-983":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/k7.svg","width":"300"},"fill_choice_big-1319":{"type":"fill_choice_big","options":["$6$","$12$","$18$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Объем пирамиды равен $\\frac{1}{3}$ объема параллелепипеда, основания и высоты с которым у них совпадают, но так как основание пирамиды в два раза меньше основания параллелепипеда, объем необходимо уменьшить еще в два раза:$$V = \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot 36 = 6$$"]},{"content":"Объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равен $54.$ Найдите объём треугольной пирамиды $ABDA_1.$[[image-1036]][[fill_choice_big-1556]]","widgets":{"image-1036":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/k7.svg","width":"300"},"fill_choice_big-1556":{"type":"fill_choice_big","options":["$9$","$6$","$27$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Объем пирамиды равен $\\frac{1}{3}$ объема параллелепипеда, основания и высоты с которым у них совпадают, но так как основание пирамиды в два раза меньше основания параллелепипеда, объем необходимо уменьшить еще в два раза:$$V = \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot 54 = 9$$"]},{"content":"Объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равен $60.$ Найдите объём треугольной пирамиды $ABDA_1.$[[image-1093]][[fill_choice_big-1791]]","widgets":{"image-1093":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/k7.svg","width":"300"},"fill_choice_big-1791":{"type":"fill_choice_big","options":["$10$","$30$","$20$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Объем пирамиды равен $\\frac{1}{3}$ объема параллелепипеда, основания и высоты с которым у них совпадают, но так как основание пирамиды в два раза меньше основания параллелепипеда, объем необходимо уменьшить еще в два раза:$$V = \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot 60 = 10$$"]}]}

{"questions":[{"content":"В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает $18\\spaceсм.$ На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в $3$ раза больше диаметра первого? Ответ дайте в сантиметрах.[[image-1]][[fill_choice_big-61]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/k1.svg","width":"300"},"fill_choice_big-61":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$9$","$6$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Площадь дна второго сосуда будет в $3^2$ раза больше, так как площадь круга зависит от квадрата радиуса:$$S=\\pi r^2$$","Значит, высота уровня жидкости будет в $9$ раз меньше:$$18:9=2$$"]},{"content":"В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает $8\\spaceсм.$ На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в $2$ раза больше диаметра первого? Ответ дайте в сантиметрах.[[image-6]][[fill_choice_big-36]]","widgets":{"image-6":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/k1.svg","width":"297"},"fill_choice_big-36":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$4$","$1$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Площадь дна второго сосуда будет в $2^2$ раза больше, так как площадь круга зависит от квадрата радиуса:$$S=\\pi r^2$$","Значит, высота уровня жидкости будет в $4$ раз меньше:$$8:4=2$$"]},{"content":"В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает $336\\spaceсм.$ На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в $4$ раза больше диаметра первого? Ответ дайте в сантиметрах.[[image-17]][[fill_choice_big-92]]","widgets":{"image-17":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/k1.svg","width":"300"},"fill_choice_big-92":{"type":"fill_choice_big","options":["$21$","$168$","$16$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Площадь дна второго сосуда будет в $4^2$ раза больше, так как площадь круга зависит от квадрата радиуса:$$S=\\pi r^2$$","Значит, высота уровня жидкости будет в $16$ раз меньше:$$336:16=21$$"]},{"content":"Во сколько раз увеличится объём куба, если все его ребра увеличить в пять раз?[[image-347]][[fill_choice_big-484]]","widgets":{"image-347":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/k2-3.svg","width":"300"},"fill_choice_big-484":{"type":"fill_choice_big","options":["$125$","$5$","$25$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Объем куба находится по формуле:$$V=a^3$$","Если ребро куба увеличить в $5$ раз, получим:$$V = (5a)^3 = 125a^3$$"]},{"content":"Во сколько раз увеличится объём куба, если все его ребра увеличить в два раза?[[image-376]][[fill_choice_big-465]]","widgets":{"image-376":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/k2-3.svg","width":"300"},"fill_choice_big-465":{"type":"fill_choice_big","options":["$8$","$4$","$2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Объем куба находится по формуле:$$V=a^3$$","Если ребро куба увеличить в $2$ раза, получим:$$V = (2a)^3 = 8a^3$$"]},{"content":"Во сколько раз увеличится объём куба, если все его ребра увеличить в три раза?[[image-409]][[fill_choice_big-446]]","widgets":{"image-409":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/k2-3.svg","width":"300"},"fill_choice_big-446":{"type":"fill_choice_big","options":["$27$","$9$","$3$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Объем куба находится по формуле:$$V=a^3$$","Если ребро куба увеличить в $3$ раза, получим:$$V = (3a)^3 = 27a^3$$"]},{"content":"Цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед. Радиус основания и высота цилиндра равны $15.$ Найдите объём параллелепипеда.[[image-1070]][[fill_choice_big-1247]]","widgets":{"image-1070":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/k4.svg","width":"300"},"fill_choice_big-1247":{"type":"fill_choice_big","options":["$13 \\space 500$","$225$","$3\\space375$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Объем параллелепипеда можно найти, перемножив его длину, ширину и высоту:$$V=abc$$","Так как цилиндр вписан в параллелепипед, его диаметр совпадает с шириной и длиной параллелепипеда. Диаметр в два раза больше радиуса:$$D=2r = 2 \\cdot 15 = 30 $$","Так как цилиндр вписан в параллелепипед, его высота совпадает с высотой параллелепипеда. Найдем объем параллелепипеда: $$V = 30 \\cdot 30 \\cdot 15 = 13 \\space 500$$"]},{"content":"Цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед. Радиус основания и высота цилиндра равны $3.$ Найдите объём параллелепипеда.[[image-1097]][[fill_choice_big-1356]]","widgets":{"image-1097":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/k4.svg","width":"300"},"fill_choice_big-1356":{"type":"fill_choice_big","options":["$108$","$27$","$9$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Объем параллелепипеда можно найти, перемножив его длину, ширину и высоту:$$V=abc$$","Так как цилиндр вписан в параллелепипед, его диаметр совпадает с шириной и длиной параллелепипеда. Диаметр в два раза больше радиуса:$$D=2r = 2 \\cdot 3 = 6 $$","Так как цилиндр вписан в параллелепипед, его высота совпадает с высотой параллелепипеда. Найдем объем параллелепипеда: $$V = 6 \\cdot 6 \\cdot 3 = 108$$"]},{"content":"Цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед. Радиус основания и высота цилиндра равны $2.$ Найдите объём параллелепипеда.[[image-1126]][[fill_choice_big-1472]]","widgets":{"image-1126":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/k4.svg","width":"300"},"fill_choice_big-1472":{"type":"fill_choice_big","options":["$32$","$16$","$64$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Объем параллелепипеда можно найти, перемножив его длину, ширину и высоту:$$V=abc$$","Так как цилиндр вписан в параллелепипед, его диаметр совпадает с шириной и длиной параллелепипеда. Диаметр в два раза больше радиуса:$$D=2r = 2 \\cdot 2 = 4 $$","Так как цилиндр вписан в параллелепипед, его высота совпадает с высотой параллелепипеда. Найдем объем параллелепипеда: $$V = 4 \\cdot 4 \\cdot 2 = 32$$"]}]}