Множества
Множество — одно из наиболее важных понятий математики. На этом уроке мы расскажем, что это такое, разберём, что такое элементы множества, конечные и бесконечные множества и другие термины, связанные с понятием множества.
Что такое множество?
Когда мы говорим о множестве, мы подразумеваем набор связанных друг с другом объектов.
Такие объекты называют элементами этого множества.
И если твой класс – это множество, тогда ученики класса – элементы множества.
Для записи множества используют фигурные скобки. Попробуем записать множество цветов радуги:
$\{$ Красный, оранжевый, желтый, зелёный, голубой, синий, фиолетовый $\}$
Конечные и бесконечные множества. Обозначения множеств
Множества могут быть конечными и бесконечными. Например, множество парт в классе, множество пальцев на руке, множество стран мира – конечные, а множество натуральных чисел, множество прямоугольников – бесконечные множества.
Если элементами множества являются числа, то такое множество мы называем числовым.
Например, $\{1,3,5,7,9\}$ – множество нечётных чисел, $\{1,2,3,4,5\}$ – множество натуральных чисел, меньших $6$.
Все элементы множества должны отличаться друг от друга. В числовом множестве не может быть повторяющихся чисел.
Чтобы множества было легко отличить друг от друга, их обозначают прописными буквами латинского алфавита: $$A=\{1,2,3,4,5\}$$
Принадлежность к множеству. Пустые множества
Если какой-то элемент принадлежит множеству — это значит, что элемент находится в этом множестве.
Каждое из чисел $1, 2, 3, 4, 5$ принадлежит множеству $A$. Слово «принадлежит» заменяют знаком $\in$. Выглядит это так: $1 \in A$ (читается «число $1$ принадлежит множеству $A$»).
Другие числа ему не принадлежат. Вместо слов «не принадлежит» используют знак $\notin$. Записать можно так: $6 \notin А$ (читается «число $6$ не принадлежит множеству $А$»).
примеры
- Множество натуральных чисел $M$, меньших числа $2$, состоит всего из одного элемента: $M=\{1\}$.
- Множество натуральных чисел $N$, меньших числа $1$, не содержит ни одного элемента.
Множество, в котором не содержится ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначают знаком $\varnothing$.
Множество $N$ – пустое: $N=\varnothing$.
Объединение и пересечение множества
пример
Рассмотрим множество учеников класса.
Пять учеников ходят в шахматный кружок, а восемь учеников занимаются футболом, при этом в классе всего десять учеников.
Трое ходят и на шахматы, и на футбол.
Обозначим множество учеников, которые ходят в шахматный кружок, буквой $A$, а множество учеников, занимающихся футболом, буквой $B$.
Тогда множество всех учеников класса – объединение множеств $A$ и $B$:
А множество учеников, которые ходят и на шахматы, и на футбол – общая часть (пересечение) множеств $A$ и $B$:
Чтобы обозначить объединение множеств, в математике используют знак $\cup$: $$A \cup B$$
Для обозначения общей части (пересечения) множеств используют знак $\cap$: $$A \cap B$$
Практика
задача
Дано два множества:
$А=\{22,23,24,25,26\}$ и $B=\{21,23,25,27\}$.
Найдите $A \cup B$ и $A \cap B$.
Показать решение
Скрыть
Для начала запишем объединение этих множеств, то есть все числа, которые входят в эти множества: $$A \cup B=\{21,22,23,24,25,26,27\}$$
Обратите внимание, что даже если число есть одновременно в двух множествах, как, например, $23$, мы записываем его только один раз, так как в множестве не должно быть одинаковых элементов.
Теперь определим их пересечение (общую часть): $$A \cap B=\{23,25\}$$
Ответ: $A \cup B=\{21,22,23,24,25,26,27\}$, $A \cap B=\{23,25\}$.
Подмножество
Подмножество — это определённая часть множества. Если одно множество является частью другого множества, то его называют подмножеством.
Например, если множество всех учеников класса обозначить как $А$, то множество девочек этого класса будет являться подмножеством $А$.
пример
Посмотрите на изображение множества геометрических фигур. Какие подмножества в нем можно выделить?
Очевидно, что внутри множества фигур можно выделить два подмножества на основании количества углов.
Давайте обозначим множество треугольников буквой $A$:$A=\{m,n,p\}$, а множество прямоугольников буквой $B$: $B=\{k,o\}$.
Тогда множество $A \cup B$ – множество всех фигур на картинке, то есть $$A \cup B=\{m,n,p,k,o\}$$
Теперь обозначим множество зелёных фигур буквой $C$: $$C=\{m,n,o\}$$
Что представляет собой множество $A\cap C$?
$A\cap C$ – множество зелёных треугольников $D$, то есть $D=\{m,n\}$
Обозначим буквой $E$ множество голубых фигур: $$E=\{k\}$$ Давайте определим, что является множеством пересечения $A\cap E$? У множеств $A$ (треугольники) и $E$ (голубые фигуры) нет общих элементов, а значит они не пересекаются. $$A\cap E=\varnothing$$
Множество зелёных треугольников $D$ является частью множества всех треугольников $A$. Можно записать так:
$D \subset A$
(здесь $\subset$ – знак включения)
В таком случае говорят, что множество $D$ – подмножество множества $A$.
Принято считать, что пустое множество является подмножеством любого множества:$$\varnothing\subset A$$
А также само множество является своим подмножеством: $$A\subset A$$
Часто задаваемые вопросы
Пустое множество — это множество, которое не содержит ни одного элемента. Пример: множество людей, которые побывали на Венере. На данный момент таких людей не существует, поэтому это пустое множество.
Подмножество — это множество, все элементы которого принадлежат другому, более крупному множеству.
Конечные множества: множество учеников в классе, множество букв в алфавите, множество дней в неделе.
Бесконечные множества: множество всех натуральных чисел, множество всех точек на прямой, множество всех иррациональных чисел.
Да, является. Равносторонний треугольник — это частный случай треугольника, у которого все стороны равны. Поскольку любой равносторонний треугольник удовлетворяет определению треугольника (треугольник — это многоугольник с тремя сторонами), то множество равносторонних треугольников является подмножеством множества всех треугольников.
5
5
1
5
Оценить урок
Что можно улучшить?
Войдите, чтобы оценивать уроки
Что нужно исправить?
Отзыв отправлен. Спасибо, что помогаете нам стать лучше!
Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.
❕