Графы: вершины, ребра, степени, обход

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"[[image-1]]Чему равна степень вершины $A$ графа на рисунке? [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/gktq3rzrf9zl.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Степень вершины — число ребер, выходящих из нее.","Из $A$ выходят ребра к $B$, $C$, $D$ и $E$.","Ответ: $4$."],"step":1},{"id":"1","content":"[[image-2]]Чему равна степень вершины $E$ графа на рисунке? [[input-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/pbfpa08qfs7s.svg"},"input-2":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Степень вершины — число ребер, выходящих из нее.","Из $E$ выходят ребра к $B$, $D$ и $F$.","Ответ: $3$."],"step":1},{"id":"2","content":"Сумма степеней вершин графа равна $36$. Значит, в графе [[fill_choice-1]] ребер.","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["72","36","18","9"],"answer":2}},"hints":["Сумма степеней вдвое больше числа ребер.","$36 : 2 = 18$.","Ответ: $18$."],"step":1},{"id":"2","content":"Сумма степеней вершин графа равна $50$. Значит, в графе [[fill_choice-2]] ребер.","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["100","25","12","50"],"answer":1}},"hints":["Сумма степеней вдвое больше числа ребер.","$50 : 2 = 25$.","Ответ: $25$."],"step":1},{"id":"3","content":"На встрече было $7$ человек, и каждый пожал руку каждому. Сколько было рукопожатий? [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"21"}},"hints":["Каждый пожал руку шестерым: $7 \\cdot 6 = 42$, но каждое рукопожатие посчитано дважды.","$42 : 2 = 21$.","Ответ: $21$."],"step":1},{"id":"3","content":"На турнире $9$ шахматистов, и каждый сыграл с каждым по одной партии. Сколько партий сыграно? [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"36"}},"hints":["Каждый сыграл с восьмью: $9 \\cdot 8 = 72$, но каждая партия посчитана дважды.","$72 : 2 = 36$.","Ответ: $36$."],"step":1},{"id":"4","content":"Сопоставьте данные о графе и вывод из них. Один вариант лишний.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["В графе $6$ ребер","В графе $9$ ребер","Сумма степеней вершин равна $14$","Сумма степеней вершин равна $20$"],"items":["Сумма степеней равна $12$","Сумма степеней равна $18$","В графе $7$ ребер","В графе $10$ ребер","В графе $28$ ребер"]}},"hints":["Каждое ребро добавляет по единице к степеням двух вершин, поэтому сумма степеней вдвое больше числа ребер.","$6$ ребер — сумма $12$; $9$ ребер — сумма $18$; сумма $14$ — ребер $14 : 2 = 7$; сумма $20$ — ребер $10$.","Ответ: лишний вариант «ребер $28$» — в нем сумму степеней удвоили, а не разделили пополам."],"step":1},{"id":"4","content":"Сопоставьте данные о графе и вывод из них. Один вариант лишний.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["В графе $8$ ребер","В графе $11$ ребер","Сумма степеней вершин равна $12$","Сумма степеней вершин равна $26$"],"items":["Сумма степеней равна $16$","Сумма степеней равна $22$","В графе $6$ ребер","В графе $13$ ребер","В графе $24$ ребер"]}},"hints":["Каждое ребро добавляет по единице к степеням двух вершин, поэтому сумма степеней вдвое больше числа ребер.","$8$ ребер — сумма $16$; $11$ ребер — сумма $22$; сумма $12$ — ребер $12 : 2 = 6$; сумма $26$ — ребер $13$.","Ответ: лишний вариант «ребер $24$» — в нем сумму степеней удвоили, а не разделили пополам."],"step":1},{"id":"5","content":"На школьной встрече каждый участник пожал руку каждому другому. Всего было $45$ рукопожатий. Сколько было участников? [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"10"}},"hints":["Если участников $n$, то рукопожатий $n \\cdot (n-1) : 2 = 45$, откуда $n \\cdot (n-1) = 90$.","Подберите два соседних числа с произведением $90$: $10 \\cdot 9$.","Ответ: $10$ участников."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"В турнире по шашкам каждый сыграл с каждым по одной партии. Всего сыграно $66$ партий. Сколько было участников? [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"12"}},"hints":["Если участников $n$, то партий $n \\cdot (n-1) : 2 = 66$, откуда $n \\cdot (n-1) = 132$.","Подберите два соседних числа с произведением $132$: $12 \\cdot 11$.","Ответ: $12$ участников."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"В классе $7$ учеников. Может ли быть так, что каждый из них дружит ровно с тремя одноклассниками?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Нет: сумма степеней $21$ нечетная, а должна быть четной","Нет: у одного ученика не может быть трех друзей","Да: достаточно правильно распределить дружбы","Да: $21$ делится на $3$ и на $7$"],"explanations":["","Три друга у одного ученика — обычная ситуация; невозможно именно для всех семи сразу","Никакое распределение не изменит четность суммы степеней","Делимость на 3 и на 7 ничего не говорит о ребрах: нужна четность суммы"],"answer":[0]}},"hints":["Нарисуйте граф: ученики — вершины, дружба — ребро. У каждой из $7$ вершин степень $3$.","Сумма степеней $7 \\cdot 3 = 21$ — нечетная, а должна быть равна удвоенному числу ребер.","Ответ: нет, так быть не может."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"В турнире участвуют $5$ команд. Может ли быть так, что каждая команда сыграла ровно три матча?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Да: $15$ делится на $3$ и на $5$","Нет: сумма степеней $15$ нечетная, а должна быть четной","Да: достаточно правильно составить расписание","Нет: команда не может сыграть три матча"],"explanations":["Делимость на 3 и на 5 ничего не говорит о матчах: нужна четность суммы","","Никакое расписание не изменит четность суммы степеней","Три матча у одной команды — обычная ситуация; невозможно именно для всех пяти сразу"],"answer":[1]}},"hints":["Нарисуйте граф: команды — вершины, матч — ребро. У каждой из $5$ вершин степень $3$.","Сумма степеней $5 \\cdot 3 = 15$ — нечетная, а должна быть равна удвоенному числу матчей.","Ответ: нет, так быть не может."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"[[image-3]]На рисунке граф с вершинами $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$. Решавр посчитал точку, где пересекаются линии $A$–$D$ и $B$–$E$, еще одной вершиной: у него получилось $7$ вершин и $10$ ребер. Сколько ребер в графе на самом деле?[[choice-3]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/0d0mobyhxbea.svg"},"choice-3":{"type":"choice","options":["$7$: ребер столько же, сколько вершин вместе с точкой пересечения","$6$: пересекающиеся линии ребрами не считаются","$8$: пересечение линий — не вершина, $A$–$D$ и $B$–$E$ — по одному ребру","$10$: точка пересечения делит каждую из двух линий на два ребра"],"explanations":["Число ребер не связано с числом вершин, а точка пересечения вершиной не является","Линии могут пересекаться на рисунке, это не мешает им быть ребрами; граф можно перерисовать без пересечения","","Это ошибка Решавра: ребро соединяет две вершины, а точка пересечения без метки вершиной не является"],"answer":[2]}},"hints":["Вершины графа отмечены точками с буквами. Точка пересечения линий без метки — не вершина: ребро $A$–$D$ проходит мимо ребра $B$–$E$.","Значит, $A$–$D$ и $B$–$E$ — по одному ребру, а не по два. Ребер: $6$ по контуру и $2$ внутри, всего $8$.","Ответ: $8$ ребер."],"step":1},{"id":"7","content":"[[image-4]]На рисунке граф с вершинами $A$, $B$, $C$, $D$, $E$. Решавр посчитал точку, где пересекаются линии $A$–$C$ и $B$–$D$, еще одной вершиной: у него получилось $6$ вершин и $9$ ребер. Сколько ребер в графе на самом деле?[[choice-4]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/gjanak2pivep.svg"},"choice-4":{"type":"choice","options":["$6$: ребер столько же, сколько вершин вместе с точкой пересечения","$7$: пересечение линий — не вершина, $A$–$C$ и $B$–$D$ — по одному ребру","$9$: точка пересечения делит каждую из двух линий на два ребра","$5$: пересекающиеся линии ребрами не считаются"],"explanations":["Число ребер не связано с числом вершин, а точка пересечения вершиной не является","","Это ошибка Решавра: ребро соединяет две вершины, а точка пересечения без метки вершиной не является","Линии могут пересекаться на рисунке, это не мешает им быть ребрами; граф можно перерисовать без пересечения"],"answer":[1]}},"hints":["Вершины графа отмечены точками с буквами. Точка пересечения линий без метки — не вершина: ребро $A$–$C$ проходит мимо ребра $B$–$D$.","Значит, $A$–$C$ и $B$–$D$ — по одному ребру, а не по два. Ребер: $5$ по контуру и $2$ внутри, всего $7$.","Ответ: $7$ ребер."],"step":1},{"id":"8","content":"В графе пять вершин, степени которых равны $4$, $3$, $3$, $2$, $2$. Решавр сложил степени, получил $14$ и решил, что в графе $14$ ребер. Где ошибка?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Ребер вдвое больше суммы: $28$","Ребер на единицу меньше суммы: $13$","Ошибки нет: степень вершины и есть число ребер","Каждое ребро учтено в степенях двух вершин, поэтому ребер вдвое меньше: $7$"],"explanations":["Удваивают в обратную сторону: ребро дает вклад в две степени, значит, ребер меньше суммы","Вычитают единицу вместо деления на два","Степень — число ребер у одной вершины, а в сумме каждое ребро встречается дважды",""],"answer":[3]}},"hints":["Каждое ребро входит в степени двух вершин, поэтому сумма степеней посчитана по каждому ребру дважды.","Число ребер: $14 : 2 = 7$.","Ответ: ребер $7$, а не $14$."],"step":1},{"id":"8","content":"В графе шесть вершин, степени которых равны $5$, $4$, $3$, $2$, $2$, $2$. Решавр сложил степени, получил $18$ и решил, что в графе $18$ ребер. Где ошибка?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Ребер вдвое больше суммы: $36$","Ошибки нет: степень вершины и есть число ребер","Ребер на шесть меньше суммы: $12$","Каждое ребро учтено в степенях двух вершин, поэтому ребер вдвое меньше: $9$"],"explanations":["Удваивают в обратную сторону: ребро дает вклад в две степени, значит, ребер меньше суммы","Степень — число ребер у одной вершины, а в сумме каждое ребро встречается дважды","Вычитают число вершин вместо деления на два",""],"answer":[3]}},"hints":["Каждое ребро входит в степени двух вершин, поэтому сумма степеней посчитана по каждому ребру дважды.","Число ребер: $18 : 2 = 9$.","Ответ: ребер $9$, а не $18$."],"step":1},{"id":"9","content":"Пять островов $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ соединены мостами, с любого острова можно дойти до любого. Число мостов: $A$ — $3$, $B$ — $3$, $C$ — $1$, $D$ — $2$, $E$ — $3$. Решавр говорит: «Сейчас пройти по каждому мосту ровно один раз нельзя. Построим один новый мост между $C$ и $D$ — и такая прогулка появится». Прав ли Решавр?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Прав: остров $C$ с одним мостом станет четным","Прав: острова связаны, а мостов станет $7$","Не прав: мост $C$–$D$ делает $D$ нечетным, нечетных островов остается четыре","Не прав: одним мостом четыре нечетные вершины не исправить"],"explanations":["$C$ станет четным, но $D$ из четного превратится в нечетный: нечетных по-прежнему четыре","Связность и число мостов обход не гарантируют: считайте нечетные вершины после постройки — их четыре","","Можно: мост между двумя нечетными островами, например $A$–$B$, оставит две нечетные вершины"],"answer":[2]}},"hints":["Острова — вершины, мосты — ребра. Сейчас нечетных вершин четыре: $A$, $B$, $C$, $E$ — обхода нет.","Мост $C$–$D$ добавляет по $1$ к степеням $C$ и $D$: $C$ станет четной ($2$), а $D$ — нечетной ($3$). Нечетных снова четыре: $A$, $B$, $D$, $E$.","Ответ: Решавр не прав; новый мост должен соединить два нечетных острова, например $A$ и $B$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"В парке шесть полян $P$, $Q$, $R$, $S$, $T$, $U$ соединены тропинками, с любой поляны можно дойти до любой. Число тропинок: $P$ — $1$, $Q$ — $3$, $R$ — $2$, $S$ — $2$, $T$ — $3$, $U$ — $1$. Решавр говорит: «Сейчас пройти по каждой тропинке ровно один раз нельзя. Проложим одну новую тропинку между $R$ и $U$ — и такой маршрут появится». Прав ли Решавр?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["Не прав: тропинка $R$–$U$ делает $R$ нечетной, нечетных полян остается четыре","Прав: тупиковая поляна $U$ станет четной","Не прав: одной тропинкой четыре нечетные вершины не исправить","Прав: поляны связаны, а тропинок станет $7$"],"explanations":["","$U$ станет четной, но $R$ из четной превратится в нечетную: нечетных по-прежнему четыре","Можно: тропинка между двумя нечетными полянами, например $P$–$U$, оставит две нечетные вершины","Связность и число тропинок обход не гарантируют: считайте нечетные вершины после постройки — их четыре"],"answer":[0]}},"hints":["Поляны — вершины, тропинки — ребра. Сейчас нечетных вершин четыре: $P$, $Q$, $T$, $U$ — обхода нет.","Тропинка $R$–$U$ добавляет по $1$ к степеням $R$ и $U$: $U$ станет четной ($2$), а $R$ — нечетной ($3$). Нечетных снова четыре: $P$, $Q$, $R$, $T$.","Ответ: Решавр не прав; новая тропинка должна соединить две нечетные поляны, например $P$ и $U$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"[[image-5]]В связном графе на рисунке четыре вершины нечетной степени, поэтому обойти его за один проход нельзя. Какое одно ребро нужно добавить, чтобы обход стал возможен?[[choice-9]]","widgets":{"image-5":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/lxddigxdv2zh.svg"},"choice-9":{"type":"choice","options":["$C$–$E$","$A$–$D$","Любое ребро: граф уже связный","$B$–$D$"],"explanations":["","Ребро соединяет нечетную вершину с четной: нечетная $A$ станет четной, а $D$ — нечетной, и нечетных останется четыре","Связность не решает дела: нужно, чтобы нечетных вершин осталось не больше двух","Ребро соединяет нечетную вершину с четной: нечетные вершины лишь меняются местами, их по-прежнему четыре"],"answer":[0]}},"hints":["Нечетные вершины: $A$, $B$, $C$ и $E$. Нужно оставить две нечетные вершины, значит, соединить ребром две из них, между которыми ребра еще нет.","Ребра $A$–$B$, $A$–$C$, $A$–$E$, $B$–$C$, $B$–$E$ уже есть; нет ребра $C$–$E$. После его добавления нечетными останутся $A$ и $B$.","Ответ: ребро $C$–$E$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"[[image-6]]В связном графе на рисунке четыре вершины нечетной степени, поэтому обойти его за один проход нельзя. Какое одно ребро нужно добавить, чтобы обход стал возможен?[[choice-10]]","widgets":{"image-6":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/mv7zwlvh2qlb.svg"},"choice-10":{"type":"choice","options":["$B$–$D$","$A$–$E$","Никакое: граф уже связный, и обход есть","$A$–$D$"],"explanations":["Ребро соединяет четную $B$ с нечетной $D$: $B$ станет нечетной, $D$ — четной, и нечетных вершин по-прежнему четыре","Ребро соединяет нечетную $A$ с четной $E$: $A$ станет четной, $E$ — нечетной, и нечетных вершин по-прежнему четыре","Обход возможен только при нуле или двух нечетных вершинах, а здесь их четыре",""],"answer":[3]}},"hints":["Нечетные вершины: $A$, $C$, $D$ и $F$. Нужно соединить ребром две из них, между которыми ребра еще нет.","Ребра $A$–$C$, $A$–$F$, $C$–$D$, $D$–$F$ уже есть; нет ребра $A$–$D$. После его добавления нечетными останутся $C$ и $F$.","Ответ: ребро $A$–$D$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>