Параллельные прямые. Аксиома параллельности

Эх, параллельность. Занимательный факт: древнегреческое слово «παράλληλος» (в латинизированной форме — ‘parallelos’) дословно переводится как «рядом идущий».

Попробуйте представить себе две прямые, которые бы наглядно показывали перевод слова. Что за картинка возникла у вас в голове? Как подобные прямые будут располагаться относительно друг друга? Будут ли пересекаться?

Параллельные прямые: определение

{"questions":[{"content":"[[image-1]] Итого, какой из предложенных чертежей лучше всего, по вашему мнению, отражает концепцию «<i>рядом идущие прямые</i>»? [[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/02/test-parallel.svg"},"choice-6":{"type":"choice","options":["Пара прямых «1»","Пара прямых «2»","Пара прямых «3»"],"answer":[0]}}}]}

Поздравляем, если вам удалось дать правильный ответ. Подводя промежуточный итог нашим знаниям о прямых, мы можем сказать, что прямые располагаются на плоскости, либо пересекаясь друг с другом, либо не пересекаясь. Случай, когда прямые не пересекаются, определяется в геометрии термином «параллельность».  

Для примера отдельно проведем две прямые $a$ и $b$.

Прямые, как мы помним, могут продолжаться бесконечно в обе стороны. Выходит, что при условии параллельности на бесконечном пространстве плоскости у прямых $a$ и $b$ не будет ни одной точки пересечения.

Тогда скажем, что:

Параллельные прямые — прямые, не имеющие на плоскости точек пересечения.

Не только прямые могут быть параллельными. Возьмем все так же две параллельные прямые $a$ и $b$ и отметим на них по две точки $A, B$ и $C, D$ соответственно. Полученные отрезки $AB$ и $СD$ — части прямых $a$ и $b$ — тоже будут параллельны. Говорить можно и о параллельности лучей в том числе.

Параллельность тоже имеет особое обозначение в геометрии. В виде знака «$\parallel$» — двух продолговатых вертикальных прямых.

Параллельность прямых $a$ и $b$ из примера выше записывают следующим образом: $a\parallel{b}$. Отрезков — $AB\parallel{CD}$. Параллельность лучей — $A\parallel{B}$.

{"questions":[{"content":"Вспомним изученные геометрические знаки. Задача: расположить знаки согласно отражаемым ими определениям. [[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$\\parallel$","$\\perp$","$\\bigtriangleup$","$\\in$ / $\\notin$"],"items":["Параллельность","Перпендикулярность","Знак треугольника","Принадлежность"]}}}]}

Параллельные прямые в античности

Впервые понятие об идущих рядом прямых встречается в первой книге «Начал» Эвклида, датированной III веком до нашей эры. Древнегреческий математик дал определение параллельным прямым не сказать, что далекое от современного. В переводе с оригинала звучит так:

«Параллельные суть прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи продолжены в обе стороны в неопределенность, ни с той, ни с другой стороны между собой не встречаются».

Выбор слов интересный — «εἰς ἄπειρον», оно же «в неопределенность». Современные математические рассуждения, наоборот, не стесняются изобиловать словами наподобие «бесконечность».

Мы научились принимать и частично понимать стремление математики к тому, что не имеет конца. Греки, напротив, безграничности страшились. Поэтому в античных научных трудах просто невозможно встретить термин «бесконечность». Максимум, что допускалось — «неопределенность».

Что такое аксиомы

В течение многих предыдущих уроков мы неоднократно сталкивались с теоремами — положениями, которые в обязательном порядке нуждаются в доказательствах. Наука, разумеется, не может сразу проистекать из теорем, поскольку изначально для формулировки теоремы требуются положения, что закладывают основы. Как кирпичи.

Подобные «теоремы», помогающие закладывать основы и не требующие при этом доказательств, называются аксиомами (от др.-греч. «ἀξίωμα» — рус. «утверждение»).

Аксиома — утверждение, принимаемое в рамках некоторой науки истинным без доказательства и используемое для доказательств прочих утверждений (теорем).

Зачем в геометрии нужны аксиомы?

Вспомним ранее доказанную теорему о смежных углах: «Сумма смежных углов равняется $180^{\circ}$».

Итак, смежные углы образуются вследствие пересечения двух прямых. Значит, не обойтись без определения прямой — что она действительно всегда прямая, не прерывающаяся и нигде не изгибающаяся. Во-вторых, нужно понимание, что у двух прямых может быть только одна точка пересечения. В-третьих, что градусная мера развернутого угла складывается из мер углов, на которые он разбивается лучами.

{"questions":[{"content":"Давайте подытожим вкратце. Есть теорема. Есть аксиома. Между ними — отличие в одной важной вещи, которая начинается на букву «д». Что же это за вещь? [[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Доказательство","Догматичность","Довод"],"explanations":["Теорему от аксиомы отличает нюанс с доказательством. Конечно! Аксиома принимается бездоказательно, в качестве основы. Теорема — нет.","",""],"answer":[0]}}}]}

Основные аксиомы геометрии

Родоначальником геометрических базисов, конечно же, был Евклид. Он первым сформулировал основные аксиомы геометрии как науки в «Началах» и дал ключевые определения, которые, хоть и частично видоизмененные, но сохранились до наших дней. Как, например, с античным определением параллельных прямых.  

Для удобства запоминания основные аксиомы принято разбивать на пять следующих групп:

• принадлежности;
• расположения;
• откладывания;
• измерения;
• аксиома параллельности.

Немного полезной мнемоники

Из первых букв признаков аксиом можно сложить слово «ПИРОП». Пиро́п — это камушек, по цвету напоминающий гранат. Если использовать его в качестве акронима, то выходит: «п — принадлежность», «и — измерение», «р — расположение», «о — откладывание», «п — параллельность». 

Параллельность — в конце, ведь это единственная группа, включающая только одну аксиому. Итого, вы не только запоминаете группы аксиом, но еще добавляете в словарный запас интересное слово для минерала.

Многие из них интуитивно понятны, поэтому затрагиваются в курсе геометрии по тексту косвенно — так скажем, без выделения «в рамочку».

К примеру, при изучении точек и прямых мы говорили, что точки могут либо принадлежать прямой, либо ей не принадлежать. На самом деле это — одна из аксиом принадлежности: «Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие ей и не принадлежащие ей».

{"questions":[{"content":"Пусть имеется луч $A$. Нам необходимо от начальной точки $A$ отложить отрезок $AB$ длиной $10~см$. Какие из представленных аксиом потребуются для осуществления данного действия? Выберете <b>две</b>. [[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины и притом только один.","Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.","Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость и притом только одну.","Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой."],"answer":[0,3]}},"step":1,"hints":["Отрезок можно отложить только если мы берем за основу как таковую возможность его откладывания.","Плюс необходимо обозначить момент с длиной."]}]}

Аксиома параллельности

Аксиома параллельности. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Начертим на плоскости прямую $a$ и также отметим не лежащую на прямой $a$ точку $F$. Согласно положению аксиомы параллельности, через точку $F$ может проходить только одна прямая, параллельная прямой $a$. Выделим такую прямую на чертеже как прямую $b$.

Действительно, если провести через точку $F$ еще одну прямую — прямую $b_1$, — не совпадающую с прямой $b$, то при продолжении прямых, $a$ и $b_1$ непременно пересекутся.

Наш вывод с прямой $b_1$ формально доказательством не считается: положение о единственности параллельной прямой, несмотря на сложность формулировки, принимается как данность.