10 класс Геометрия Введение в стереометрию и пространственные фигуры Простейшие задачи на сечение

Простейшие сечения куба и тетраэдра

Содержание

Вы уже умеете изображать куб и тетраэдр на плоскости и знаете аксиомы А1–А3. В этом уроке научимся строить сечение куба и тетраэдра плоскостью, проходящей через три точки на ребрах, проверять построение и называть вид сечения. Держите в голове вопрос: можно ли распилить кубик так, чтобы срез оказался правильным шестиугольником?

Сечение — это след пилы на гранях

Возьмем деревянный кубик и отпилим у него угол. Полотно пилы плоское, поэтому оно движется в одной плоскости. На каждой грани, которую полотно прорезало, остается прямой пропил. Вместе пропилы образуют замкнутый контур — многоугольник.

На рисунке пила прошла через точки $M$, $N$, $K$ на ребрах $C_1B_1$, $C_1D_1$, $C_1C$. Полотно задело три грани, сходящиеся в вершине $C_1$, и оставило на них три пропила: $MN$, $NK$, $KM$.

Куб: плоскость через середины ребер C₁B₁, C₁D₁, C₁C отпиливает угол у вершины C₁ — сечение треугольник — Плоскость задела три грани — на каждой один пропил, сечение $MNK$ — треугольник

Определение

Секущая плоскость многогранника — плоскость, по обе стороны от которой есть точки многогранника. Сечение — многоугольник, сторонами которого служат отрезки, по которым секущая плоскость пересекает грани многогранника.

Из определения сразу видно главное: каждая сторона сечения лежит в какой-то грани. Сечение — это след на поверхности, а не отпиленный кусок тела и не вся плоскость.

{"questions":[{"content":"Что называют сечением многогранника плоскостью?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Часть многогранника, которую отсекла плоскость, вместе с его гранями","Линия, по которой пересекаются две соседние грани многогранника","Плоскость, которая проходит внутри многогранника и пересекает его","Многоугольник, по которому плоскость пересекает поверхность многогранника"],"explanations":["Это отсеченная часть тела, а не сечение: сечение — многоугольник","Это ребро многогранника, а не сечение","Сечение — не плоскость, а многоугольник на ней",""],"answer":[3]}},"hints":["Плоскость «пилит» многогранник.","След пилы на поверхности — многоугольник, стороны которого лежат в гранях."],"step":1},{"content":"[[image-1]]Куб рассечен плоскостью через середины ребер $AB$, $AD$, $AA_1$ (на чертеже выделено). Какая фигура получилась в сечении?[[choice-2]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/vt6mlnliv0b8.svg"},"choice-2":{"type":"choice","options":["Четырехугольник","Треугольник","Шестиугольник","Пятиугольник"],"explanations":["Плоскость пересекает только три грани, значит, сторон три","","Шестиугольник получается, когда плоскость пересекает все шесть граней","Сторон не больше числа пересекаемых граней, а их три"],"answer":[1]}},"hints":["Все три точки лежат на ребрах, сходящихся в вершине $A$.","Плоскость отсекает угол куба, сечение — треугольник."],"step":1}],"mix":1}

Соединять можно только точки одной грани

Почему пропил на грани получается прямым отрезком? Секущая плоскость и плоскость грани имеют общие точки, а по А3 две плоскости пересекаются по прямой. Значит, на одной грани не бывает изогнутого или двойного следа: это один отрезок.

Отсюда способ построения. Три точки на ребрах, не лежащие на одной прямой, задают секущую плоскость (А1) — так пила встает в единственное положение. Если две точки сечения лежат в одной грани, то по А2 вся прямая через них лежит и в плоскости грани, и в секущей плоскости. Значит, отрезок между ними — сторона сечения.

Алгоритм построения сечения по трем точкам

Для каждой пары данных точек найдите грань, в которой лежат обе точки.
Если общая грань есть, соедините точки отрезком: это сторона сечения (А2).
Если общей грани нет, точки не соединяйте: отрезок прошел бы внутри тела.
Если ломаная не замкнулась, найдите новые точки на ребрах: через точку в грани, противоположной грани с построенным отрезком, проведите параллельный ему отрезок до ребра (раздел 4); затем соедините новую точку с данной по общей грани.
Проверьте: каждая сторона лежит в одной грани, в каждой грани не больше одного отрезка, ломаная замкнута.

Пример 1

Постройте сечение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $4$ плоскостью $A_1BD$ и назовите его вид.

Решение. Проверим пары точек. $A_1$ и $B$ лежат в грани $ABB_1A_1$, соединяем: $A_1B$ — диагональ этой грани. $B$ и $D$ лежат в грани $ABCD$, соединяем: $BD$. $A_1$ и $D$ лежат в грани $AA_1D_1D$, соединяем: $A_1D$. Ломаная замкнулась, сечение — треугольник $A_1BD$.

Каждая его сторона — диагональ квадрата со стороной $4$. По теореме Пифагора $A_1B = BD = A_1D = \sqrt{4^2+4^2} = 4\sqrt{2}$.

Ответ: равносторонний треугольник $A_1BD$ со стороной $4\sqrt{2}$.

Куб: сечение A₁BD — треугольник, каждая сторона — диагональ грани — Каждая сторона треугольника $A_1BD$ лежит в своей грани и равна диагонали грани

{"questions":[{"content":"При построении сечения соединяют отрезком две точки, лежащие в одной [[fill_choice-1]] многогранника.","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":[["диагонали куба",""],"грани",["вершине",""],["плоскости чертежа",""]],"answer":1}},"instruction":"Заполните пропуск","hints":["Это следует из А2: в грани лежат обе точки, значит, лежит и отрезок."]},{"content":"Точки $M$, $N$, $K$, $P$ — середины ребер $A_1D_1$, $BB_1$, $CD$, $AA_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Распределите пары точек: какие можно соединить отрезком по одной грани куба, а какие нельзя.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Можно соединить","Нельзя соединить"],"items":[["$M$ и $P$","$N$ и $P$"],["$M$ и $N$","$N$ и $K$","$K$ и $P$","$M$ и $K$"]]}},"instruction":"Распределите по группам","hints":["Стороной сечения соединяют только точки одной грани (А2).","Для каждой точки выпишите две грани, в которых лежит ее ребро.","Общая грань есть у пар $M$ и $P$ (грань $AA_1D_1D$), $N$ и $P$ (грань $ABB_1A_1$); у остальных пар общей грани нет."],"step":1}],"mix":1}

У тетраэдра четыре грани — и сечение не больше чем четырехугольник

Тот же алгоритм работает для тетраэдра $DABC$. У тетраэдра четыре грани, и любые два его ребра либо имеют общую вершину, либо противоположны. Два ребра с общей вершиной лежат в одной грани. Поэтому точки на таких ребрах можно соединять сразу.

Пила, которая задела три грани, обычно отпиливает вершину — получается треугольник; сечение может пройти и через ребро, как в примере 2. Если полотно задело все четыре грани, получается четырехугольник. Пятого пропила не будет: граней всего четыре.

Пример 2

В правильном тетраэдре $DABC$ с ребром $6$ точка $M$ — середина ребра $AB$. Постройте сечение плоскостью $DMC$ и найдите его периметр.

Решение. $D$ и $M$ лежат в грани $DAB$, соединяем: $DM$. $M$ и $C$ лежат в грани $ABC$, соединяем: $MC$. $D$ и $C$ — концы ребра $DC$, оно лежит в гранях $DAC$ и $DBC$. Сечение — треугольник $DMC$.

$DM$ — медиана правильного треугольника $DAB$, она же высота: $DM = \sqrt{6^2-3^2} = 3\sqrt{3}$. Так же $MC = 3\sqrt{3}$, а $DC = 6$.

Ответ: равнобедренный треугольник $DMC$, периметр $6+6\sqrt{3}$.

Правильный тетраэдр DABC: сечение DMC через вершину D, середину M ребра AB и вершину C — треугольник — Сечение $DMC$: стороны $DM$ и $MC$ — в гранях $DAB$ и $ABC$, сторона $DC$ — ребро

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Тетраэдр $DABC$ рассечен плоскостью через середины ребер $DA$, $DB$, $DC$ (на чертеже выделено). Какая фигура получилась в сечении?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/askxcqlbcabd.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["Трапеция","Треугольник","Сечение не существует","Четырехугольник"],"explanations":["У треугольника нет параллельных оснований","","Плоскость через три точки не на прямой единственна и пересекает тетраэдр","Три точки на ребрах из вершины $D$ задают треугольник, четвертой стороны нет"],"answer":[1]}},"hints":["Плоскость пересекает три грани, сходящиеся в вершине $D$.","Сечение — треугольник $MNK$."],"step":1},{"content":"Какой фигурой не может быть сечение тетраэдра?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Треугольник","Четырехугольник","Параллелограмм","Пятиугольник"],"explanations":["Плоскость, отсекающая вершину, дает треугольник","Плоскость, пересекающая четыре грани, дает четырехугольник","Плоскость через середины ребер $DA$, $AB$, $BC$, $CD$ дает параллелограмм",""],"answer":[3]}},"hints":["Граней у тетраэдра четыре, значит, сторон не больше четырех.","Ответ: пятиугольник."],"step":1}],"mix":1}

Пропилы на противоположных гранях параллельны

Бывает, что у двух данных точек нет общей грани. Тогда сторону сечения ищут через другую грань. Помогает наблюдение: противоположные грани куба лежат в плоскостях без общих точек. Пропилы на них лежат в одной секущей плоскости и не пересекаются, значит, по определению они параллельны.

Правило

Если секущая плоскость пересекает две противоположные грани куба, то отрезки сечения в этих гранях параллельны.

Если после этого ломаная все еще не замкнулась, шаг можно повторить: новая точка на ребре снова лежит в общей грани с одной из прежних точек, и от нее проводят новый параллельный отрезок.

Пример 3

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $4$ точка $K$ лежит на ребре $BB_1$, $BK = 1$. Постройте сечение плоскостью $ADK$.

Решение. $A$ и $D$ лежат в грани $ABCD$ — сторона $AD$. $A$ и $K$ лежат в грани $ABB_1A_1$ — сторона $AK$. У точек $D$ и $K$ общей грани нет, соединять их нельзя.

Сторона $AD$ лежит в грани $AA_1D_1D$. Противоположная грань $BCC_1B_1$ содержит точку $K$, значит, пропил в ней проходит через $K$ параллельно $AD$, то есть параллельно $BC$. В квадрате $BCC_1B_1$ проведем через $K$ отрезок $KL \parallel BC$ до ребра $CC_1$. Тогда $BKLC$ — прямоугольник и $CL = BK = 1$. Точки $D$ и $L$ лежат в грани $DCC_1D_1$ — последняя сторона $DL$.

Сечение — четырехугольник $ADLK$. В нем $AD \parallel KL$ и $AD = KL = 4$, значит, это параллелограмм. Сторона $AK = \sqrt{4^2+1^2} = \sqrt{17}$.

Ответ: параллелограмм $ADLK$ со сторонами $4$ и $\sqrt{17}$.

Куб: сечение ADLK — прямоугольник, AD ∥ KL в противоположных гранях — $AD$ и $KL$ лежат в противоположных гранях и параллельны; $D$ и $K$ напрямую не соединяют

Почему противоположные грани не имеют общих точек

Скрыть

Сейчас это наблюдение на модели куба. Строгое доказательство — в теме о параллельных плоскостях. Правило о параллельных отрезках сечения остается верным и там.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рассечен плоскостью $ABC_1$ (на чертеже выделено). Какой четырехугольник получился в сечении?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/b2fjzw36qbyu.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["Ромб","Трапеция","Треугольник","Параллелограмм"],"explanations":["Соседние стороны $AB = 4$ и $BC_1 = 4\\sqrt{2}$ не равны","У трапеции параллельна одна пара сторон, а здесь $AB \\parallel C_1D_1$ и $AD_1 \\parallel BC_1$ — две пары","Сечение проходит по четырем граням, поэтому у него четыре стороны",""],"answer":[3]}},"hints":["Плоскость проходит через ребро $AB$ и точку $C_1$, затем пересекает верхнюю грань по $C_1D_1$.","Получили четырехугольник $ABC_1D_1$: стороны $AB$ и $C_1D_1$ лежат в противоположных гранях, значит, параллельны, и равны ребру куба.","Ответ: параллелограмм."],"step":1},{"content":"Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рассечен плоскостью через середины ребер $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$. Какая фигура в сечении?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Треугольник","Квадрат","Шестиугольник","Прямоугольник, не являющийся квадратом"],"explanations":["Плоскость пересекает четыре боковые грани, а не три","","Параллельная грани плоскость пересекает ровно четыре грани","Стороны равны ребрам основания, значит, это квадрат"],"answer":[1]}},"hints":["Все три точки лежат на половине высоты куба, поэтому плоскость проходит на этой высоте и пересекает боковые грани по отрезкам, равным и параллельным ребрам основания.","Ответ: квадрат со стороной, равной ребру куба."],"step":1}],"mix":1}

Как проверить построенное сечение

В примере 3 так и хочется сразу замкнуть треугольник $ADK$: три точки — три стороны. Посмотрим, что получится, если так сделать.

Ошибка

Как ошибаются. «Плоскость задана точками $A$, $D$, $K$, значит, сечение — треугольник $ADK$».

Проверка. Точка $D$ лежит в гранях $ABCD$, $AA_1D_1D$, $DCC_1D_1$, точка $K$ — в гранях $ABB_1A_1$ и $BCC_1B_1$. Общей грани нет. Середина отрезка $DK$ находится на высоте $0{,}5$ над основанием и на расстоянии $2$ от каждой боковой грани. Это точка внутри куба, а не на его поверхности. Пила там следа не оставляет. Зато грани $BCC_1B_1$ и $DCC_1D_1$ полотно прорезало, а в «треугольнике» на них нет ни одной стороны.

Где сломалось. На шаге «три точки — значит, три стороны». А1 гарантирует только плоскость. Сторонами сечения становятся лишь отрезки, лежащие в гранях (А2), а число сторон равно числу пересеченных граней.

Ошибка: «сечение» ADK со стороной DK через внутренность куба; грани BCC₁B₁ и DCC₁D₁ задеты, но без пропила — Отрезок $DK$ идет внутри куба: это не сторона сечения, а грани $BCC_1B_1$ и $DCC_1D_1$ остались без пропила

Обратите внимание

Проверка из двух вопросов: лежит ли каждая сторона в одной грани и нет ли в какой-то грани двух отрезков. Два отрезка в одной грани тоже признак ошибки: по А3 плоскость пересекает грань по одной прямой.

{"questions":[{"content":"Точки $M$, $N$, $K$ — середины ребер $DB$, $DC$, $AB$ тетраэдра $DABC$. Иксератопс построил сечение плоскостью $MNK$ и получил треугольник $MNK$. В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["У точек $M$ и $K$ нет общей грани","У точек $N$ и $K$ нет общей грани","Ошибки нет: три точки всегда дают треугольник","У точек $M$ и $N$ нет общей грани"],"explanations":["$M$ и $K$ лежат на ребрах $DB$ и $AB$, то есть в грани $DAB$, их соединять можно","","Три точки задают плоскость, но стороны сечения — только отрезки в гранях, а $NK$ не лежит ни в одной грани","$M$ и $N$ лежат на ребрах $DB$ и $DC$, то есть в грани $DBC$, их соединять можно"],"answer":[1]}},"hints":["Сторона сечения — отрезок в одной грани (А2). Проверьте каждую пару точек.","$M$ и $N$ лежат в грани $DBC$, $M$ и $K$ — в грани $DAB$, а у $N$ и $K$ общей грани нет.","Отрезок $NK$ идет внутри тетраэдра. Плоскость пересекает еще грани $DAC$ и $ABC$, поэтому сечение — четырехугольник."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Расставьте шаги: как построить сечение куба, если даны три точки на ребрах и у двух из них нет общей грани.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Для каждой пары данных точек найдите общую грань","Соедините точки с общей гранью отрезком","Через точку в грани, противоположной уже построенному отрезку, проведите параллельный отрезок до ребра","Соедините новую точку с данной по общей грани","Проверьте: в каждой грани не больше одного отрезка, ломаная замкнута"]}},"instruction":"Расставьте шаги по порядку","hints":["Это пункты правила из урока: сначала ищем грани, потом проводим отрезки, в конце проверяем."]}],"mix":1}

Сколько сторон может быть у сечения куба

Пропилов столько, сколько граней задело полотно, и на каждой грани не больше одного. У куба шесть граней, поэтому у сечения от трех до шести сторон. Все четыре случая встречаются.

Куб: сечение через середины M, N, K ребер AB, AD, CC₁ — пятиугольник — Плоскость через середины $AB$, $AD$, $CC_1$ задевает пять граней — сечение пятиугольник

Теперь ответ на вопрос из начала. Обозначим середины ребер $AB$, $BC$, $CC_1$, $C_1D_1$, $D_1A_1$, $A_1A$ через $M$, $N$, $K$, $P$, $Q$, $R$. Плоскость через $M$, $N$, $K$ проходит и через $P$, $Q$, $R$: например, $MN$ и $PQ$ — средние линии квадратов $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$, обе параллельны $AC$, поэтому лежат в одной плоскости. Остальные точки на ребрах находят общим приемом, методом следов; его разберем в модуле о параллельности. Здесь достаточно проверить главное: каждая сторона лежит в своей грани. Каждая сторона соединяет середины соседних ребер одной грани, то есть равна половине диагонали грани: при ребре $4$ это $2\sqrt{2}$. Все шесть сторон равны, а углы равны по симметрии куба и составляют по $120^\circ$; строгое доказательство отложим. Сечение — правильный шестиугольник.

Куб: сечение через середины шести ребер — правильный шестиугольник — Через середины шести ребер проходит одна плоскость, сечение — правильный шестиугольник

Теперь постройте сечения сами в трех сценах: от трех середин ребер до шестиугольника. Проводите отрезки между данными точками. Модель примет только отрезок внутри одной грани.

g10-prostejshie-sechenija-pila

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Куб рассечен плоскостью через середины ребер $A_1B_1$, $BB_1$, $BC$ (на чертеже выделено). Сколько сторон у сечения?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/n9ndfofd05m0.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["Четыре","Пять","Три","Шесть"],"explanations":["Плоскость пересекает не четыре, а шесть граней","Пятая сторона не замыкает многоугольник: пересекаются шесть граней","Три точки — это вершины заданного треугольника, но плоскость пересекает и другие грани",""],"answer":[3]}},"hints":["Плоскость пересекает шесть граней куба, в каждой грани получается один отрезок.","Ответ: шесть сторон, сечение — шестиугольник."],"step":1},{"content":"Сколько сторон может иметь сечение куба — наибольшее число? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["В каждой грани получается не более одного отрезка.","Граней у куба шесть, значит, сторон не больше шести.","Ответ: $6$."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Сечения нужны, чтобы видеть многогранник изнутри: на них строятся задачи о расстояниях, углах и площадях в старших классах и в пункте «а» задачи 14 ЕГЭ. Каждое построение держится на трех аксиомах: А1 ставит пилу, А2 дает прямой пропил между точками одной грани, А3 запрещает второй пропил на той же грани.

Ответ на вопрос из начала: да, можно. Если пилить через середины ребер $AB$, $BC$, $CC_1$, срез пройдет через середины шести ребер и будет правильным шестиугольником.

Часто задаваемые вопросы

Почему нельзя соединить любые две точки сечения, ведь обе лежат в секущей плоскости?

Отрезок между ними действительно лежит в секущей плоскости, но может пройти внутри тела. Сечение — многоугольник из отрезков на гранях, поэтому сторона должна лежать в грани. Отрезок через внутренность — это диагональ сечения, а не его сторона.

Может ли сечение куба быть семиугольником?

Нет. На каждой грани плоскость оставляет не больше одного отрезка, а граней у куба шесть. Значит, сторон не больше шести.

Что делать, если две данные точки лежат на противоположных гранях куба?

Соединять их нельзя. Сначала постройте стороны там, где точки лежат в одной грани, затем используйте правило: в противоположных гранях отрезки сечения параллельны. Так находится новая точка на ребре.

Можно ли проверить сечение по чертежу «на глаз»?

Нет. Чертеж — тень фигуры, и на нем отрезок через внутренность выглядит так же, как отрезок на грани. Проверяйте по граням: назовите для каждой стороны грань, в которой она лежит.

Награды за урок