Простейшие сечения куба и тетраэдра

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"[[image-1]]Точки $M$, $N$, $K$, $P$ лежат на ребрах куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Какую пару точек можно соединить отрезком по одной грани куба?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/m6e8yieozwdm.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$M$ и $P$","$K$ и $P$","$M$ и $K$","$M$ и $N$"],"explanations":["У точек $M$ и $P$ нет общей грани: отрезок прошел бы через внутренность куба","У точек $K$ и $P$ нет общей грани: отрезок прошел бы через внутренность куба","","У точек $M$ и $N$ нет общей грани: отрезок прошел бы через внутренность куба"],"answer":[2]}},"hints":["Отрезок сечения проводят между точками, лежащими в одной грани (А2).","Проверьте, у какой пары есть общая грань.","Ответ: $M$ и $K$."],"step":1},{"id":"1","content":"[[image-2]]Точки $M$, $N$, $K$, $P$ лежат на ребрах куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Какую пару точек можно соединить отрезком по одной грани куба?[[choice-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/6mjg7ddbc8hb.svg"},"choice-2":{"type":"choice","options":["$M$ и $N$","$M$ и $K$","$N$ и $P$","$N$ и $K$"],"explanations":["У точек $M$ и $N$ нет общей грани: отрезок прошел бы через внутренность куба","","У точек $N$ и $P$ нет общей грани: отрезок прошел бы через внутренность куба","У точек $N$ и $K$ нет общей грани: отрезок прошел бы через внутренность куба"],"answer":[1]}},"hints":["Отрезок сечения проводят между точками, лежащими в одной грани (А2).","Проверьте, у какой пары есть общая грань.","Ответ: $M$ и $K$."],"step":1},{"id":"2","content":"Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ имеет ребро $4$. Плоскость проходит через три точки $M$, $N$, $K$ на его ребрах: указано, на каких ребрах они лежат и как далеко от первой названной вершины ребра. Сопоставьте тройку и фигуру, которая получится в сечении.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Точки на ребрах $DA$, $DC$, $DD_1$: $DM=1$, $DN=2$, $DK=3$","Точки на ребрах $AA_1$, $AB$, $CD$: $AM=2$, $AN=2$, $CK=2$","Точки на ребрах $BB_1$, $BC$, $DA$: $BM=2$, $BN=1$, $DK=1$"],"items":["Треугольник","Четырехугольник","Пятиугольник","Шестиугольник","Семиугольник"]}},"instruction":"Сопоставьте","hints":["Для каждой тройки найдите пары точек с общей гранью и соедините их. Если ломаная не замкнулась, примените шаг 4: в противоположной грани проведите отрезок, параллельный построенному.","Три точки у одной вершины отсекают угол — треугольник. Четырехугольник получается, когда шаг 4 нужен один раз, пятиугольник — когда дважды.","Ответ: точки на ребрах $DA$, $DC$, $DD_1$: $DM=1$, $DN=2$, $DK=3$ — треугольник; точки на ребрах $AA_1$, $AB$, $CD$: $AM=2$, $AN=2$, $CK=2$ — четырехугольник; точки на ребрах $BB_1$, $BC$, $DA$: $BM=2$, $BN=1$, $DK=1$ — пятиугольник."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"2","content":"Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ имеет ребро $4$. Плоскость проходит через три точки $M$, $N$, $K$ на его ребрах: указано, на каких ребрах они лежат и как далеко от первой названной вершины ребра. Сопоставьте тройку и фигуру, которая получится в сечении.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["Точки на ребрах $C_1B_1$, $C_1D_1$, $C_1C$: $C_1M=1$, $C_1N=2$, $C_1K=3$","Точки на ребрах $AB$, $BB_1$, $CC_1$: $AM=2$, $BN=2$, $CK=2$","Точки на ребрах $AA_1$, $AB$, $CD$: $AM=2$, $AN=1$, $CK=1$"],"items":["Треугольник","Четырехугольник","Пятиугольник","Шестиугольник","Семиугольник"]}},"instruction":"Сопоставьте","hints":["Для каждой тройки найдите пары точек с общей гранью и соедините их. Если ломаная не замкнулась, примените шаг 4: в противоположной грани проведите отрезок, параллельный построенному.","Три точки у одной вершины отсекают угол — треугольник. Четырехугольник получается, когда шаг 4 нужен один раз, пятиугольник — когда дважды.","Ответ: точки на ребрах $C_1B_1$, $C_1D_1$, $C_1C$: $C_1M=1$, $C_1N=2$, $C_1K=3$ — треугольник; точки на ребрах $AB$, $BB_1$, $CC_1$: $AM=2$, $BN=2$, $CK=2$ — четырехугольник; точки на ребрах $AA_1$, $AB$, $CD$: $AM=2$, $AN=1$, $CK=1$ — пятиугольник."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"3","content":"[[image-3]]Точки $M$, $N$, $K$ — середины ребер $AB$, $AC$, $AD$ тетраэдра $DABC$. Какая фигура получится в сечении плоскостью $MNK$?[[choice-3]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/f2rbqsqq3wy4.svg"},"choice-3":{"type":"choice","options":["Шестиугольник","Треугольник","Пятиугольник","Четырехугольник"],"explanations":["Шесть сторон дали бы шесть граней, а у тетраэдра их четыре","","У тетраэдра четыре грани, сторон не больше четырех","Плоскость пересекает ровно три грани, сторон три"],"answer":[1]}},"hints":["Найдем, какие грани пересекает плоскость.","Ответ: треугольник."],"step":1},{"id":"3","content":"[[image-4]]Точки $M$, $N$, $K$ — середины ребер $DA$, $DB$, $BC$ тетраэдра $DABC$. Какая фигура получится в сечении плоскостью $MNK$?[[choice-4]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/nyrladjlfkeg.svg"},"choice-4":{"type":"choice","options":["Треугольник","Пятиугольник","Четырехугольник","Шестиугольник"],"explanations":["Плоскость пересекает четыре грани, сторон четыре","У тетраэдра четыре грани, сторон не больше четырех","","Шесть сторон дали бы шесть граней, а у тетраэдра их четыре"],"answer":[2]}},"hints":["Найдем, какие грани пересекает плоскость.","Ответ: четырехугольник."],"step":1},{"id":"4","content":"[[image-5]]Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ имеет ребро $4$. Точки $M$, $N$, $K$ лежат на ребрах $AA_1$, $AB$, $CC_1$ так, что $AM=1$, $AN=3$, $CK=1$. Сколько сторон у сечения куба плоскостью $MNK$? [[input-1]]","widgets":{"image-5":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/aqz2tfdly3fl.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Соедините точки, лежащие в одной грани. Для остальных вершин используйте шаг 4: в противоположной грани проведите отрезок, параллельный уже построенному.","Шаг 4 понадобится дважды: каждый раз он дает новую точку на ребре, которую соединяют с данной по общей грани.","Ответ: $5$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"4","content":"[[image-6]]Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ имеет ребро $4$. Точки $M$, $N$, $K$ лежат на ребрах $BB_1$, $BC$, $DD_1$ так, что $BM=1$, $BN=2$, $DK=1$. Сколько сторон у сечения куба плоскостью $MNK$? [[input-2]]","widgets":{"image-6":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/foaqcfnzbz6u.svg"},"input-2":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Соедините точки, лежащие в одной грани. Для остальных вершин используйте шаг 4: в противоположной грани проведите отрезок, параллельный уже построенному.","Шаг 4 понадобится дважды: каждый раз он дает новую точку на ребре, которую соединяют с данной по общей грани.","Ответ: $5$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"[[image-7]]Иксератопс соединил точку $M$ — середину ребра $AA_1$ — с точкой $N$ — серединой ребра $CC_1$ — и назвал $MN$ стороной сечения. В чем ошибка?[[choice-5]]","widgets":{"image-7":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/vzk6ccolzy8r.svg"},"choice-5":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: любые две точки сечения можно соединять","Ребра $AA_1$ и $CC_1$ параллельны, значит, $M$ и $N$ можно соединять","Сторона сечения должна быть ребром куба","Точки $M$ и $N$ не лежат в одной грани"],"explanations":["Соединяют только точки одной грани, иначе отрезок пройдет через внутренность","Они лежат в одной плоскости $AA_1C_1C$, но это не грань куба: $MN$ идет внутри куба","Стороны сечения лежат в гранях, но не обязаны быть ребрами",""],"answer":[3]}},"hints":["Сторона сечения лежит в грани многогранника (А2).","Ребра $AA_1$ и $CC_1$ не лежат в одной грани, поэтому $MN$ идет внутри куба.","Ответ: точки не лежат в одной грани."],"step":1},{"id":"5","content":"[[image-8]]Иксератопс соединил точку $M$ — середину ребра $AB$ — с точкой $N$ — серединой ребра $C_1D_1$ — и назвал $MN$ стороной сечения. В чем ошибка?[[choice-6]]","widgets":{"image-8":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/m0sjzdmvdg5f.svg"},"choice-6":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: любые две точки сечения можно соединять","Сторона сечения должна быть ребром куба","Ребра $AB$ и $C_1D_1$ параллельны, значит, $M$ и $N$ можно соединять","Точки $M$ и $N$ не лежат в одной грани"],"explanations":["Соединяют только точки одной грани, иначе отрезок пройдет через внутренность","Стороны сечения лежат в гранях, но не обязаны быть ребрами","Они лежат в одной плоскости $ABC_1D_1$, но это не грань куба: $MN$ идет внутри куба",""],"answer":[3]}},"hints":["Сторона сечения лежит в грани многогранника (А2).","Ребра $AB$ и $C_1D_1$ не лежат в одной грани, поэтому $MN$ идет внутри куба.","Ответ: точки не лежат в одной грани."],"step":1},{"id":"6","content":"Расставьте шаги построения сечения куба по трем точкам на ребрах.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Для каждой пары данных точек найдите общую грань","Соедините точки с общей гранью отрезком","Через точку в грани, противоположной уже построенному отрезку, проведите параллельный отрезок до ребра","Соедините новую точку с данной по общей грани","Проверьте: в каждой грани не больше одного отрезка, ломаная замкнута"]}},"instruction":"Расставьте шаги по порядку","hints":["Шаги — пункты правила из урока: сначала грани, потом отрезки, в конце проверка."]},{"id":"6","content":"Расставьте шаги построения сечения тетраэдра $DABC$ по трем точкам на ребрах.[[sorter-2]]","widgets":{"sorter-2":{"type":"sorter","items":["Для каждой пары данных точек найдите общую грань","Соедините точки с общей гранью отрезком","Остальные пары, у которых общей грани нет, не соединяйте: отрезок прошел бы внутри тела","Проверьте: в каждой грани не больше одного отрезка, ломаная замкнута"]}},"instruction":"Расставьте шаги по порядку","hints":["Шаги — пункты правила из урока: сначала грани, потом отрезки, в конце проверка."]},{"id":"7","content":"Плоскость сечения пересекает противоположные грани куба $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ по отрезкам. Как расположены эти отрезки?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Пересекаются в точке плоскости сечения","Перпендикулярны","Совпадают","Параллельны"],"explanations":["Отрезки лежат в разных гранях, у которых нет общих точек, значит, пересечься не могут","Перпендикулярность не следует: отрезки параллельны","Они лежат в разных гранях, совпасть не могут",""],"answer":[3]}},"hints":["Противоположные грани куба лежат в параллельных плоскостях и не имеют общих точек.","Значит, отрезки сечения не пересекаются, и лежат они в одной плоскости сечения.","Две прямые в одной плоскости без общих точек параллельны."],"step":1},{"id":"7","content":"Плоскость сечения пересекает противоположные грани куба $ABB_1A_1$ и $DCC_1D_1$ по отрезкам. Как расположены эти отрезки?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["Совпадают","Параллельны","Пересекаются в точке плоскости сечения","Перпендикулярны"],"explanations":["Они лежат в разных гранях, совпасть не могут","","Отрезки лежат в разных гранях, у которых нет общих точек, значит, пересечься не могут","Перпендикулярность не следует: отрезки параллельны"],"answer":[1]}},"hints":["Противоположные грани куба лежат в параллельных плоскостях и не имеют общих точек.","Значит, отрезки сечения не пересекаются, и лежат они в одной плоскости сечения.","Две прямые в одной плоскости без общих точек параллельны."],"step":1},{"id":"8","content":"[[image-9]]Правильный тетраэдр $DABC$ имеет ребро $12$. Точки $M$, $N$, $K$, $P$ — середины ребер $DA$, $AB$, $BC$, $CD$. Найдите периметр четырехугольника $MNKP$. [[input-3]]","widgets":{"image-9":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/ugvlswv8kto2.svg"},"input-3":{"type":"input","answer":"24"}},"hints":["Каждая сторона $MNKP$ — средняя линия грани тетраэдра: $MN$ в грани $DAB$, $NK$ в $ABC$, $KP$ в $BCD$, $PM$ в $CDA$.","Каждая средняя линия равна половине ребра: $12 : 2 = 6$.","$P = 4 \\cdot 6 = 24$."],"step":1},{"id":"8","content":"[[image-10]]Правильный тетраэдр $DABC$ имеет ребро $20$. Точки $M$, $N$, $K$, $P$ — середины ребер $DA$, $AB$, $BC$, $CD$. Найдите периметр четырехугольника $MNKP$. [[input-4]]","widgets":{"image-10":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/ugvlswv8kto2.svg"},"input-4":{"type":"input","answer":"40"}},"hints":["Каждая сторона $MNKP$ — средняя линия грани тетраэдра: $MN$ в грани $DAB$, $NK$ в $ABC$, $KP$ в $BCD$, $PM$ в $CDA$.","Каждая средняя линия равна половине ребра: $20 : 2 = 10$.","$P = 4 \\cdot 10 = 40$."],"step":1},{"id":"9","content":"Через середины каких трех ребер куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ проходит плоскость, дающая в сечении шестиугольник?[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["Середины ребер $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$","Середины ребер $AB$, $BB_1$, $B_1C_1$","Середины ребер $AB$, $AD$, $AA_1$","Середины ребер $AB$, $CD$, $A_1D_1$"],"explanations":["Через середины ребер $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ сечение имеет 4 стороны, а не шесть","","Через середины ребер $AB$, $AD$, $AA_1$ сечение имеет 3 стороны, а не шесть","Через середины ребер $AB$, $CD$, $A_1D_1$ сечение имеет 4 стороны, а не шесть"],"answer":[1]}},"hints":["Шестиугольник получается, когда плоскость пересекает все шесть граней.","Построим сечения для каждой тройки.","Ответ: середины ребер $AB$, $BB_1$, $B_1C_1$."],"step":1},{"id":"9","content":"Через середины каких трех ребер куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ проходит плоскость, дающая в сечении шестиугольник?[[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["Середины ребер $BC$, $BB_1$, $AB$","Середины ребер $BC$, $CD$, $DD_1$","Середины ребер $BC$, $AD$, $A_1B_1$","Середины ребер $AA_1$, $CC_1$, $BB_1$"],"explanations":["Через середины ребер $BC$, $BB_1$, $AB$ сечение имеет 3 стороны, а не шесть","","Через середины ребер $BC$, $AD$, $A_1B_1$ сечение имеет 4 стороны, а не шесть","Через середины ребер $AA_1$, $CC_1$, $BB_1$ сечение имеет 4 стороны, а не шесть"],"answer":[1]}},"hints":["Шестиугольник получается, когда плоскость пересекает все шесть граней.","Построим сечения для каждой тройки.","Ответ: середины ребер $BC$, $CD$, $DD_1$."],"step":1},{"id":"10","content":"Иксератопс строил сечение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью через вершины $B$, $D$ и середину $M$ ребра $CC_1$. Он обвел по ребрам и отрезкам замкнутую ломаную и получил четырехугольник $BCMD$. В чем ошибка?[[choice-11]]","widgets":{"choice-11":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: сечение — четырехугольник $BCMD$","Отрезок $BD$ лишний: точки $B$ и $D$ не лежат в одной грани","Сечение — пятиугольник: плоскость задевает еще верхнюю грань $A_1B_1C_1D_1$","Вершина $C$ не лежит в плоскости $BDM$; сечение — треугольник $BDM$"],"explanations":["Плоскость пересекает ребро $CC_1$ только в точке $M$, поэтому вершина $C$ в сечение не входит","$B$ и $D$ лежат в грани $ABCD$, отрезок $BD$ — сторона сечения","Самая высокая точка сечения — $M$ на половине высоты куба, до верхней грани плоскость не доходит",""],"answer":[3]}},"hints":["Вершины сечения — точки, где плоскость $BDM$ встречает ребра куба. Проверьте, лежит ли в ней вершина $C$.","Ребро $CC_1$ плоскость пересекает только в точке $M$, значит, $C$ ей не принадлежит: отрезки с концом $C$ — ребра куба, а не стороны сечения.","Стороны сечения: $BD$ (грань $ABCD$), $DM$ (грань $CDD_1C_1$), $MB$ (грань $BCC_1B_1$). Заодно в грани $BCC_1B_1$ у четырехугольника было бы два отрезка, а их не больше одного. Ответ: сечение — треугольник $BDM$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Иксератопс строил сечение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью через вершины $A$, $C$ и середину $M$ ребра $DD_1$. Он обвел по ребрам и отрезкам замкнутую ломаную и получил четырехугольник $ADMC$. В чем ошибка?[[choice-12]]","widgets":{"choice-12":{"type":"choice","options":["Сечение — пятиугольник: плоскость задевает еще верхнюю грань $A_1B_1C_1D_1$","Ошибки нет: сечение — четырехугольник $ADMC$","Вершина $D$ не лежит в плоскости $ACM$; сечение — треугольник $ACM$","Отрезок $AC$ лишний: точки $A$ и $C$ не лежат в одной грани"],"explanations":["Самая высокая точка сечения — $M$ на половине высоты куба, до верхней грани плоскость не доходит","Плоскость пересекает ребро $DD_1$ только в точке $M$, поэтому вершина $D$ в сечение не входит","","$A$ и $C$ лежат в грани $ABCD$, отрезок $AC$ — сторона сечения"],"answer":[2]}},"hints":["Вершины сечения — точки, где плоскость $ACM$ встречает ребра куба. Проверьте, лежит ли в ней вершина $D$.","Ребро $DD_1$ плоскость пересекает только в точке $M$, значит, $D$ ей не принадлежит: отрезки с концом $D$ — ребра куба, а не стороны сечения.","Стороны сечения: $AC$ (грань $ABCD$), $CM$ (грань $CDD_1C_1$), $MA$ (грань $ADD_1A_1$). Заодно в грани $ADD_1A_1$ у четырехугольника было бы два отрезка, а их не больше одного. Ответ: сечение — треугольник $ACM$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>